Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Вид материала

Содержание

§3. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
§1. Сумма ряда и сходимость
2. Признаки сравнения для рядов с положительными членами

Подобный материал:

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 36

§3. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задана система двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1)

где

искомые функции.

Введем следующие обозначения:

,

Тогда систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

(2)

Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение:

(3)

Из этого уравнения находятся характеристические числа (собственные значения матрицы)

. Если корни этого уравнения

действительные, то решением системы (1) будут функции вида

, причем произвольные постоянные С₃ и С₄ можно выразить через С₁ и С₂, подставив полученные функции в систему.

Пример 1. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Следовательно,

Тогда

Подставим полученные выражения в первое уравнение системы:

,

откуда

Итак, общее решение системы:

■

Замечание. При

корней характеристического уравнения (3) решением системы (1) будут функции

, где λ – корень уравнения (3). Связь между С₁, С₂ и С₃, С₄ определяется аналогично предыдущему случаю.

Если

, то решение системы (1) имеет вид:

РЯДЫ

Аналитическое выражение, имеющее формально вид суммы, содержащей бесконечно много слагаемых, называется бесконечным рядом или, короче, рядом.

§1. Сумма ряда и сходимость

Числовой ряд

(1)

называется сходящимся, если существует конечный предел

, который называется суммой ряда, где величина

- частичная сумма ряда.

В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Необходимое условие сходимости ряда: ряд сходится, если

Пример1.

Исследовать ряд 1-1+1-1+….+

.

Здесь

=1,

=1_1=0,

=1-1+1=1,

=-1-1-1-1=0.

Легко видеть, что последовательность частичных сумм:

, … не стремиться ни к какому пределу.

Следовательно, ряд расходится.

Пример 2..

Исследовать ряд I+2+3+…n+…=

, …

При n

частичная сумма

. Ряд расходится.

Пример 3.

Исследовать ряд

Здесь

,…

Применяя формулу для суммы n членов геометрической прогрессии

, получим

Переходя к пределу при

, получим

Ряд сходится,

2. Признаки сравнения для рядов с положительными членами

Пусть, кроме ряда (1) имеем ряд с положительными членами

(2)

Если при

выполнено неравенство

, то

Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);
Из расходимости ряда(1) следует расходимость ряда (2).

В частности, если

Тогда : 1) если ряд (2) расходится и

, то и ряд (1) расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Члены данного ряда меньше соответствующих членов заведомо сходящегося ряда ( геометрической прогрессии со знаменателем

) или равны им :

Это следует из того, что

Значит

Данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость гармонического ряда

Как известно,

для любого

(т.к.

стремится к e возрастая). Логарифмируя обе части этого неравенства, получим

или

для любого

.

Ряд с общим членом

расходится, т.к.

Следовательно, расходится и гармонический ряд ( по признаку сравнения).

Пример 6 .Исследовать стоимость ряда с общим членом

. Этот ряд расходится. Это следует из сравнения с гармоническим рядом