Программа по курсу «Уравнения в частных производных»
| Вид материала | Программа |
- Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.
- Задача Коши для одномерного уравнения Даламбера. Формула Даламбера, 45.74kb.
- Вопросы к экзамену по курсу «Уравнения математической физики» (6 семестр), 55.2kb.
- Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Семестр, 29.32kb.
- Аннотация программы дисциплины (модуля) уравнения в частных производных, 31.96kb.
- Магистерская программа по направлению 010100. 68 Математика Нальчик 2010, 66.47kb.
- Численные методы газовой динамики и теплопереноса, 16.69kb.
- Лекции Число часов, 50.92kb.
- Лекции Число часов, 51.1kb.
- Отчет по гранту поддержки ведущей научной школы Уравнения в частных производных, 57.73kb.
ПРОГРАММА
по курсу «Уравнения в частных производных»
Факультет математический
Специальность 010101 – Математика
Семестр 6 – 7
Лекции 68 час.
Практические занятия 68 час.
Самостоятельная работа 84 час.
Форма проверки экзамен 7 семестр
зачет 6 семестр
Составитель: Савчиц Е.Ю., кандидат физ.-мат. наук
Содержание лекционного материала
Введение в теорию уравнений с частными производными. Основные понятия. Теоремы Коши-Ковалевской. Пример Адамара. Понятие обобщенного решения.
Уравнения с частными производными первого порядка. Линейные и квазилинейные уравнения.
Классификация уравнений второго порядка. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка, линейного относительно старших производных.
Вывод уравнения теплопроводности. Постановка задачи Коши и смешанной задачи.
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
Смешанная задача для уравнения теплопроводности. Корректность постановки задачи.
Задача Коши для уравнения теплопроводности. Физическая интерпретация решения.
Вывод уравнения колебания струны. Постановка основных задач.
Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера для однородного уравнения. Задача Коши для неоднородного уравнения.
Физическая интерпретация формулы Даламбера.
Формула Даламбера для полуограниченной и ограниченной струны.
Смешанная задача для уравнения колебания струны. Доказательство корректности.
Общая схема метода Фурье для смешанной задачи для гиперболического уравнения.
Уравнения эллиптического типа. Постановка краевых задач и простейшие свойства решений. Гармонические функции.
Свойство максимума и минимума гармонической функции и его следствия.
Решение задачи Дирихле методом Фурье. Формула Пуассона. Обоснование метода Фурье для круга.
Решение задачи Дирихле с помощью функции Грина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа.
Теоремы о свойствах гармонических функций: о последовательности гармонических функций, о среднем, об аналитичности.
Задача Неймана. Необходимое условие разрешимости. Сведение к задаче Дирихле.
Теория потенциала. Потенциал простого и двойного слоя. Непрерывность потенциала простого слоя на всей плоскости. Теоремы о потенциалах простого и двойного слоя в плоском случае (без доказательства).
Сведение краевых задач для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям.
Решение задач Дирихле и Неймана с помощью потенциалов. Исследование уравнений.
Решение уравнений с частными производными с помощью интегральных преобразований.
Литература
Учебники:
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.
- Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики.
- Петровский И.Г. Уравнения в частных производных.
- Алиев Р.Г. Уравнения математической физики.
Задачники:
- Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики.
- Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике.