Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материала

Содержание

Довжини сторін прямокутного трикутника є натуральними числами. Довести, що принаймні одне з них ділиться на 3.
АВС проведемо прямі, паралельні його сторонам, які попарно перетинаються в точках А

Подобный материал:

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21

9 (2 бали). Довжини сторін прямокутного трикутника є натуральними числами. Довести, що принаймні одне з них ділиться на 3.

1 спосіб. Усі натуральні числа є числа виду:

. Розглянемо всі випадки:

– найпростіший, адже гіпотенуза ділиться на 3.

2 спосіб. Нехай усі сторони є натуральними числами, що не діляться на три. Тоді вони мають вигляд

(тобто при діленні на три дають остачу 1 або 2). Оскільки в такому випадку сума квадратів катетів при діленні на три дає остачу 2:

, а квадрат гіпотенузи – 1:

, приходимо до суперечності, а тому принаймні одне з чисел ділиться на три.

9 (2 бали). Довести, що сума катетів прямокутного трикутника дорівнює сумі діаметрів описаного і вписаного в цей трикутник кола.

В

ведемо позначення (дивись рисунок),

тоді катети гіпотенуза діаметр описаного кола дорівнює гіпотенузі , з цих співвідношень отримуємо:

9 (4 бали). Визначити кути прямокутного трикутника, якщо де – відповідно радіуси вписаного та описаного кіл.

1 спосіб.

,

скористаємося теоремою Вієта, тоді – корені квадратного рівняння:

або

Кути

.

2 спосіб.

; так як

, матимемо

. Розв’яжемо тригонометричне рівняння, поділивши на

ліву і праву частини, врахуємо, що

, отримаємо

.

Зауваження: отримали, на перший погляд, іншу відповідь. Покажемо, що вони однакові:

(відповідь співпадає з відповіддю першого способу розв’язання).

11 (4 бали). Написати рівняння кола, описаного навколо трикутника, утвореного прямою та осями координат.

– координати вершин трикутника. Центр кола лежить на середині гіпотенузи АВ трикутника і має такі координати:

, тоді

. Звідси отримаємо рівняння кола

9 (4 бали). В площині знайти точку, сума квадратів відстаней якої до вершин трикутника є найменшою.

1 спосіб. Як відомо, точка перетину медіан є центром мас трикутника. Нехай

– точка перетину медіан , тоді

, звідси для довільної точки

ума

є сталою і не залежить від положення точки

у площині, тому вираз набуває найменшого значення, коли перший доданок перетворюється в нуль, тобто

, отже,

набуває найменшого значення, коли

– точка перетину медіан.

2 спосіб (метод координат). Допоміжна вправа: дано координати вершин трикутника

. Визначити координати точки

перетину медіан.

Вказівка: запишіть координати середини відрізка

точки

і скористайтесь тим фактом, що точка

ділить відрізок

у відношенні

.

Відповідь:

.

Розв’язання. Виберемо прямокутну систему координат, нехай координати точок

. Тоді потрібно знайти найменше значення

;

, де

- деякий вираз, що не залежить від вибору точки

а тільки від заданих точок

. Очевидно

набуває найменшого значення, якщо перші два доданки дорівнюють нулю, а тоді:

- точка перетину медіан

.

1

0 (7 балів). Довести, що центр описаного кола , ортоцентр (точка перетину висот) і точка перетину медіан будь-якого трикутника лежать на одній прямій (прямій Ейлера).

. Тоді

– точка перетину медіан.

Серединний перпендикуляр до

, тоді

;

. Тоді

.

Оскільки – лежить на перпендикулярі до

, що проходить через

, то

. Оскільки – лежить на перпендикулярі до

, що проходить через

, то

;

. Тоді

;

.

Координати векторів пропорційні, а отже точки лежать на одній прямій.

2

спосіб.: Розглянемо наступні вправи.

Вправа 1. Доведемо, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Нехай дано:

;

.

Довести:

.

Через вершини трикутника АВС проведемо прямі, паралельні його сторонам, які попарно перетинаються в точках А₁, В₁, С₁. Розглянемо чотирикутники СВАВ₁ і СВС₁А. Це паралелограми (за побудовою ВС||В₁С₁; АС||А₁С₁; АВ||А₁В₁. Оскільки ВС=АС₁ і ВС=АВ₁, то АС₁=АВ₁ (за транзитивністю), а звідси випливає, що точка А ділить відрізок В₁С₁навпіл. Аналогічно точки В і С ділять навпіл відповідно відрізки А₁С₁ і А₁В₁. Прямі, яким належать висоти трикутника АВС, перпендикулярні до сторін трикутника А₁В₁С₁ в їх серединах. Отже, вони мають спільну точку – центр кола, описаного навколо трикутника А₁В₁С₁. Ця точка, спільна для висот трикутника АВС, є ортоцентром Н.

Вправа 2. Довести, що коли через вершини трикутника АВС провести прямі, паралельні його сторонам, то утворений трикутник А₁В₁С₁ буде гомотетичний трикутнику АВС з центром гомотетії в точці М перетину медіан трикутника АВС і коефіцієнтом k=-2.

Доведення: Оскільки В₁А=АС₁; С₁В=ВА₁; А₁С=СВ₁ (дивись попередню вправу), то В₁В, А₁А і С₁С – медіани трикутника А₁В₁С₁.Тому

;

; і трикутник А₁В₁С₁буде гомотетичний трикутнику АВС з центром гомотетії в точці М перетину медіан трикутника АВС.

Вправа 3. Довести, що у будь-якому трикутнику АВС центр О описаного кола, точка М перетину медіан і ортоцентр Н належать одній прямій (пряма Ейлера), причому 2ОН=МН.

Оскільки точка Н є центром кола, описаного навколо трикутника А₁В₁С₁, то точки О і Н відповідно гомотетичні при гомотетії з центром М і коефіцієнтом k=-2, тому лежать на одній прямій.

3

спосіб. Нехай - середини сторін

та

, відповідно, - центр описаного кола, - точка перетину медіан, - ортоцентр. Оскільки , тому . Аналогічно, , крім того , бо - середня лінія . Звідси випливає, що гомотетичний . Прямі перетинаються в одній точці, а саме точці (- медіани). Звідси .

11 (4 бали). Ребра , , чотирикутної піраміди – взаємноперпендикулярні. Довести, що центр сфери, описаної навколо , лежить на прямій, що з’єднує вершину з точкою перетину медіан трикутника .

Н