Geum.ru

Элективный курс «Математика и гармония окружающего мира»

Вид материалаЭлективный курс

Содержание


Цель урока
Circle (x, 240), 50, 14
План проведения урока
Window (-16,-12) – (16,12)
Бенуа Мандельброт и его теория фрактальных кривых.
Домашнее задание
План проведения урока
Слайд 20)
Цель урока
Леонардо да Винчи
Цель урока
Цель урока
Подобный материал:
1   2   3   4
Тема урока: Геометрия орнаментов, бордюров, паркетов.

Цель урока: Составить программу рисования бордюров, создание различных бордюров с помощью компьютерной техники.


План проведения урока
  1. Фронтальное повторение материала предыдущего урока.

2. Практическая работа. «Создание бордюров »

Цель работы: в среде QuickBasic выполнить построения различных бордюров.
  • Составить с учащимися программу рисования простейшего бордюра и всем учащимся исполнить её на компьютере.

CLS

SCREEN 12

FOR X=0 TO 640 STEP 50

CIRCLE (X, 240), 50, 14

NEXT X

ЕND
  • Изменить в составленной программе величину шага, радиуса, цвет и получить новые виды бордюров.
  • Изменить фундаментальную область бордюра с окружности на спираль, и путём её копирования по оси ОХ, составить бордюр.
  • Предложить учащимся самостоятельно придумать орнамент бордюра, составить программу его рисования и исполнить её на компьютере.
  • Провести конкурс лучших работ учащихся.


Домашнее задание: 1. Составить программу рисования более сложного бордюра с целью участия в конкурсе на лучшую композицию.


Литература:

1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,

1992 год.

3. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год.

4. DVD Tsarskoe selo Master Video, 2004

5. CD Microsoft Office at school


Урок №5

Тема урока: Замечательные кривые

Цель урока: Познакомиться с полярной системой координат. Научиться стоить с помощью компьютера графики замечательных кривых


План проведения урока

  1. Несколько слов о замечательных кривых. Задачи, приводящие к различным замечательным кривым.
  2. Знакомство с полярной системой координат. Установить связь между координатами точки в полярной и в декартовой системах координат.




X = R * COS ,

Y = R * SIN


  1. Составление программы построения графика линии, заданной в полярной системе координат.

R = 4* (SIN 2 + COS2)

CLS

SCREEN 12

WINDOW (-16,-12) – (16,12)

LINE (-16,0)-(16,0)

LINE (0,-12)-(0,12)

FOR f = 0 TO 6.28 STEP 0.01

R = 4*(SIN2 f +COS2 f)

X = R*COS f

Y = R*SIN f

PSET (X,Y),14

NEXT f

END
  1. Построить с помощью компьютера графики следующих кривых, заданных в полярной системе координат.
    • R =a* - спираль Архимеда
  • R =a*√ - спираль Ферма
  • R=a*SIN k - розы
  • R=-a*COS2/COS - строфоида
  • R= k/COS - узорная кривая
  • R= a/√ - жезл
  • R=a*(1+COS ) - кардиоида
  • R= a*(1-SIN ) - кохлеоида
  • R=a*e k - логарифмическая спираль
  • R=a2-d - спираль Галилея
  • R=a*COS+d - улитка Паскаля
  • R=3a*COS*SIN/(COS 3 +SIN 3) - лист Декарта



  1. Построить с помощью компьютера графики следующих кривых, заданных параметрически


X=zt-z*sint

Y=z-z*cost - циклоида


X=2t-4*sint

Y=2-4*cost - трохоида


X= 1.25*cos(0.25t) – 2*cos(1.25t)

X= 1.25*sin(0.25t) – 2*sin(1.25t) - эпитрохоида


X=sin(at+b)*cos(ct)

Y= sin(at+b)*sin(dt) - бабочка


X=a*cos 3 t

Y=a*sin 3 t - астроида

  1. Замечательные кривые в природе и технике
    • Паук и цепная линия
    • Логарифмическая спираль улитки
    • Эвольвента и берёзовый долгоносик
  2. Домашнее задание:

Темы докладов и сообщений
    • История, график и свойства замечательной кривой «лимниската Бернулли»



    • История, график и свойства замечательной кривой «локон Аньези»


Литература

1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,

1992 ГОД

3. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год.

4. DVD Tsarskoe selo Master Video, 2004

5. CD Microsoft Office at school


Урок №6

Тема урока: Красота фракталов

Цель урока: Познакомить учащихся с миром удивительных линий – фрактальными кривыми.


План проведения урока.

  1. Диалоговая беседа с просмотром слайдов презентации

Тезисы сообщения учителя
  • Знакомство с общей идеей получения фрактальных кривых.

Люди придумали цифры и действия с ними, а потом в них же открыли множество законов, правил и теорем. Кроме того, оказалось, что в жизни цифр, линий, углов и бесконечно малых величин можно увидеть много красивого – изящные теоремы, тела, поверхности, даже условия задач. Числа живут своей жизнью, и мы, соприкоснувшись с ней, удивляемся, а иногда и любуемся ею. Компьютер дает нам возможность видеть на экране те или иные процессы, которые мы программируем.

Фракталы получают с помощью некоторой ломаной. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется по некоторому правилу на некоторую ломаную в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим одну из таких фрактальных кривых - кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (см. рис.) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рисунке через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Очень часто описанным способом пользуются при рисовании орнаментов, облаков, деревьев и т. д.
  • Бенуа Мандельброт и его теория фрактальных кривых.

Мы привыкли изображать объекты окружающего нас мира как сплошные тела с четко обозначенными границами. Но далеко не все формы в природе действительно таковы. Достаточно вспомнить облака или морозные узоры на стеклах. Структуры подобного рода принято называть фрактальными. Множества Мандельброта и Жюлиа тоже представляют собой фрактальные объекты. Они не имеют ясно очерченных контуров. Вернее, эти контуры настолько сложны, что мельчайшие их детали теряются в бесконечности. Последовательно увеличивая фрагменты множеств Мандельброта и Жюлиа, мы будем обнаруживать все новые и новые разнообразные "пейзажи"

Когда-то создание правдоподобного пейзажа с помощью компьютера было чрезвычайно трудным делом. Но, начиная с 1980г., все существенно упростилось благодаря работам французского математика Бенуа Мандельброта. Более чем двадцатилетние исследования этого ученого привели к появлению методов, которые позволяют компьютерам рисовать ландшафты и другие “естественные” картины. Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. Окончил Парижский университет Сорбонну. Работает в области экономики, географии, физики, математики. Открытие множества самоподобных фракталов стало его своеобразным «автографом». Сегодня Бенуа Мандельброт – профессор Йельского университета, академик, лауреат многих престижных премий. Основную часть множества ограничивает кривая кардиоида. Слева к ней примыкает деформированный круг, между ними – главная впадина. Форма множества повторяется во всё меньших масштабах: в наростах, заливах и мысах.Парадоксальная сущность природы фракталов состоит в том, что, благодаря своему бесконечно сложному строению фрактальные "кружева" имеют дробную (!) пространственную размерность. То есть они представляют собой нечто среднее между одномерными линиями и сплошными геометрическими фигурами.Характерным свойством множеств Мандельброта и Жюлиа является самоподобие их отдельных деталей на разных масштабных уровнях рассмотрения. Этот принцип иерархической организации широко распространен в природе и особенно ярко проявляется в мире биологических структур. Убедиться в этом можно, если внимательно рассмотреть лист любого растения или проанализировать форму строения многих живых организмов.

Домашнее задание

Посетить сайт http:/www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/index/html

Найти программу формирования и просмотра фракталов, исследовать и построить несколько фракталов.


Литература

1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,

1992 ГОД

3.Школьная компьютера №14 2003 год

4. fractals@gorodok.net.


Урок №7

Тема урока: Перспектива – геометрия живописи

Цель урока: познакомить учащихся с основными идеями перспективы и объяснить правила построения перспективных проекций пространственных тел.


План проведения урока


Наибольшую радость телу даёт свет солнца, наибольшую радость духу – ясность математической истины. Вот почему науки о перспективе, в которой созерцание светлой линии – величайшая отрада глаз – соединяется с ясностью математики – величайшей отрадой ума, - должно предпочитать всем остальным человеческим исследованиям и наукам.

Леонардо да Винчи

I.Объяснение нового материала в форме беседы учителя с учащимися. Рассказ сопровождается демонстрацией презентации по теме урока.


План беседы
  1. Задача отображения трёхмерного пространства на двумерную плоскость. (слайды 1-4)
  2. Геометрические методы изображения пространственных фигур: (СЛАЙДЫ 5-8)
  • центральное проектирование; (слайд 6)
  • параллельное проектирование; (слайд 7)
  • ортогональное проектирование. (слайд 8)
  1. Основы начертательной геометрии: (СЛАЙДЫ 9-13)
    • идеи Гаспара Монжа; (слайды 9-10)
    • ортогональная проекция и её законы; (слайд 11)
    • аксонометрическая проекция и её законы; (слайд 12)
    • центральная проекция (перспектива) и её законы; (слайд 13)
    • обратная перспектива и её законы.


II Практическая работа учащихся: способы построения перспективных изображений (сопровождается показом презентации с процессом построения)

1. Геометрическое решение задачи о построении перспективы двух параллельных прямых. Основная теорема теории перспективы. (слайд 15)

2. Геометрическое решение задачи о построении перспективы интерьера комнаты. (Слайд 16)


III Основные выводы по теме: (с демонстрацией презентации)(СЛАЙДЫ 17-19)
  • Геометрия и живопись.
  • Несколько слов о рождении проективной геометрии.
  • Невозможный мир Мориса Эшера


IV Подведение итогов урока.


Домашнее задание.( СЛАЙД 20)

Задача 1. Построить перспективное изображение
  • правильного треугольника
  • квадрата
  • трапеции

В каждом случае плоскости заданных фигур параллельны картинной плоскости, а основания фигур принадлежат предметной плоскости.


Литература.

1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,

1992 год.

3. А.Г.Яблонский «Линейная перспектива на плоскости», Москва, 1966 год

4. М.Н.Макарова «Перспектива», Москва, 1989 год.

5. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год.

6. DVD Tsarskoe selo Master Video, 2004

7. CD Microsoft Office at school


Урок № 8

Тема урока: Перспектива в изобразительном искусстве.

Цель урока: Проследить путь и степень влияния геометрических познаний на развитие живописи.

План проведения урока


«И, поистине, живопись – это наука и законная дочь природы, ибо она порождена природой…»

Леонардо да Винчи

Диалоговая беседа с просмотром слайдов презентации

Тезисы сообщения учителя

  1. Повторение. Методы отображения трёхмерного пространства на двумерную плоскость: ортогональная проекция, аксонометрическая проекция, перспектива
  2. Живопись Древнего Египта - ортогональная проекция, начала аксонометрии. (слайды 3-5)

Ортогональная перспектива свойственна древнеегипетскому искусству. Только в ортогональной проекции  форма предмета может быть зафиксирована единственным образом. Только ортогональная перспектива передаёт без искажений контуры реального предмета. Однако ортогональные проекции никак не передавали глубину реального пространства и уже в искусстве Древнего Египта появились робкие ростки аксонометрии.

Аксонометрическая живопись Древнего Китая и Японии.(слайд 6)

Законченное развитие аксонометрия нашла в живописи средневекового Китая и Японии. Китайские художники, многие из которых являлись монахами, находили умиротворяющую гармонию в природе. Там они познавали истину  и применяли полученные ими знания в живописи.

  1. Линейная перспектива эпохи Возрождения.(слайды 7- 15)

Перспектива - лучший приём передачи видимого. Для Возрождения наиболее характерна линейная перспектива. Линия горизонта и главная точка картины стали важнейшими инструментами художника. Главная точка картины заключала в себе смысл картины, становилась смысловым центром картины. В картине Леонардо да Винчи "Тайная вечеря" таким центром является правый глаз Христа. Вся картина  построена на линиях исходящих из этого центра. Картина имеет строгую вертикальную симметрию. Леонардо да Винчи, как и многие художники Возрождения старался не просто показать глубину пространства, но и как бы вычислить эту глубину. «Тайная вечеря» -это наука и искусство, которые для Леонардо да Винчи были слиты в живописи воедино.

Наука и искусство, словно нити холста, переплетались в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия – в искусство.


5.Обратная перспектива живописи Древней Руси. (слайды16-18)

Однако существовала ещё одна система перспективы - обратная. Она не была так хорошо научно разработана и не была признана таким количеством художников и учёных как линейная. Но она имеет право на жизнь также как и линейная. "Троица" Андрея Рублёва - шедевр древнерусской живописи. Непривычно выглядят непараллельные линии, которые не сводились в центр картины, а как бы исходили из точки перед картиной. Изучение законов картин древней Руси затруднялось несоблюдением художниками точности построения обратной пропорции.  Такое изучение попытался сделать В.Б.Раушенбах. Он пришел к выводу, что перспективной основой древнерусской живописи является аксонометрия.


6. Перспектива в произведениях современных художников. Илья Глазунов и его творчество


7. Практическая работа по исследованию геометрических композиций живописных полотен. Суриков «Боярыня Морозова» (слайд 19)


8. Домашняя работа: исследовать геометрические композиции одного из полотен русских художников И.Е.Репина, И.И. Левитана. И.К. Айвазовского.


Литература:

1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,

1992 год.

3. А.Г.Яблонский «Линейная перспектива на плоскости», Москва, 1966 год

4. М.Н.Макарова «Перспектива», Москва, 1989 год.

5. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год.

6. DVD Tsarskoe selo Master Video, 2004

7. CD Microsoft Office at school


Урок № 9

Тема урока: Пропорция. Золотое сечение.

Цель урока: познакомиться с золотым сечением и его примерами в математике.


План проведения урока


Беседа с учащимися. Демонстрация презентации «Пропорция. Золотое сечение»


«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них- теорема Пифагора, другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении.»

И.Кеплер

1. Пропорция. Основное свойство пропорции. (слайды 1-3)

«Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей,… это наилучшим образом может выполнить пропорция»

Тимей

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

2. Деление отрезка в данном отношении. (слайды 4-6)

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему













3.Выполнить алгоритм построения по слайду презентации. Записать алгоритм в тетрадь. Выполнить построения в тетрадях. (слайд 7)

4. Рассмотреть шкалу отрезков золотой пропорции. (слайд 8)

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя. «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

5. История золотого сечения (слайд 9)

6. Рассмотреть свойства правильных пятиугольников. Золотое сечение в правильном пятиугольнике. Построение правильного пятиугольника выполнить практически в тетрадях. (слайды 10-14)

7. Рассмотреть свойства золотого прямоугольника. Логарифмическая спираль (слайды 16-17)

8. Числа Фибоначчи и золотое сечение. (слайды 18-19)

9. Золотое сечение и симметрия. Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. (слайд 20)


10. Домашнее задание:

Задача 1. Построить отрезок длиной Ф, если дан квадрат со стороной 1.

Задача 2. С помощью циркуля и линейки построить прямоугольник с отношением сторон 1 : .

Задача 3. Докажите, что диагональ правильного пятиугольника равна Ф, если сторона этого пятиугольника равна 1.


Литература:

1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,

1992 ГОД

3. Энциклопедический словарь юного математика Москва 1989 год.


Урок №10

Тема урока: Золотые пропорции в природе, живописи, скульптуре.

Цель урока: Познакомиться с проявлением закона золотого сечения в живой природе, живописи, скульптуре.


План проведения урока.


Урок проходит в форме беседы с учащимися. На протяжении всего урока идёт обращение к презентации «Золотые пропорции в природе, живописи, скульптуре».


1. Золотое сечение в живой природе. (слайд 2-3)

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
  • Золотое сечение в растительном мире (слайд 4).
  • Золотое сечение в животном мире (слайд 5)
  • Золотое сечение в человеческом организме. (слайд 6-7)

2. Постановка проблемы. Что такое золотое сечение в природе: игра чисел или универсальный закон природы? (слайд 8)

3. Золотое сечение в геометрическом анализе классической скульптуры. (слайды 9-13)
  • Каноны Древнего Египта (сдайд 9)
  • Каноны Древней Греции (слайды 10-14)

4. Золотое сечение в живописи. (слайды 15-18)
  • Живописные полотна Деонардо да Винчи.
  • Живописные полотна Боттичели

5. Заключение (слайд 19)

Издревле в пропорции художники видели объективную основу красоты, по крайней мере формы прекрасного. Не все художники желали рассматривать искусство лишь как плод безудержной фантазии и чистой интуиции. И те из них, кто пытался постигнуть объективные законы прекрасного, находили их прежде всего в пропорции. Таким образом, будучи мерой, законом природы, золотое сечение становится и мерой человеческого творчества, законом красоты.

6. Домашнее задание (слайд 20)

Темы докладов и сообщений.
  1. Золотое сечение в технической эстетике.
  2. Золотое сечение в декоративно-прикладном искусстве.


Литература:

1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год

2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,

1992 ГОД

3. Энциклопедический словарь юного математика Москва 1989 год.

4. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год.

5. DVD Tsarskoe selo Master Video, 2004

6. CD Microsoft Office at school


Урок №11