«Площади»

• ТемЫ рефератов по мерчендайзингу, 204.9kb.
• Разработка урока по теме «Понятие площади многоугольника», 32.86kb.
• Механика Жидкостей и Газов, 12.81kb.
• Блиц (матан и триг.) блиц (геометрия) Вопросы по планиметрии, 56.04kb.
• Лабораторная работа №1 Тема: «Разработка простейших программ линейных структур», 169.83kb.
• Городские тематические экскурсии, 85.03kb.
• Урок-сказка по теме "Площади и объемы". 5-й класс, 87.63kb.
• Урок геометрии в 8 классе по теме «Площади многоугольников», 52.25kb.
• Об изучении площади в начальной и средней школе, 56.34kb.
• Доклад заместителя министра лесного хозяйства, 82.14kb.

Как решать задачи по планиметрии ссылка скрыта Статья отнесена к разделу: ссылка скрыта Треугольник.   AH -высота, BM - медиана, CK - биссектриса. Показано условными обозначениями на чертеже.   МN - средняя линия, MNxx ВС и MN = 1/2AC M и N - середины сторон, р = a+b+c - полупериметр. P - периметр. Сумма углов треугольника - 180° АС + ВС > АВ-наибольшая сторона, меньше суммы двух других. АВ - АС < ВС-наименьшая сторона, больше разности двух других. Sтр = 1/2 BC·AH =  1/2   AB·AC·Sin A = Правильный Равнобедренный Прямоугольный Косоугольный (остро/тупоугольный) Равны стороны и углы по 60°. Совпадают высоты, медианы, и биссектрисы. AB = BC,РA=РC - при основании. ВH - высота, медиана, биссектриса к основанию. РC=90°, CB и CA - катеты, AB - гипотенуза т. Пифагора: BA2=BC2+CA2 CH2=BH·CA. Sin A=a/c; Cos A=b/c; Tg A=a/b Sтр.=1/2 ah=1/2 bh т.е.получим полупроизведение основания на высоту. Свойства биссектрисы делит угол на два равных угла; содержит точки, равноудаленные от сторон угла: TK=TP. Делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащим к ним сторонам треугольника : Свойства медиан делит сторону пополам в точке пересечения делятся в отношении 1: 2, считая от стороны AD=2DK, BD=2DM, или DK=1/2AD, DM=1/3BM В прямоугольном треугольнике - катет, лежащий против угла в 30, равен половине   гипотензы: ВА=2СА; - центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы: АО=ОВ. - площадь равна полупроизведению катетов. - h2 = BH·HA Треугольник и окружность Четырёхугольники Название и вид Диагонали в точке пересечения делятся пополам Стороны и углы равны   Параллелограмм AC2+ BD2 = 2AB2 + 2AD2 Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон. Попарно противоположные стороны. Противоположные углы. S = b·h S = a·b·sin A Прямоугольник Диагонали равны d2 = a2 + b2 Стороны противоположные. Углы Все прямые S = a·b Ромб Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Стороны все равны. Углы противоположные. S = a·h S = 1/2d1·d2 S = a2·sinA Трапеция a,b-основания, h-BH-высота MN- средняя линия AB и CD -боковые стороны, BD, АС - диагонали   Равнобедренная Прямоугольная S = 1/2 (a + b)·h = MN·h Окружность и круг OD - a - радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной. Треугольник.   № п/п Содержание задачи Ответ №1 Дан равнобедренный треугольник, длина основания которого b, а высота, опущенная на боковую сторону, равна h. Найти площадь треугольника. №2 Дан треугольник АВС, в котором АВ=с, АС=b, А=a. Найти длину биссектрисы угла А. №3 Периметр прямоугольного треугольника равен р, а длина его гипотенузы равна с. Найти площадь треугольника. 1/4 (p2-2pc) №4 Площадь треугольника равна S. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого равна S?. Найти площадь четырёхугольника, три вершины которого совпадают с вершинами отсеченного треугольника, а четвёртая лежит на середине основания исходного треугольника. Комментарий: Тип задач, когда по изготовлению чертежа по условию, вводится вспомогательная величина. Затем с помощью формул и приёма выражения одной величины из двух разных фигур составляется алгебраическое уравнение. Отличается их решение широким спектром алгебраических преобразований. Предлагаем решение данных задач. Задача 1. Решение: Составим уравнение, используя формулу площади треугольника через полупроизведение основания на высоту: 1/2 ВС·АК = 1/2АС·ВМ. Обе части уравнения сократим на 1/2, введём данные по условию задачи и неизвестную величину, обозначенную через х. , - уравнение иррациональное с одним неизвестным, которое и позволит найти х = ВС, а затем и площадь треугольника АВС. 3) Предварительно возведём обе части уравнения в квадрат. После алгебраических преобразований, выразим x2*h2=b2(x2-b2/4); b2*x2-x2h2-(b2)2/4=0; x2(b2-h2)=(b2)2/4 4) Площадь треугольника АВС: S = 1/2 BC·AK, Задача 2. АК - биссектриса, пусть равна m. Свойства биссектрисы, кроме того, что она с делит угол пополам и точки её на равном расстоянии от сторон угла, - делит m противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.   Теорема “труженица” - ВК/АВ = КС/АС                                       (1) Здесь необходимо найти биссектрису, через которую вместе с данными из условия задачи, используя теорему косинусов, легко выражаются отрезки ВК и КС: Из АВК ВК2 = с2 + m2 - 2 cm cos /2 Из АКС КС2 = b2 + m2 - 2 bm cos /2. Коль имеем дело с квадратами выражений, для упрощения преобразований, возводим обе части (1) в квадрат и выполним подстановку: Выполним деление: Переносим всё в одну часть: Полученное выражение можно записать в следующем виде: m?(1/c - 1/b)(1/c + 1/b) - 2 m cos1/2(1/c -1/b) = 0, где присутствует общий множитель m·(1/c - 1/b). Вынесем его: m·(1/c - 1/b) (m (1/c +1/b) - 2 cos /2) = 0 - произведение равно 0, то: m·(1/c - 1/b) = 0 или m 0, (b - c)/ (bc) = 0 где b = c - треугольник равнобедренный   m·(1/c + 1/b) - 2 m cos /2 = 0. m ·((b+c)/(bc)) = 2 cos /2 Задача 3. Уравнение по условию задачи, где дан периметр: возведём обе части уравнения в квадрат : . Вот здесь будьте внимательными! Чтобы не уйти в длинное решение! Заметив, что полупроизведение катетов даёт площадь данного прямоугольного треугольника, в виде сразу даём ответ, не находя неизвестное. Ответ: 1/2 (p2 - 2pс) Задача 4. Из данных условия задачи, очевидно, надо использовать формулу площади треугольника: полупроизведение основания на высоту треугольника АВС. Следует провести высоту треугольника АВС к основанию АС. Для решения задачи, конечно же, выгодна высота ВH, т.к. она связана с основаниями всех трёх треугольников: АВС, МВК, МРК. Введём вспомогательные неизвестные величины: Пусть: BH = h; AC = a - в треугольнике АВС и BT = h'; MK = a' - в треугольнике МВК. При этом TH = h - h' - является высотой треугольника МРК. По условию задачи: SABC = 1/2ah = S (1) SMBK 1/2a' h' = S' (2) Отсюда: SMPK =1/2a' (h - h' ) =1/2 a'h - 1/2 a'h' = 1/2 a' h - S'; S MPK = 1/2 a' h - S' (3) Треугольники АВС и МВК - подобные, коль МК АС - по условию задачи. Значит: АС/МК=BH/BT, т.е. a/a' = h/h', ah' = a'h -по свойству пропорции. А вот здесь, полезно обратить внимание на равенство полученных произведений и проявить смекалку! Задайте себе вопрос: Где взять это произведение? Перемножив почленно, записанные уравнения (1) и (2), получим: 1/4 ah·a'h' = S·S' , где ah' заменим на a'h: 1/4 a'h·a'h = SS' и (a'h)2 = 4 SS' Значит: a' h = , что подставим в выражение (3) площади треугольника МРК и получим: SMPK = ? ·' - S'; SMPK = - S' Отсюда площадь искомого четырёхугольника РМВС: - S' + S' = Ответ: