Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Семестр
| Вид материала | Программа дисциплины |
- Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 02 «Дифференциальные, 37.38kb.
- Программа курса "Дифференциальные уравнения " для специальности 010400 "Физика", 36.39kb.
- Дифференциальные уравнения (вопросы к экзамену), 26.43kb.
- Календарный план чтения лекций, 27.51kb.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения, 17.54kb.
- Программа по курсу «Дифференциальные уравнения», 41.77kb.
- Уравнения математической физики направление подготовки, 18.02kb.
- Программа дисциплины "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Специальность нм, курс, 35.01kb.
- Л. С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения М., «Наука», 1974, 31.21kb.
- Учебной дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения» для направления подготовки, 18.38kb.
Направление 010200 Математика и компьютерные науки
Профиль Все профили
Степень бакалавр
Программа
дисциплины Дифференциальные уравнения
Семестр 4, 5
Задача курса:
Заложить теоретический фундамент методов анализа и решения основных типов дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных первого и второго порядка.
Содержание курса:
1.Понятие дифференциального уравнения и его решения. Исторический обзор. 2.Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.
3.Геометрическая интерпретация. Поле направлений, интегральные кривые. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Продолжение решений.
4.Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения в полных дифференциалах.
5.Уравнения, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра, уравнения Лагранжа и Клеро.
6.Системы дифференциальных уравнений Линейные системы. Фундаментальная система решений однородной системы. Линейная зависимость функций и определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля. Метод вариации произвольных постоянных отыскания решения неоднородного уравнения. Построение общего решения линейной системы с постоянными коэффициентами.
7.Уравнения n-го порядка. Построение общего решения линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение неоднородных линейных уравнений с неоднородностями специального вида (квазимногочлен).
8.Непрерывная зависимость решения от параметра, дифференцируемость решения по параметру. Устойчивость по Ляпунову, теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению и ее применение.
9.Исследование фазовых портретов. Узел, седло, фокус, центр.
10.Элементы теории колебаний. Фазовый портрет консервативной системы.
11.Структурная устойчивость и бифуркации.
12.Регулярная и хаотическая динамика. Странные аттракторы.
Раздел Уравнения математической физики.
Введение.
Определение дифференциального уравнения в частных производных (УЧП), его решения, порядка, линейного уравнения и квазилинейного уравнения.
Описание элементарных физических процессов при помощи УЧП.
Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка (УЧП1).
Линейные УЧП1. Метод характеристик.
Квазилинейные УЧП1. Понятие задачи Коши и краевой задачи.
Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (УЧП2).
Вывод основных уравнений математической физики. Корректная постановка задач.
Классификация УЧП2. Приведение к каноническому виду в окрестности.
Дифференциальные уравнения гиперболического типа.
Задача Коши для однородного волнового уравнения на прямой. Формула Даламбера. Характеристический треугольник. Физическая интерпретация решения.
Теорема Коши-Ковалевской. Теорема устойчивости решения задачи Коши. Леммы о свойствах решений на бесконечной прямой.
Общая схема метод разделения переменных. Задача Штурма-Лиувилля, теорема Стеклова.
Обобщённый принцип суперпозиции.
Единственность и устойчивость первой краевой задачи.
Дифференциальные уравнения параболического типа.
Метод интегральных преобразований. Преобразование Фурье.
Задача Коши для уравнения параболического типа на прямой.
Обобщённый принцип суперпозиции.
Решения уравнения теплопроводности на отрезке.
Принцип максимума в ограниченной области.
Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи.
Уравнения эллиптического типа.
Уравнения Лапласа и Пуассона.
Формулы Грина.
Свойства гармонических функций.
Решение внутренней задачи Дирихле для круга.
Интегральная формула Пуассона.
Единственность задачи Неймана.