Отчет по гранту поддержки ведущей научной школы Уравнения в частных производных и их приложения
| Вид материала | Отчет |
- Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.
- Задача Коши для одномерного уравнения Даламбера. Формула Даламбера, 45.74kb.
- Аннотация программы дисциплины (модуля) уравнения в частных производных, 31.96kb.
- Написание статьи поддержано Советом по грантам Президента Российской Федерации для, 152.59kb.
- Численные методы газовой динамики и теплопереноса, 16.69kb.
- Лекции Число часов, 51.1kb.
- Лекции Число часов, 50.92kb.
- Программа по курсу «Уравнения в частных производных», 25.35kb.
- Вопросы к экзамену по курсу «Уравнения математической физики» (6 семестр), 55.2kb.
- Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Семестр, 29.32kb.
Отчет по гранту поддержки ведущей научной школы
Уравнения в частных производных и их приложения,
Руководитель – Н.Н.Уральцева
Основное направление исследований коллектива - изучение квазилинейных и нелинейных уравнений и систем эллиптического и параболического типов, в том числе и вырождающихся. Рассматривались вопросы разрешимости и гладкости решений, в том числе в задачах со свободными границами. В этой области получены следующие результаты:
1. Изучены качественные свойства решений эллиптических и параболических уравнений с "плохими" младшими коэффициентами при условии на их дивергенцию. В произвольной размерности n>2 построен пример соленоидального коэффициента b, суммируемого с любой степенью p
2. Выявлены близкие к предельным условия гладкости на правую часть m-Гессиановского уравнения для существования и единственности как слабых, так и классических решений задачи Дирихле. Модернизированы и упрощены методы построения априорных оценок для постоянных Гельдера рассматриваемых решений. Начата ревизия алгебраических и дифференциально-геометрических основ развиваемой теории дифференциальных уравнений. В том числе, введена новая система понятий соответствующих разделах алгебры и дифференциальной геометрии.
3. Изучены вариационные задачи для квадратичных функционалов от вектор-функций с невыпуклыми ограничениями, заданными на границе предписанной области (задача типа Синьорини) или во всей области (так называемая задача с препятствием, выходящим на границу области). Ограничения на искомую вектор-функцию задавалось в виде замыкания произвольной области с гладкой границей или в виде гладкой гиперповерхности. Существенно, что компактности множества - препятствия в работах не предполагалось. Рассматривались квадратичные функционалы с недиагональными матрицами разделенной структуры. Такие функционалы возникают в геометрических задачах о гармонических отображениях. Доказана частичная гладкость решений таких вариационных задач, и оценено возможное сингулярное множество решения. Доказательство проводилось с помощью построения глобальных штрафных задач. Кроме того, для задачи с невыпуклым ограничением на границе доказано существование так называемого теплового потока u(x,t), который в пределе при t стремящемся к бесконечности определяет экстремаль вариационной задачи с заданным ограничением.
4. Изучался вопрос о достижимости точной константы в весовых неравенствах Харди -- Мазьи и Мазьи -- Соболева с предельным показателем в случае, когда особенность весовой функции лежит на границе области. Доказана достижимость точных констант в гладкой области при условии, что в окрестности особенности граница вогнута в среднем. При этом существенно улучшены предыдущие результаты N.Ghoussob'а и F.Robert'а.
Большое внимание уделялось исследованию уравнений движения жидкости:
1. Доказано, что необходимым условием blow up решения уравнений Навье-Стокса в некоторый момент T>0 является стремление L_3-нормы решения к бесконечности.
2. Исследованы дифференциальные свойства обобщенных решений стационарных задач магнитной гидродинамики с фиксированными границами в многосвязных областях (в пространствах Соболева и Гельдера).
3. Доказана локальная корректная разрешимость задачи со свободной границей для уравнений магнитной гидродинамики в многосвязной области.
4. Доказано, что решение может быть продолжено на бесконечный интервал времени, если начальная скорость мала, а граница раздела двух жидкостей близка к сфере. Глобальное существование классического решения доказано в пространствах Гельдера.
5. Исследовалась задача Стокса в vorticity-velocity-pressure постановке. Доказана теорема существования слабого решения, теорема единственности и дана оценка отклонения от точного решения.
6. Исследована задача о глобальной регулярности слабых решений уравнений магнитной гидродинамики при наличии осевой симметрии. Внимание уделялось случаю отсутствия угловой компоненты вектора скорости движения жидкости. В этом случае возможны только два варианта направления магнитного поля - тороидальное и полоидальное.
В 2011 году продолжалось исследование вариационных задач упругих многофазных сред. Были получены следующие результаты:
Исследовался вопрос о предельном поведении решений вариационной задачи о равновесии двухфазовой упругой среды при стремлении к нулю коэффициента поверхностного натяжения.
Полученные результаты:
1. Доказано, что последовательность состояний равновесия двухфазовой упругой среды при стремящихся к нулю коэффициентах поверхностного натяжения является минимизирующей для функционала энергии с нулевым коэффициентом поверхностного натяжения.
2. Площадь границы раздела фаз монотонно возрастает при убывании коэффициента поверхностного натяжения. Получена асимптотика этого убывания. Доказан критерий существования решения с конечным периметром у задачи о равновесии двухфазовой упругой среды с нулевым коэффициентом поверхностного натяжения, использующий предельное поведение площади границы раздела фаз.
3. При существовании решения с конечным периметром для задачи с нулевым коэффициентом поверхностного натяжения установлен характер сходимости к нему минимизирующей последовательности из первого пункта.
Коллектив ведет большую работу в области асимптотических методов в уравнениях с частными производными. Доказано существование специальных решений уравнений динамической теории упругости. Эти решения имеют характер высокочастотных волн, бегущих вдоль так называемых топографических волноводов.
Изучались упругие волны, распространяющиеся вдоль ребра клина. Доказано существование таких мод при более широких предположениях, чем в пионерской работе И.Камоцкого.
Получены новые формулы асимптотического распределения собственных чисел операторов представленных в виде тензорных произведений. Эти результаты применяются к задаче вычисления асимптотик вероятностей малых уклонений.
Продолжалось развитие теории обратных задач, расширяются возможности предложенного членами коллектива метода граничного управления:
1. Предложен план численного эксперимента для двумерной задачи. Предложена новая версия процедуры, восстанавливающей многообразие по скалярным спектральным и динамическим граничным данным. Версия представляется перспективной для численной реализации.
Продолжена разработка алгебраического подхода к обратным задачам.
Обнаружены новые связи с теорией С*- алгебр и коммутативной и некоммутативной геометриями.
2. Разработана классификация т.н. $s$-точек пространства задачи акустического рассеяния с гладким финитным потенциалом. Получены первые результаты по структуре множества $s$-точек в трехмерной задаче акустического рассеяния. Найдена связь $s$-точек с дискретным спектром оператора Шредингера, определяющего эволюцию системы и с точками вырождения джетов полиномиально растущих решений уравнения Шредингера с нулевой энергией.
Развивалась также теория апостериорных оценок отклонения приближенного решения от точного для разных задач математической физики.
Получены новые вычисляемые оценки погрешности моделей, возникающих при редуцировании размерности задач механики сплошной среды. Редуцированные модели возникают, когда исходная (обычно трёхмерная) задача заменяется задачей меньшей размерности при помощи различных априорных гипотез, позволяющих выделить главную часть решения.
Такие модели широко используются в механике твёрдого тела, теории газа и жидкости для количественного анализа соответствующих физических явлений. Вопросы математического обоснования упрощённых моделей исследовались многими авторами. В основном эти исследования выполнялись в рамках асимптотического подхода и состояли в доказательстве того факта, что решение редуцированной задачи в некотором смысле сходится к решению исходной при стремлении к нулю одного (или нескольких) геометрических параметров.
В последнее десятилетие появился новый подход к анализу этих и других близких проблем (например возникающих при использовании линеаризованных уравнений). Он основан на апостериорных оценках, которые позволяют оценить (вычислить) расстояние от заданной функции до точного решения той или иной задачи. Методы получения таких оценок были развиты в работах С. И. Репина и его коллег и опубликованы в более чем 50 статьях и двух монографиях (Elsevier, 2004; Walter de Gruyter 2008). Апостериорные оценки указанного типа были получены для широкого круга линейных уравнений в частных производных и ряда нелинейных задач. Их применение к уравнениям математической теории упругости, позволяет получить оценки разности между решением трёхмерной задачи (в которой один геометрический размер существенно меньше двух других) и решениями упрощённых моделей (в частности модели Кирхгофа-Лява). Оценки верны при любом значении малого параметра, явно зависят только от данных задачи и решения редуцированной задачи и дают гарантированную верхнюю границу ошибки модели. Они позволяют установить границу применимости упрощённой модели в конкретной задаче.
Полученные результаты публикуются в ведущих математических журналах, сделаны доклады на международных конференциях.