Geum.ru

Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Вид материалаРабочая учебная программа

Содержание


Задание №14
Задание №15
Интегрирование по частям.
Подобный материал:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   36

Пример 1. Найти предел

Решение: При имеем неопределённость . Функции , , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Если , то по правилу Лопиталя получим:



Ответ:

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида или , то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример 2. Найти предел .

Решение: При получается неопределенность вида . Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду



Теперь при и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя



Ответ:

Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду

Пример 3. Найти предел .

Решение : Здесь , при . Следовательно имеем неопределенность . Приводим эту последовательность к виду и получаем



Ответ:

ЗАДАНИЕ №14

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления.
  1. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию для и по результатам исследования построить ее график.
  2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке[a;b].
  1. Для исследования функции используется общая схема исследования функции.
  1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .
  2. Найти точки пересечения функции с осями координат Оx и Oy.
  3. Найти точки разрыва и определить тип.
  4. Установить, является ли функция четной, нечетной и периодической.
  5. Найти асимптоты графика функции .
  6. Найти , определить точки экстремумов и интервалы возрастания >0) и убывания<0) графика функции .
  7. Найти , определить точки перегиба (=0) и интервалы выпуклости (<0) и вогнутости (>0) графика функции .
  8. По результатам исследования построить график функции .
  1. План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a,b].
  1. Найти критические точки функции =0 или не существует).
  2. В каждой критической точке определить знак производной слева и справа. Если меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.
  3. Вычислить значения функции в точках экстремума и при x=a, x=b.
  4. Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a,b].

Пример 1. Пусть .

Решение:
  1. Функция определена и непрерывна в интервале 0y=lnx:
  2. В точке график пересекает ось Ox. С осью Oy график функции не пересекается.
  3. В граничной точке x=0 области допустимых значений функция имеет бесконечный разрыв II рода, потому что

.
  1. Функция является четной, нечетной или периодической, если Заданная функция не является четной или нечетной, т.к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно, является функцией общего вида.
  1. Так как в точке x=0 имеет бесконечный разрыв, то прямая x=0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты .





Поэтому (ось Ox) есть горизонтальная асимптота (y=0)
  1. Находим и критические точки:

1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e) и (e,∞), на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e), например, >0; возьмем точку в (e,∞), например, <0.

Составим таблицу
(0,e)
e≈2.72
(e,+∞)



+
0
-



Возрастает


Убывает
  1. Находим вторую производную , , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу








-
0
+

График
Выпуклый


Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .
  1. На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по оси Oy, равный 0.1.

На отрезке [1; 5] функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функции в точке x=1 и x=5: y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .



ЗАДАНИЕ №15

Функция f(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке x, если



Совокупность всех первообразных называется неопределённым интегралом от функции f(x)



где С – произвольная постоянная

Свойства неопределенного интеграла.

1. Если a – постоянная величина, то , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

.

3. , т.е. знак дифференциала d и знак интеграла взаимно уничтожаются в указанном порядке.

4. знаки d и взаимно погашаются и в таком порядке, лишь следует добавить произвольную константу.

Основная таблица интегралов.


































Непосредственное интегрирование.

Пример 1. Найти .

В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Решение : Положим

a=3e

на основании свойств показательной функции и по таблице интегралов получаем:



Интегрирование по частям.