Рабочая учебная программа по дисциплине 4 Задания на контрольные работы

Вид материала

Рабочая учебная программа

Содержание 9. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса 10. Свойства равномерно сходящихся рядов 11. Степенные ряды. Радиус сходимости ряда и его вычисление Радиус сходимости

Подобный материал:

• Рабочая программа, методические указания по выполнению курсовой работы и контрольные, 1000.11kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине, 858.36kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «эконометрика» для студентов, 555.04kb.
• Рабочая программа методические указания контрольные задания для студентов специальности, 833.92kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «трудовое право» для студентов, 805.51kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная культура» для, 729.22kb.
• Рабочая программа По дисциплине «Стратегическое управление организацией» Для курса, 197.74kb.
• Программа и контрольные задания по учебной дисциплине «отечественная история» для студентов, 583.38kb.
• Программа, контрольные задания и тематика курсовых работ по учебной дисциплине основы, 557.3kb.
• Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплине концепции современного, 717.75kb.

9. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве В, если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами (5) такой, что при .

Пример 14. Ряд сходится равномерно на .

Действительно, для значений , принадлежащих этому отрезку, имеем . Ряд с общим членом сходится. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно.

10. Свойства равномерно сходящихся рядов

1. Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная .

2. Если члены сходящегося ряда (1) непрерывно дифференцируемы при и ряд, составленный из их производных , сходится равномерно на отрезке , то при .

3. Если члены ряда (1) непрерывны для и этот ряд сходится равномерно на , то ..

Пример 15. Рассмотрим ряд

из неравенства следует, что этот ряд сходится и притом равномерно на всей оси. Рассмотрим ряд, получающийся из заданного при почленном дифференцировании:

(7)

Из неравенства следует, что ряд (7) сходится равномерно на всей оси. Для суммы исходного ряда при любом справедливо .

11. Степенные ряды. Радиус сходимости ряда и его вычисление

Для каждого степенного ряда

(8)

существует интервал сходимости:

,

внутри которого данный ряд сходится, а вне интервала расходится.

Радиус сходимости можно вычислить по формуле:

, (9)

если этот предел существует.

Также радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле Коши:

. (10)

Пример 16. Пусть задан стенной ряд:

(11)

Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов этого ряда и применим к нему признак Даламбера:

.

Следовательно, ряд (11) сходится абсолютно при или и расходится при или . Ясно, что . Выясним сходимость ряда при и . Подставляя эти значения в ряд (11), получим:

.

Первый из них расходится, второй сходится.

Таким образом, ряд (11) сходится на интервале .

Основные свойства степенных рядов

1. Ряд (1) сходится равномерно на каждом интервале строго внутреннем к его интервалу сходимости.
   
2. Сумма ряда (1) непрерывна в каждой внутренней точке его промежутка сходимости.
   
3. Ряд (1) можно интегрировать почленно по любому отрезку строго внутреннему к его интервалу сходимости.
   
4. Ряд (1) можно дифференцировать почленно в любой точке его промежутка сходимости.