Метод решения функциональных уравнений

Вид материала

Документы

Содержание Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.

Подобный материал:

• Практических: 0 Лабораторных:, 21.53kb.
• Линейных алгебраических уравнений ax=B, где, 66.22kb.
• Лекция 1, 259.64kb.
• Метод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений, 25.48kb.
• Лекция № Тема 1: Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса решения систем, 50.61kb.
• Расшифровка : Наука в целом (информационные технологии 004), 79.71kb.
• Точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании, 28.05kb.
• Методические рекомендации к проведению урока: «Методы решения уравнений и неравенств., 15.21kb.
• Решение систем нелинейных алгебраических уравнений, 20.84kb.
• Защита изображений на основе решения систем диофантовых уравнений и неравенств, 31.25kb.

Метод решения функциональных уравнений.

Теоретический материал.

Методы решения функциональных уравнений основаны на следующих теоремах:

Теорема 1. Корни уравнения_, являются корнями уравнения _.

Теорема 2. Если _- возрастающая функция на отрезке _, то на данном отрезке уравнения _ и _ равносильны.

Следствие 1. Если функция _возрастает для любого _, уравнения _ и _ равносильны.

Следствие 2. Если функция _возрастает на своей области определения, уравнения _ и _ равносильны.

Теорема 3. Если _- убывающая функция на отрезке _, то на данном отрезке уравнения _ и _ равносильны.

Следствие 3. Если функция _убывает для любого _нечетное, уравнения _ и _ равносильны.

Следствие 4. Если функция _убывает на своей области определения и _ нечетное, уравнения _ и _ равносильны.

Теорема 4. Если _- возрастающая(или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения _, то уравнения _ и _ равносильны.

Следствие 5. Если _- возрастающая(или убывающая) функция на области допустимых значений функций _, то уравнения _ и _ равносильны.

Теорема 5. Если четная функция _ определена на отрезке _ и возрастает (или убывает) при _, то на данном отрезке уравнение_ равносильно совокупности уравнений_ и _при условии, что _ и _.


Задачи и решения.

Алгебраические уравнения и системы.

1. 
   Решите систему уравнений: _
   

Решение: Перепишем уравнение в виде_. Из первого уравнения системы следует, что _. Введем в рассмотрение функцию _, определенную при _. В это случае систему уравнений можно представить в виде функционального уравнения: _. Так как при _функция _ является возрастающей и при этом _, то уравнения_ и _ равносильны. Получим, что _. Поучаем квадратное уравнение _. Однако _, поэтому _. Тогда _.

Ответ: _

2. На самостоятельное решение. Решите систему уравнений: _. Ответ: решения нет.
   
3. На самостоятельное решение. Решите систему уравнений: _. Ответ: (0; 0; 0), _.
   
4. Решите уравнение _
   

Решение: Пусть _, тогда уравнение можно переписать в виде _. Рассмотрим уравнение _, корни которого являются корнями уравнения _. Уравнение _, принимает вид _, _. Корнями уравнения являются _. Полученные корни являются корнями_. Для поиска других корней уравнения представим его в виде: _. Так как уравнение имеет корни _, разделим данное уравнение на _ Получим _, которое корней не имеет. Ответ:_

5. (2x+1)(2+)+3x(2+)=0
   

Введем f(x) = x(2+), тогда исходное уравнение примет вид:

f(2x +1)+ f(3x)=0

f(x) – нечетная функция, f(2x +1)= –f(3x) <=> f(2x+1)= f(–3x)

Далее, при x0, функция f(x) равна произведению двух возрастающих функций => f(x)возрастающая при x0.

В силу нечетности функция f(x) возрастает при x < 0 => f(x) – возрастает для всех х.

f(2x+1)= f(–3x)

2x+1= –3x

5x= –1

x= – Ответ: x= –.

6. 
   

Решение:

Замечаем, что х = 1 — корень уравнения.

Функция у = и функция у = возрастают в области определения уравнения, то есть на луче

. Преобразовать уравнение к такому виду, чтобы одна часть представляла собой убывающую, а другая — возрастающую функцию, не удается.

Поступим по-другому. Найдем производные функций:

у₁ = и у₂ =

и вычислим их в точке х = 1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем:

, . Далее, , .

Так как =, то графики функций у_х(х), у₂{х) имеют общую касательную в точке (1;1). Но поскольку функция у₂(х) выпукла вниз, а функция у₁(х) выпукла вверх, то их графики расположе­ны по разные стороны от общей касательной, а потому уравнение у₁(х) = y₂(x) имеет только один корень.

Итак, х = 1 - единственный корень уравнения.




Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.

7. Решите систему уравнений: _
   

Решение: Из первого уравнения системы получим уравнение _. Пусть _, тогда получим функциональное уравнение _. Так как _, то функция _ возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение _ равносильно уравнению _. Из второго уравнения данной системы получим _. Так как _, то _.

Ответ: (2, 2), (-2, -2).

8. Решите уравнение: _.
   

Решение: Обозначим _. Тогда уравнение можно переписать в виде функционального уравнения _. Поскольку _ - функция нечетная, то _. Для _. Так как _ и _ , то функция _ - возрастает на области значений _ и _поэтому _. Получим _ . отсюда получаем кубическое уравнение _, которое имеет единственный корень_.

Ответ:_.

9. На самостоятельное решение. Решите уравнение:_.
   

Ответ:_.

10. На самостоятельное решение. Решите уравнение: _.
    

Ответ: _, n – целое число.

11. Решите уравнение: _.
    

Решение: Обозначим _. Тогда уравнение можно переписать в виде функционального уравнения_. Функция_ возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение равносильно _, т.е. _, квадратное уравнение_ имеет два корня _.

Ответ: _.


Задачи с параметрами на применение функционального метода.

1. Найдите все a, при которых уравнение
   

(*) Имеет единственное решение.

Решение:

1. Если x₀ – корень уравнения , то и - корень.
   

Он один, когда x₀ = => => (*) :

х = 1: (D < 0 => a)

x = –1 подозрительны.

• Проверим:

Пусть x = tg, t(– π; 0) (0; π) ОДЗ: sin≠0




(**)

f₁ (t) будем рассматривать как суперпозицию функций

g(u)=cosu при изменении

(t)=ctgt,

- для t(– π; 0), то (t) монотонно убывает от + до – =>

f(t) совершает колебания от (–1) до (1), при этом

- для t(0; π) в силу четности f₁(t) ситуация аналогична





u(t)= sint

График функции поэтому при t(– π; π)

f₂ (t) сначала возрастает от f₂ (– π) = 0 до , затем убывает от до

, потом опять возрастает от до f₂ (π ) = 0.

Значит уравнение (**) имеет более одного корня при t(– π; 0) (0; π), т.о. не годно.

• Проверим:



(***)

При t(– π; 0) (0; π) функция y = cos(2ctgt) принимает значение y [-1;1],

a функция принимает значения y[1;2]\ , c учётом ОДЗ

(***) <=> => t=, t(– π; 0) (0; π) этот корень годен и для первого уравнения системы.

Ответ:

2. Решить систему уравнений
   

Решение:

Вычтем из первого уравнения второе. Получим .

Рассмотрим функцию f(t)= . Она возраста­ющая. Имеем f(x) = f(y). Следовательно, x = y. Отсюда . Это уравнение равносильно системе:







Очевидно, что

Ответ: Если , то x=y=;

Если а < b + 1, то решений нет.


3. При каких а уравнение имеет ровно три корня?

Решение:

Возможно, присутствие в данном уравнении повто­ряющихся выражений (имеется в виду

|х - а|, х² - 2х ) послужит подсказкой для следующих преобразований:





Это уравнение следует «прочесть» так: левая и правая части — значения возрастающей функции y=2^tlog₃t соответственно при и . (Функцию у = 2^tlog₃t мы рассматриваем на области определения т.е. на промежутке возрастания). Отсюда х² - 2х + 3 = 2|х - а| + 2,

(x -1)²=2|x - a|.

Последнее уравнение должно иметь три корня. Искомое значение параметра можно получить, проведя дальнейшее исследование аналитически. Однако графический подход приведет к результату много быстрее. Поэтому мы прервем решение этой задачи и вернемся к нему в § 3.