«Площади»

• ТемЫ рефератов по мерчендайзингу, 204.9kb.
• Разработка урока по теме «Понятие площади многоугольника», 32.86kb.
• Механика Жидкостей и Газов, 12.81kb.
• Блиц (матан и триг.) блиц (геометрия) Вопросы по планиметрии, 56.04kb.
• Лабораторная работа №1 Тема: «Разработка простейших программ линейных структур», 169.83kb.
• Городские тематические экскурсии, 85.03kb.
• Урок-сказка по теме "Площади и объемы". 5-й класс, 87.63kb.
• Урок геометрии в 8 классе по теме «Площади многоугольников», 52.25kb.
• Об изучении площади в начальной и средней школе, 56.34kb.
• Доклад заместителя министра лесного хозяйства, 82.14kb.

Конструкции из интегралов ссылка скрыта Статья отнесена к разделу: ссылка скрыта В методической литературе всё чаще задаются вопросом: “Нужно ли изучать в школе интегралы?” На что с уверенностью можно ответить: “Конечно же!” И дело здесь не в том, что интегральное исчисление возникает раньше дифференциального в истории науки (а этот факт должен быть обязательно учтён при построении школьного материала), а скорее в том, что интегралы могут выступать не как самоцель, а как аппарат для закрепления базового материала. Часто при изучении интегрального исчисления в школе рассматриваются лишь основные моменты данного раздела: нахождение первообразных функции, вычисление определённых интегралов, отыскание площадей плоских фигур и объёмов тел вращения. Да, мы не спорим, что данные вопросы являются базовыми и необходимыми, ведь именно они раскрывают основную суть процесса интегрирования, но где же творческий подход в обучении математике? Где он? Именно на эти и другие возникающие вопросы мы постараемся ответить в своей статье. Порой мы просто-напросто ограничиваем тему "Интеграл" учебников и делаем её недоступной для другого математического материала, входящего в рамки школьной программы. Многие из учителей забывают, что, используя несложные конструкции, содержащие определённые интегралы, можно составить прекрасные уравнения, неравенства, их системы, различные задачи с параметрами, решение которых вызовет лишь положительное одобрение со стороны школьников. И это действительно так. Решая достаточно большое количество стандартизованных задач, учащиеся вскоре приходят к усталости, усталости решать "одно и тоже". В этот момент "мозговой штурм" сменяется "мозговым спадом", что на наш взгляд, не хотел бы наблюдать на своём уроке каждый учитель. И вот тогда на помощь могут прийти всё те же конструкции. Благодаря им, учащиеся будут стремиться вычислить не только сам интеграл, но и применить полученные в ходе вычисления результаты к решению конкретной задачи, которая в свою очередь вызовет интерес у школьников. Таким образом, нам удастся восстановить атмосферу сотрудничества на уроке и локализовать "штурм" в каждом из учеников. Составляя конструкции, мы сможем осуществить внутриматематическое моделирование, которое позволит доказать учащимся то, что тема "Интеграл" не существует сама по себе, автономно, а великолепно и в полном объёме используется при решении задач ранее изученных тем. Также одним из существенных моментов при решении задач, содержащих конструкции, является то, что учащиеся сталкиваются с тем, что в пределах интегрирования появляются переменные (до этого были лишь постоянные), для которых чаще всего приходится проводить анализ и находить их ОДЗ. Ведь вне ОДЗ многие определённые интегралы не вычислимы, тогда мы сталкиваемся с несобственными интегралами, решение которых не предусматривается школьной программой. Поэтому при составлении любых конструкций данный факт должен обязательно учитываться. Именно анализ заставляет учащихся сомневаться, делает процесс вычисления познавательным и привлекает к себе класс. Заинтересованный ученик всегда активен. Он стремится решить, понять, осознать. Поддержание данного стремления – основная задача учителя, его мастерство и профессионализм. В нашей статье мы приводим примеры некоторых из конструкций, которые могут быть использованы в конкретных ситуациях. К каждому заданию прилагается по два варианта с решениями. I. Решить уравнения. А) , Решение. Вычислим интеграл:. Тогда . Решая полученное уравнение, находим, что x = 0, x = + 1, x = – 2. Ответ: – 2, – 1, 0, 1. Следует отметить, что в данном задании ничего не потребовалось, кроме техники нахождения простейших интегралов и решения уравнения, в том числе кубического. Б) . Решение. (В силу того, что интеграл неопределён при , то подобные точки выколоты из области задания). Вычислим значение интеграла: . Для удобства проведём вычисления по отдельности:, . Приравнивая левую и правую часть равенства, получим:. Решая полученное тригонометрическое уравнение, имеем , где . Но так как (по условию), то подбором устанавливаем, что . Ответ: . В данном задании учащимся приходится проводить исследовательскую работу с целью нахождения ОДЗ, решением тригонометрического уравнения, отбором корней. Здесь же они сталкиваются с вычислением нетабличного интеграла, для решения которого применяется подстановка, с которой многие учителя сталкиваются в своей преподавательской практике. Только правильный выбор подстановки и её использование приведёт к желаемому результату. II. Решить неравенства. А) , Решение. Вычислим определённый интеграл: . Тогда .Приравняем многочлен, стоящий в левой части к нулю и находим корни уравнения . Откуда . Методом интервалов решаем неравенство : откуда Ответ: . Б) . Решение. По отдельности вычислим интеграл, стоящий в левой части и интеграл, стоящий в правой части неравенства: ; . Тогда Ответ: . Существенных трудностей задания А) и Б) не вызывают. III. Оцените последовательности. А) , Решение. Вычислим данный интеграл: . Пользуясь неравенством Коши для двух неотрицательных чисел, оценим выражение . Прибавив к обеим частям данного неравенства – 2, получим оценку (an): . Ответ: . Б) . Решение. Вычислим определённый интеграл:. Тогда . Используя неравенство Коши для трёх неотрицательных чисел, оценим (bn): . Ответ: . Вся трудность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько хорошо учащиеся помнят неравенство Коши. IV. На координатной плоскости изобразите множество точек (область), удовлетворяющих следующим условиям. А) Решение. Преобразуем каждое неравенство системы по отдельности: . С учётом вычислений данная система примет вид: На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы: Закрашенная часть – искомая область. Б) (данную конструкцию уместно предложить после изучения показательной функции). Решение. Преобразуем каждое из неравенств системы по отдельности: Тогда с учётом вычислений данная система примет вид: . На координатной плоскости заштриховываем множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств системы: Закрашенная часть – искомая область. Сложность заданий А) и Б) заключается лишь в том, на сколько правильно учащиеся могут решать неравенства с двумя переменными. V. При всех значениях параметра решить уравнения. А) Решение. Для начала вычислим предложенный интеграл:. Тогда . Решая данное уравнение относительно параметра а, имеем: 1. если a = – 1: – 3 = 0, сл., решений нет; если a = 1: получим линейное уравнение 2x – 3 = 0, сл., ; 2. если 2.1. если , то решений нет; 2.2. если Произведя отбор, запишем ответ. Ответ: при : при : решений нет при a = 1: . Б). Решение. Вычислим предложенные определённые интегралы: ; . С учётом полученных вычислений имеем: Во избежание ошибок при решении данного задания, необходимо заранее вспомнить с учащимися основные свойства тригонометрических функций (особенно области значений синуса и косинуса), а также правила решения отдельных задач с параметрами (это касается и задания А). В конце нашей статьи хотим ещё раз заметить, что добиться максимальной работоспособности учащихся на уроке можно лишь при постановке таких проблемных ситуаций, которые будут создавать у школьников стремление их разрешить. На наш взгляд, одной из таких ситуаций будет использование предложенных конструкций, которые и осуществят творческий подход при обучении математике.