Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21

10 (7 балів). Площа чотирикутника дорівнює 1м2, а периметр – 4м. Довести, що чотирикутник обов’язково є квадратом.

Нехай – даний чотирикутник, , , , .

З нерівності легко видно, що . . Аналогічно, . Додавши дві останні нерівності отримаємо: . Рівність можлива, по-перше, коли всі кути прямі, а також при умові, що , але і , тому , , тобто маємо прямокутник, у якого всі сторони рівні, тобто квадрат.


10 (4 бали). Нехай – точка на медіані трикутника . Прямі і перетинають сторони і у точках і відповідно. Відомо, що площі трикутників і однакові. Довести, що – точка перетину медіан трикутника .

Прямі , , перетинаються в одній точці, тому за теоремою Чеви: , але , тому , звідки . Нехай – відстань між прямими та , тоді , , , де через позначено проекцію точки на пряму . Отже, – медіана, а тому – точка перетину медіан.


10 (4 бали). Чи існує трапеція, основи якої дорівнюють 9 см і 11 см, а бічні сторони 8 см і 6 см? Відповідь обґрунтуйте.

Нехай – дана трапеція. , , , . Побудуємо на основі точку так, що , тоді – паралелограм, , оскільки, , , то для порушується нерівність трикутника . Тобто такої трапеції не існує.


11 (4 бали). Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Одна з них дорівнює 6, а інша утворює кут з основою. Знайти довжину середньої лінії трапеції.

Нехай – дана трапеція, – точка перетину діагоналей, , адже . , , звідки довжина середньої лінії: .


9 (4 бали). Довжина кожної сторони трикутника не перевищує 1. Довести, що квадрат його площі не перевищує . Коли досягається знак рівності?

Нехай - найменший кут трикутника. Тоді і площа трикутника: . Знак рівності досягається при - рівносторонній із сторонами 1.

9 (4 бали). Дано коло радіуса . В нього вписано три однакових кола, кожне з яких дотикається до двох інших. Знайти радіуси цих кіл.

Нехай – радіус цих кіл. – радіус описаного кола для рівностороннього . Оскільки , маємо , звідси .


11 (4 бали). Сторони і опуклого чотирикутника рівні між собою. Довести, що прямі і утворюють рівні кути з прямою, що з’єднує середини і .

Нехай – середини відрізків , відповідно. Оскільки , то , але , , звідси випливає потрібне твердження.


10 (4 бали). Довести, що площа правильного восьмикутника дорівнює добуткові його найкоротшої і найдовшої діагоналей.

Враховуючи осьову симетрію легко бачити, що , (), побудуємо дотичні до описаного кола восьмикутника в точках і і в перетині з прямими і побудуємо прямокутник . Нехай – проекція точки на пряму . (, ). Звідки легко видно, що площа восьмикутника дорівнює площі прямокутника , тобто .


11 (4 бали). Чи можуть всі діагоналі опуклого шестикутника бути рівними за довжиною.

Припустимо, що це можливо, тоді рівнобедрені трикутники та рівні ( – спільна сторона, ), але тоді , – суперечність. Ні, не можливо.


10 (4 бали). В яких межах може змінюватись периметр трапеції, у якої діагоналі – бісектриси кутів при більшій основі, а одна з бічних сторін дорівнює 2.

Враховуючи властивість різносторонніх кутів, маємо: , . Аналогічно . , тому . За нерівністю многокутника: , .

Отже, . «Лівий» кінець досягається коли «зсувати» точки та до граничного положення, коли . Для правого кінця потрібно «розсувати» точки та до граничного положення, коли .


11 (4 бали). Довести, що сума відстаней від довільної точки простору до всіх вершин одиничного куба не менша від .

Обчислимо діагональ куба:

.

Розглянемо суму відстаней від довільної точки простору до усіх вершин одиничного куба та врахуємо нерівність трикутника, отримаємо:

.


11 (4 балів). Поверхня кулі дотикається координатних площин та площини . Знайти центр вписаної кулі.


Нехай – центр вписаної кулі. Точки і лежать по один бік від площини , причому , враховуючи відому формулу відстані від точки до площини отримаємо: , , .


11 (7 балів). Довести, що , якщо – довжини сторін трикутника.

За нерівністю трикутника: , , . Піднісши ці нерівності до квадрату, та додавши, отримаємо:



.


11 (7 балів). Знайти висоту конуса найбільшого об’єму, вписаного в кулю радіуса .

Нехай висота дорівнює . Розглянемо переріз, який проходить через вершину і центр кулі . З : , звідки . У випадку коли – тупокутний, вираз для об’єму такий самий (перевірте!). , , , при або , тоді , це значення є максимальним.