Geum.ru

Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка

Вид материалаДокументы
Подобный материал:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   21

10 (2 бали). Знайти кількість пар цілих додатних чисел , для яких .

Так як , то один розв’язок маємо одразу: а тоді усі цілочисельні розв’язки . Враховуючи умову , отримуємо значення для : , звідки .

Відповідь: 334 пари.


11 (4 бали). Знайти всі невід’ємні , при яких розв’язки рівняння є натуральними числами.

Застосуємо до діофантового рівняння метод локалізації і перебору: , , ; , , а тоді і .

.

.

.

.

.

Відповідь: .


10 (7 балів). Знайти усі пари натуральних чисел , для яких .

Зведемо до спільного знаменника: . Розв’яжемо діофантове рівняння способом розкладання на множники. , додамо до лівої і правої частини , отримаємо , звідки (якщо одночасно , їхній добуток не може бути рівним ). Розглянувши усі варіанти, отримаємо 20 можливостей (кількість натуральних дільників числа визначається за формулою і дорівнює ):

(Перевірка: );

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

.


9 (7 балів). Знайти пари натуральних чисел, що задовольняють систему

додамо почленно: або , для відповідного квадратного рівняння маємо , , розв’язком нерівності є проміжок ; врахуємо, що , маємо .

звідки .


9 (4 бали). Нехай - натуральне число і остання цифра числа дорівнює 6. Знайти передостанню цифру числа .

Число може давати остачі при діленні на 10, тоді при . Аналогічно, перебираючи всі варіанти приходимо до висновку, що . .

, тобто передостання цифра 1.


9 (7 балів). Знайти усі пари цілих чисел , для яких .

Піднісши обидві частини до квадрата маємо: , . Якщо , то , . Якщо , то , тому . . Перевіркою переконуємося, що , , тому , , , звідси . . Якщо - непарне, то – парне число і тому , таким чином, . Перевіркою, крім розв’язку , знаходимо ще: , , .


9 (7 балів). Довести, що число є квадратом цілого числа.

Маємо:  

.

Зазначимо, що число , адже сума його цифр .


9 (7 балів). Яким має бути число , щоб проміжок містив єдине ціле число.

Маємо проміжок , який містить число 0. Щоб інших цілих чисел він не містив необхідно і достатньо, щоб . Звідки розв’язуючи відповідні нерівності отримаємо:

.


10 (4 бали). Знайти всі цілі та , для яких справджуються обидва співвідношення: .





Враховуючи, що маємо . Маємо :



Відповідь:


11 (4 бали). Знайти усі трійки цілих , для яких справджуються обидва співвідношення: .

Дослідимо, чи можуть невідомі набувати значень, рівних нулю:

При розв’язки не є цілими. При отримуємо розв’язок, який вже мали:

Нехай невідомі відмінні від нуля. Виключимо невідомі по черзі з рівнянь, матимемо:

Першу умову можна переписати як або ; права частина рівності ділиться на , а тому , тобто частка . З першої умови системи маємо: , або , це можливо, якщо вираз набуває значень . Перебираючи усі можливі варіанти: матимемо (цілочисельні) розв’язки:

Відповідь: ;