Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   21

10 (4 бали). Нехай , – натуральні числа. Чи може число бути простим натуральним числом?

Розкладемо наш вираз на множники:

;

.

А тоді отримаємо:

.

При перший множник менший за другий:

, а другий множник: і є непростим для усіх .

При другий множник менший за перший і маємо число , яке є складеним для .

Відповідь: число не може бути простим.


11 (4 бали). Знайти натуральні числа та , що мають максимальну суму, якщо .

1 спосіб: , звідки , тобто або ділиться на 23. Оскільки рівняння не змінюється від того, щоб і поміняти місцями, то для певності вважатимемо, що , , . , звідки , , тому або 23. А тоді , , або , . Другий варіант відповідає найбільшій сумі .

2 спосіб: розв’яжемо діофантове рівняння , розкладаючи на множники: . Оскільки усі дільники є , враховуючи симетричність рівняння відносно та і умову , отримаємо два принципово різних випадки: Другий випадок дає максимальну суму .


11 (4 бали). В множині натуральних чисел розв’язати рівняння .

1 спосіб. , адже при , , що неможливо. Отже, , , Перебравши отримаємо: , .

2 спосіб. Розв’яжемо діофантове рівняння способом розкладання на множники: , враховуючи обмеження на та дільники числа 15, матимемо: Від’ємні множники числа 15 не задоволь­няють умови задачі:

Відповідь: , .

11 (4 бали). Довести, що для довільного цілого числа існує таке ціле число , що ділиться без остачі на три, а число ділиться без остачі на 5.

Якщо , то . Якщо , то . Якщо , то . Якщо , то . Якщо , то .

Міркувати можна так: всі цілі числа, що діляться на 3, мають вигляд:

є повна система лишків по модулю 5;

Нехай тоді .


11 (2 бали). Знайти які-небудь два натуральні значення , при яких дріб можна скоротити.

Наприклад при і 4, (і 7, 10,…), дріб можна скоротити на 3.


11 (4 бали). Довести, що ні при яких натуральних значеннях дріб не можна скоротити.

Використовуючи алгоритм Евкліда, маємо:

. Дані числа завжди взаємно прості.


9 (4 бали). Довести: якщо для деяких цілих чисел і число без остачі ділиться на 5, то число без остачі ділиться на 25.

1 спосіб: 1) так як , то

.

2) Оскільки , то , а тоді потроєний результат .



.

2 спосіб. Оскільки , то ,

, адже .


11 (7 балів). Знайти усі такі натуральні числа і , щоб без остачі ділилось на , а без остачі ділилося на .

Розглянемо два випадки:

1) . Якщо , то , або 5. Якщо , то , , з яких підходять лише 2 і 6. Аналогічно міркуючи, маємо пару . При , звідки , , тобто , звідки перевіркою отримаємо: .

2) . Як і в попередньому випадку перебираємо і отримаємо пари , , , , , , , . Якщо , то , , , . Маємо ще пару .

Отже, маємо наступні пари , , , , , , , , , .


10 (4 бали). Нехай - сторони трикутника і справджується рівність . Довести, що і .

Враховуючи нерівність Коші для двох чисел отримаємо: , звідки . З іншого боку, , , тобто . Рівність можлива лише коли , тобто , що суперечить нерівності трикутника. Аналогічно, нерівність строга.


9 (2 бали). Нехай - катети, - гіпотенуза прямокутного трикутника. Довести, що .

З теореми Піфагора , помноживши на , отримаємо . Враховуючи, що і аналогічно, , отримаємо: .

10 (2 бали). Знайти найменше додатне просте число , для якого – теж просте число.

– не просте число; – просте;

Відповідь:


11 (4 бали). Знайти усі додатні прості числа , для яких – теж просте число.

– не просте число; – просте;

– не може бути простим, оскільки ділиться на 3.

Зауваження: добуток як добуток трьох послідовних цілих чисел, крім того, - просте, не може ділитися на три, тому на три ділиться або або , а тому

Відповідь: