Самаркандский Государственный

Вид материала

Содержание

Динамические межотраслевые модели (дмм)
Виды регрессии
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ СЛЕДУЮЩЕГО ВИДА: Y=b

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7

ДИНАМИЧЕСКИЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ (ДММ)

ДММ описывают изменение межотраслевых связей в течение времени. Время считается дискретным, принимающим значение t =1, 2, …, T. Исходный год считается нулевым. Под отрезком времени от момента t до момента t+1 считается год с номером t. Через x_i(t) обозначается валовой выпуск i-той отрасли в году t, а через y_i(t) - конечный продукт i-той отрасли в году t. Баланс продукции каждой из отраслей примет следующий вид:

n
X_i(t) =∑ a_ijx_j(t) + Y_i(t)	(1)	(i=1, n)
j=1

В динамической модели структуру конечного продукта каждой отрасли принято рассматривать более подробно, поскольку различные компоненты конечного потребления оказывают разное воздействие на развитие народного хозяйства. В предлагаемой простой модели можно считать, что выполняется следующее соотношение:

Y_i(t) ± Z_i(t) + W_i^u(t) + W_i^r(t) + [q_i(t+1) - q_i(t)] (2)

В этом соотношении

Z_i(t) - затраты на строительство новых основных фондов и выполнение выбытия старых в году t;

W_i^u(t)-затраты на потребление населением продукции i-той отрасли в году t;

W_i^r(t) - затраты i-той отрасли в году t на управление и оборону;

q_i(t) - запасы продукции i-той отрасли на начало года t, т.е. разность q_i(t+1) - q_i(t)означает прирост запасов продукции i-той отрасли за год t.

Отметим, что продукция не всякой отрасли может быть запасена: нельзя, например, создать больших запасов электроэнергии. В том случае, когда из продукции отрасли нельзя создать запасов (как принято говорить, она нескладируема), член q_i(t+1) - q_i(t) в соотношение (2) отсутствует. Внешнюю торговлю мы рассматривать не станем.

Затраты конечного продукта на вложение в основные фонды приводят к росту их количества. Динамику основных фондов опишем следующим образом (выбыванием фондов пренебрегаем):

ξ_i(t+1) = ξ_i(t) + -J_i^m) (3)

где ξ_i(t) - мощность i-той отрасли на начало года t

θ_i(t) - начинающееся строительство мощностей i-той отрасли в году (t).

Предполагается, что мощности полностью вводятся в строй через J_i^m лет после начала строительства, что и отражено в соотношении (3). Величина J_i^m называется производственной лагой. Это время складывается из времени, необходимого для строительства зданий, времени, необходимого для размещения, монтажа и наладки оборудования, а так же из времени, которое расходуется на освоение новых основных фондов. Величина лага J_i^m характеризует процесс строительства в отрасли. Будем считать эту величину известной. Теперь можно связать затраты на вложение в основные фонды с моделью динамики мощностей. Будем считать. Что при строительстве единицы мощностей j-той отрасли в году строительства Jнеобходимо затратить ƒi,j(J) единицу продукции i-той отрасли. Тогда для i-той отрасли полные затраты на капитальное вложение в году t, которые мы обозначим через Z_i(t) могут быть вычислены так:

n τ_i^m
Z_i(t) =∑ ∑ ƒ_ij(τ)θ_j(t-τ)	(4)
j=1 τ=0

пишем теперь ограничения на выпуск отраслей по мощностям. Проще всего было бы предположить, что выпуск ограничен среднегодовыми мощностями, т.е.

X_i(t) ≤ ξ_i(t) (5)

Где

ξ_i(t)=

1

2

∙ [ξ_i(t) + ξ_i(t+1)]

(последнем соотношении предполагается, что мощности вступают в строй в течение года равномерно). В действительности дело обстоит сложнее. Продукция обычно начинает выпускаться на предприятии до того, как оно полностью вступит в строй. Чтобы отразить этот факт в изучаемой нами модели, введем функцию α_i(τ), показывающую, какая доля мощности через τ лет после начала строительства в i-той отрасли уже дает продукцию. Тогда ограничение по мощностям можно записать в виде:

τ_i^m
X_i(t) ≤ ξ_i(t) + ∑ α_i(τ)θ(t-τ)	(6)
τ=0

Это соотношение употребляется вместо соотношения (5). Рассмотрим соотношения, связанные с другими составляющими конечного потребления. На потребление населения обычно накладывается ограничение снизу:

_i^u(t) ≥ W_i^u(t) (7)

Где W_i^u(t) задается заранее.

Затраты продукции каждой отрасли на управление и оборону W_i^r(t) также естественно считать заданными заранее.

Теперь рассмотрим запасы. Создание запасов продукции (если конечно она складируема) может помочь в процессе развития и перестройки производства. На запасы накладывается естественное условие неотрицательности:

q_i(t)≥0 (8)

Распределение нескладируемых продуктов можно описать с помощью соотношения (2), если положить:

q_i(t+1)=q_i(t)=0

Рассмотрим ограничения по трудовым ресурсам. В самом простом варианте моделей ограничения такого рода можно сформулировать по аналогии со статической моделью:

n	X_i(t) d_i²
∑		=R(t)	(9)
i=1

Где R(t) определяет динамику трудовых ресурсов. Кроме упомянутых здесь ограничений накладывается условие неотрицательности валовых выпусков отраслей:

X_i(t)≥0 (10)

И начинающегося строительства:

θ_i(t)≥0 (11)

Если задать начальные значения запасов мощностей и незавершенного строительства, а также динамику, т.е. значение во все моменты t=1,…,T потребления населения W_i^u(t) строительства θ_i(t) и валовых выпусков X_i(t) для всех отраслей (т.е. план выпуска потребительских товаров, план развития и план реализации продукции для каждой из отраслей), то можно попытаться построить динамику развития народного хозяйства по описанной в этом параграфе динамической межотраслевой модели. Обратим внимание на тот факт, что ни все варианты управлений W_i^u(t), θ_i(t) и X_i(t) удовлетворяют соотношениям модели: балансу продукции, ограничениям по мощностям и трудовым ресурсам и т.д. Поиск допустимого (согласно модели) варианта развития народного хозяйства представляет собой сложную задачу, которую решают с помощью ЭВМ.

Хотя допустимый вариант развития экономической системы, описываемой сформулированной моделью, найти трудно, он, однако, обычно не является единственным. Поэтому при анализе модели стараются найти не просто допустимый вариант, а наилучший с точки зрения какого-либо критерия, т.е. оптимальный. Самым простым вариантом критерия является обобщение на динамический случай критерия, рассмотренного ранее:

T n
∑ ∑ C_iW_i^u(t)→max	(12)
t=1 i=1

десь конечное потребление Y_i заменено на потребление населения W_i^u(t) и кроме, того, берется сумма по всем моментам времени. Такой критерий, однако, не очень хорош, потому что при его использовании мы получим, что потребление населения по большинству отраслей будет находиться на нижнем уровне (т.е. мы получим равенство: W_i^u(t)=W_i^u(t)), а в нескольких отраслях - или даже в одной, самой выгодной с точки зрения критерия (12), потребление будет сильно превосходить уровень W_i^u(t). Кроме того мощности будут расти только до некоторого момента, после чего строительство прекратится, так как критерий (12) ориентирован только на потребление. С другой стороны можно взять в качестве критерия величину:

ξ=min	ξ_i(T) μ_i	→max
i

тот критерий будет приводить к поиску таких вариантов развития, которые будут вызывать максимальный рост мощностей в структуре, задаваемой величинами μ_i. При этом потребление будет находиться на нижнем уровне W_i^u(t).

Е

ще одним подходом к построению критерия в межотраслевой модели является задание некоторой «разумной» структуры потребления населения W_i^u. После этого критерием развития считается величина W такая, что:

WW_i^u ≥∑ W_i^u(t)

t=1

Максимизируя величину W, мы тем самым максимизируем количество «разумных» наборов предметов потребления, которое будет произведено народным хозяйством. Трудности такой постановки связаны, прежде всего, с необходимостью заранее построить единственный вектор «разумной» структуры потребления.

y>ƒ(x₁, x₂, …, x_m) (1) – функция регрессии, уравнение регрессии.

m=1 регрессия называется простой (однофакторной);

m=2 и более регрессия называется многофакторной.

В зависимости от того, ƒ линейно или нелинейно, регрессия называется линейной (нелинейной).

Виды регрессии:

Простая линейная регрессия:

Y=b₀+b₁x

Простая нелинейная регрессия:

Y=b₀+b₁/x

Y=b₀∙x^b1

Y=b₀e^b1x

Многофакторная линейная регрессия:

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_mx_m

Многофакторная нелинейная регрессия:

Y=b₀+b₁x₁²+b₂e^x2

Y=b₀b₁^x1∙b₂^x2∙…∙b_m^xm

Y=b₀∙x₁^b1∙x₂^b2∙…∙x_m^bm

В этих регрессиях через b обозначены коэффициенты регрессии. Эти коэффициенты характеризуют влияние соответствующих факторных признаков на результативный признак Y; b₀ характеризует влияние неучтенных факторов.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОСТОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ.

Для определения регрессии, описывающей зависимость Y от X, в начале строят матрицу наблюдений следующего вида:

i	Y	X	где i – номер наблюдения n - число наблюдений X_i (i=1, n) - значение фактурного признака X, полученное в результате i-го наблюдения Y_i(i=1, n) - значение Y, полученное в результате i-го наблюдения
1 2 3 . . . n	Y₁ Y₂ Y₃ . . . Y_n	X₁ X₂ X₃ . . . X_n

Предположим, что характерное поле, построенное на основе матрицы наблюдения, дало возможность сделать гипотезу о линейной Y от X. Тогда регрессию пишем в следующем виде:

Y=b₀+b₁x (2)

Эта регрессия является семейством прямых. Из этого семейства надо выбрать такую конкретную, которая была бы адекватной k экспериментальным данным.

Для нахождения неизвестных коэффициентов регрессии b₀и b₁ применим метод наименьших квадратов (МНК), который основывается на требовании минимизаций следующего функционала:

n θ(b₀b₁) =∑ (Ŷ_i-Y_i)² →min	(3)
i=1

где

Ŷ_i=b₀+b₁x_i (4) (i=1,n)

М

∂θ ∂b₀	=0
∂θ ∂b₁	=0

(5)

одельное значение результативного признака:

для того, чтобы достичь экстремум

∂²θ ∂b₀²	>0	∂²θ ∂b₁²	>0
n
θ(b₀, b₁) = ∑(b₀+b₁x_i-y_i)² →min				(3′)
i=1

∂θ ∂b₀	= ∑ 2 (b₀+b₁x_i-y_i) 1 = 0	(6)
∂θ ∂b₁	= ∑ 2 (b₀+b₁x_i-y_i) x_i = 0	(6)

nb₀+ b₁∑x_i= ∑Y_i

b₀∑x_i+ b₁∑x_i²= ∑Y_ix_i

(7)

прощая (6), получим:

Из последней формулы получим формулу значений коэффициента регрессии:

b₁=	n∑X_iY_i- ∑X_i∑Y_i n∑X_i²- (∑X_i)²	(8)
b₀=	∑Y_i∑X_i²- ∑X_i∑X_iY_i n∑X_i²- (∑X_i)²	(9)
b₀=	Y – b₁X

Затем подставить в формулу (2) и вычислить конкретную регрессию.

Проверка адекватности построенной конкретной регрессии осуществляется с помощью статистики Фишера:

K₂Q₁

K₁Q₂

(10)

Где K₁ = m, а K₂ = n-m-1

Q ₁ = (i=1, n)	Q₁ =	n ∑ (Ŷ_i- Y)²
		i=1
	Q₁ =	n ∑ (Ŷ_i- Y_i)²
		i=1

Вычисленную статистику Фишера F сравниваем с табличной статистикой F_α, K_1,K₂

Если F ≥ F_α, K₁,K₂, то построенную регрессию считают адекватной, иначе – неадекватной.

α - характеризует вероятность точности (погрешности) таблицы Фишера.

Пример:

В таблице приведены данные об объеме произведенной продукции (Y) и численности работников (X) по n=6 предприятиям. Предполагая, что зависимость линейна, составить простую линейную регрессию, описываемую форму зависимости Y от X и проверить ее адекватность: (m=1) число факторных признаков.

i	y	x	xy	x²	Ŷ_i	(Ŷ_i-Y)²	(Ŷ_i-Y_i)²
1 2 3 4 5 6	5 6 7 10 8 6	1 1 2 4 3 1	5 6 14 40 24 6	1 1 4 16 9 1	5,625 5,625 7 9,75 8,75 5,625	1,9 1,9 0 7,6 1,9 1,9	0,4 0,14 0 0,06 0,14 0,14
∑	42	12	95	32		15,2	0,88

Y = b₀+b₁x

b₁=	n∑X_iY_i- ∑X_i∑Y_i n∑X_i²- (∑X_i)²
b₀=	Y – b₁X
b₁=	6∙95-12∙42 6∙32-(12)²	=	570-504 192-144	=	66 48	=1,375

b₀= 7-1,375∙2 = 7-2,75 = 4,25

Y

= 42:6=7

X

= 12:6=2

Y = 4,25+1,375x

Построенную регрессию проверим на адекватность с помощью статистики Фишера:

F=	K₂Q₁ K₁Q₂

K1 = m=1

K2 = n-m-1=6-1-1=4

Ŷi = b0+b1xi

₁ = Σ(Ŷ_i –Y)² = 15,2

Q₂ = Σ(Ŷ_i –Y_i)²= 0,88

4∙15,2

1∙0,88

60,8

0,88

=69,1

Вычисленную статистику Фишера сопоставим с табличной статистикой для α=0,05 F_0,05_{; 1; 4}=7,71.

Так как F > F_0,05_{; 1; 4}, то полученная регрессия адекватна.

PROGRAM REGR;

CONST N = 6;

VAR Z, X, Y, L: ARRAY [0…N] OF REAL;

B0, B1, K1, K2, Q1, Q2, F1, X1, Y1, F: REAL;

FUNCTION S (X: ARRAY [1…N] OF REAL): REAL;

BEGIN S: = 0 FOR I: = 1 TO N DO

S: = S+X[I]

END

BEGIN

WRITELN ('Введите признаки')

FOR I: = 1 TO N DO

BEGIN

WRITELN ('Y[',I,'], X [',i,'] ?');

READLN (Y[I], X[I])

END;

FOR I: = 1 TO N DO

BEGIN

Z[I]: = X[I]*Y[I];

L[I]: = X[I]*X[I]

END;

B1: = (n*S(Z)-S(X)*S(Y)) / (n*S(L)-S(x)*S(X));

B0: = Y1-B1*X1;

K1: = 1; K2: = 4;

FOR i = 1 TO N DO

BEGIN

L[I]: = B0+B1*X[i];

Z[I]: = L[i]-Y[i]

END;

Q1: = S(L);

Q2: = S(Z);

F: = K2*Q1/(K1*Q2);

WRITELN ('Введите статистику Фишера');

READLN (F1);

IF F1
WRITELN ('Регрессия адекватна');

ELSE

WRITELN ('Не адекватна');

WRITELN ('B0=', B0, B1=, 'B1',)

END.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ СЛЕДУЮЩЕГО ВИДА: Y=b₀x₁^b1x₂^b2…x_m^bm(1)

ln Y= ln (b₀x₁^b1x₂^b2…x_m^bm)

ln Y= ln b₀+ b₁ln x₁+ b₂ln x₂+…+ b_mln x_m (1')

ln Y= u

ln x_j= V_j (j=1,m)

ln b₀= b₀'

u = b₀'+ b₁V₁+ b₂V₂+ … + b_mV_m (1'')

К формуле (1'') применим метод наименьших квадратов:

n
Q(b₀', b₁, …, b_m) = ∑(U_i-U_i)² → min	(2)
i=1

n - число наблюдений;

m – число ресурсов.

Матрица наблюдений:

i	Y	X₁	X₂	…	X_m	m – число факторных признаков n - число наблюдений X_ij (i=1,n; j=1,m) – i-тое значение j- того фактурного признака X_j Y_i(i=1,n) – i-тое значение результативного признака Y.
1 2 3 . . n	Y₁ Y₂ Y₃ . . Y_n	X₁₁ X₂₁ X₃₁ . . X_n1	X₁₂ X₂₂ X₃₂ . . X_n2	… ... ... … … …	X_1m X_2m X_3m . . X_nm

В формуле (2):

U_i = b₀' + b₁V_i1+ b₂V_i2+…+ b_mV_im (3)

Подготовив (3) в (2), получим:

n
Q= ∑ (b₀',+ b₁V_i1+ b₂V_i2,+…+, b_mV_im-U_i)² → min	(2')
i=1

Чтобы достичь экстремального результата (min), проводимые 10го порядка от функционала Q по неизвестным коэффициентам регрессии приравняем к нулю и получим следующую систему нормальных уравнений:

У

∂Q ∂b₀	=0
∂Q ∂b₁	=0
∂Q ∂b_m	=0

(4)

прощенный вид (4) системы:

nb₀' + b₁∑V_i1+ b₂∑V_i2+…+ b_m∑V_im= ∑U_i

b₀' ∑V_i₁+ b₁∑V_i₁²+ b₂∑V_i₂V_i₁+…+ b_m∑V_imV_i₁= ∑U_i-V_i₁

b₀' ∑V_i₂+ b₁∑V_i₁V_i₂+ b₂∑V_i₂²+…+ b_m∑V_imV_i₂= ∑U_iV_i₂

b₀' ∑V_im+ b₁∑V_i₁V_im+ b₂∑V_i₂V_im+…+ b_m∑V_im²= ∑U_iV_im

Blog

Самаркандский Государственный

Содержание