Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

10 (7 балів). Числа утворюють арифметичну прогресію. Чи утворюють арифметичну прогресію числа ?

Оскільки числа утворюють арифметичну прогресію, то , а тоді .

Для того, щоб числа утворювали арифметичну прогресію, необхідно, щоб для усіх значень невідомої виконувалась умова:

, а тоді . Аналіз отриманих результатів, дозволяє зробити висновок, що при всі умови виконуються (друга сукупність є наслідком першої). Відповідь є позитивною.


9 (4 бали). Довести нерівність якщо .

Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:




9 (7 балів). Знайти найбільше значення функції .

ОДЗ: .

Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:

.

Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: .

Функція досягає найбільшого значення .


10 (7 балів). Знайти найбільше значення функції .

ОДЗ: .

Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:

.

Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: .

Функція досягає найбільшого значення .


9 (7 балів). Знайти всі пари дійсних чисел , для яких

а)

б)

а) Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:



.

Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: . Очевидно, умова виконується, маємо:

Відповідь: пара .

б) Нерівність має місце для усіх з ОДЗ, обчислимо ОДЗ:



Відповіддю є множина внутрішніх точок Δ АВС разом з межею.


10 (7 балів). Знайти всі пари дійсних чисел , для яких

Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:





Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: Маємо:

Відповідь: пара .


10 (7 балів). Знайти всі пари дійсних чисел , для яких

Розглянемо ліву частину, скористаємося нерівністю Коші-Буняковського:

Знак рівності досягається за умов (І чверть), звідки .

Отримали , а тоді Маємо обмеження на

А тоді усі пари описуються:


11 (7 балів). Довести нерівність .

ОДЗ: . Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського:




10 (7 балів). Довести нерівність .

Враховуючи нерівність Коші-Буняковського, маємо:




11 (7 балів). Розв’язати рівняння .

Враховуючи нерівність Коші-Буняковського, маємо:



Рівність можлива, лише коли і .

Розглянемо два випадки:

1) , , а тоді і , де . Звідси маємо , . З останніх двох рівностей отримаємо (діофантове рівняння), а тоді: , , . Звідки , .

2) , , тоді і , . А тоді отримаємо , . Прирівняємо, отримаємо: , , , . Звідки , .

Отже, , де .


9 (7 балів). Знайти усі трійки дійсних чисел , щоб



Враховуючи нерівність Коші-Буняковського маємо: , звідси , , . Рівність можлива, лише коли , , , , . , ,

або , , .

Маємо два розв’язки , , .


9 (4 бали). В одному сплаві маси латуні та міді знаходяться у відношенні 2:3, а в другому – у відношенні 4:5. Скільки частин першого та другого сплавів треба взяти, щоб дістати сплав, в якому маси цих металів знаходяться у відношенні 10:13?

Розв’язання задачі зведемо до розв’язання системи лінійних рівнянь, де через позначено, скільки частин першого і другого сплавів треба взяти, відповідно, щоб отримати частин третього сплаву:

.

А тому першого сплаву треба взяти 1 частину, другого – 2 частини.


10 (4 бали). Визначити значення параметра , при кожному з яких рівняння має від’ємні розв’язки.

, ОДЗ

1) при – задовольняє умову.

2) , або ,

;


, за умовою , тому нулі чисельника і знаменника :

Маємо (з урахуванням випадку 1) . Врахуємо ОДЗ:



Виключимо , що не задовольняє ОДЗ і входить у проміжок.

Відповідь: .


10 (4 бали). Знайти всі дійсні значення параметра , для яких нерівність має своїм наслідком нерівність .

1) . Умова не виконується.

2)

– нерівність має своїми розв’язками проміжок при ; об’єднання проміжків при і при , а тоді вона не має своїм наслідком

якщо , нерівність розв’язків не має. Якщо нерівність має своїми розв’язками проміжок . Вона матиме своїм наслідком проміжок , якщо а тому маємо три умови:

;

Якщо ; – виконується; – не виконується при .

Якщо , – виконується при ; – виконується .

Відповідь: при .

11 (7 балів). Розв’язати рівняння: .

По-перше, , і чисельник та знаменник – числа додатні (перевірте!), а тому значення параметра ; по-друге, добутки чисельника і знаменника на спряжені дорівнюють: , . Враховуючи це, маємо: , а тоді , звідки , а тоді , за умови  (*) отримаємо . Рівняння при перетворюється на лінійне, звідки . При маємо квадратне рівняння, а тоді , . Перевіримо виконання умови (*) для . , вико­нав­ши перетворення, отримаємо ; якщо замінити у чисельнику , отримаємо кубічне рівняння з єдиним дійсним (раціональним коренем) , а тоді для усіх умова (*) не виконується. Для : , після перетворень матимемо ; чисельник при усіх набуває додатних значень, тому при умова (*) не виконується, при виконується (нескладно помітити, що при ).

Відповідь: при розв’язків не має; при ; при