Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   21

10 (7 бали) В опуклому чотирикутнику сума квадратів двох довільних сторін, що мають спільну вершину, дорівнює квадратові діагоналі, що проходить через цю ж вершину. Знайти кути чотирикутника.

Нехай – даний чотирикутник, і – середини діагоналей та відповідно. Враховуючи відому формулу довжини медіани , маємо для медіан трикутників :

– ця формула належить Ейлеру. За умовою , , , . Додавши всі ці рівності, легко отримати: . З формули Ейлера отримуємо: , тобто точки і співпадають і – паралелограм, тому , , . – прямокутник, всі кути прямі.

Зауваження. Формулу довжини медіани нескладно отримати, записавши двічі теорему косинусів для та :





та почленно додавши отримані рівності.


9 (4 бали) Чи обов’язково будуть рівними два трикутники, якщо висоти одного із них дорівнюють висотам іншого? Відповідь обґрунтуйте.

Нехай – площа і сторони першого трикутника, – відповідно другого. З умови маємо: , , аналогічно отримаємо: , а тому , тому дані трикутники подібні з деяким коефіцієнтом , а тоді площі відносяться як , маємо , тобто . Трикутники рівні.


9 (7 балів). Визначити площу трикутника за трьома висотами .

Запишемо формули для площі трикутника: , маємо п’ять рівнянь і п’ять невідомих, виразимо сторони через висоти та виключимо сторони: , а тоді: і півпериметр: , виразимо : або аналогічно: підставимо у формулу Герона, отрима­ємо:

звідки пло­ща  (кв.од.).


9 (2 бали). Чи обов’язково будуть рівними два трикутника, якщо висоти одного з них дорівнюють висотам іншого?

За умовою трикутники мають рівні висоти , , , тому вони мають однакові площі (дивись попередню задачу), а тоді сторони трикутників рівні, а отже і трикутники рівні за трьома сторонами.


9 (2 бали). Знайти всі сторони трикутника з площею 12, якщо дві з них дорівнюють 5 і 6.

За умовою , а тоді за теоремою косинусів отримуємо третю сторону:




9 (7 балів). Точка знаходиться в площині квадрата і см, см, см. Знайти площу квадрата.

Використаємо метод координат: нехай початок координат співпадає з точкою , вісь абсцис напрямлена від точки до , вісь ординат – від точки до і нехай сторона квадрата дорівнює  см, тоді координати точок ; координати точки . Врахуємо умову задачі, отримаємо:









.

Відповідь. Площа квадрата дорівнює 26 см2.


10 (7 балів). Точка знаходиться в площині квадрата і см, см, см. Знайти площу квадрата.

Див. попередню задачу. Площа квадрата дорівнює 15 см2.


10 (7 балів). Точка знаходиться в площині квадрата і см, см, см. Знайти площу квадрата.

Відповідь. Площа квадрата дорівнює 17 см2.

10 (2 бали). Знайти площу трикутника з вершинами в точках

1 спосіб: обчислити довжини сторін:

; далі скористатися формулою Герона, що не зовсім раціонально.

2 спосіб: обчислити довжини сторін та скористатися теоремою косинусів:

,

;

(кв.од.).

3 спосіб: обчислити вектори сторін :

тоді площа трикутника є половина модуля визначника координат векторів сторін :

(кв.од.).

(Визначник 2-го порядку обчислюється за правилом: ).


9 (4 бали). Знайти площу трикутника, вершини якого – точки перетину прямих

Запишемо рівняння прямих у відрізках , тоді –відрізки, які відтинає пряма на осях абсцис і ординат, відповідно. Побудуємо прямі: та знайдемо координати вершин :

;

;

.

Обчислимо вектори, на яких побудовано : ; , тоді площа трикутника є половина модуля визначника координат векторів сторін :

(кв.од.).

Зауваження: обчислення площі за формулою Герона більш громіздке, але дає той же результат.

Площу можна обчислити без формули Герона, знайшовши за теоремою косинусів косинус одного з кутів та, скориставшись основною тригонометричною тотожністю, обчислити синус кута і далі – площу.

2 спосіб: Якщо рівняння прямої координати точки , то відстань від точки до прямої обчислюється за формулою: .

Рівняння прямої координати точок , , відстань (од.) – довжина сторони; висотою слугує відстань від третьої вершини до прямої

(кв.од.).

3 спосіб: Запишемо рівняння прямих у вигляді – кутовий коефіцієнт прямої. Маємо: аналіз кутових коефіцієнтів – добуток дорівнює (-1) – дозволяє зробити висновок, що прямі – прямокутний, причому , а тому його площа дорівнює півдобутку катетів . Маючи координати точок , знаходимо потрібні відстані і отримуємо площу.


9 (4 бали) Нехай – сторони трикутника і справджується рівність . Довести, що і .

Доведення (від супротивного): (як сторони трикутника).

1) Нехай , тоді (за умовою).

.

Знак рівності можливий, якщо , але тоді – суперечить умові. Отже .

2) Нехай , тоді , що неможливо. Отже, .

10 (4 бали) Нехай – неопуклий чотирикутник на площині, – кут між прямими і . Довести, що площа чотирикутника може бути обчислена за формулою .

Нехай – точка перетину прямих і . Враховуючи, що , маємо: