Geum.ru

Жан-пьер шанжё, ален конн материя и мышление

Вид материалаДокументы

Содержание


70 Природа, одетая по мерке
4. Польза от математических моделей в биологии 71
L 72 природа, одетая по мерке
4. Польза от математических моделей в биологии
74 Природа, одетая по мерке
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

:ArtMCCMUÎ"'CMI«'CT«aCMÎUDI M«

__

ffiRSiiab!

710 ?» /M

W«"TCTKW»MA

' ПО 400

tTIWUi«TUl* l

'с«&

/>-Ич»,\Л»»,|),>,1»»

»»о

I-5«rrl


1») )«*><ΗΓ111 )»ЛсИ 111»! >7n»»>rr*)C)«CrU«UL»lrUlAr«l.r>rni*m( Ik ПС. If, I ) IT,»,,! !(*«·„»

rttr»4»Ticrtt4l'K««<.CcrcrftCÎt4*C»rCtSfUebU«ATf«K!bIÎKUM'*GÎKÎS

U«'<»«!'t4Lt*«ut1«uilc*«»M!I*fii»4irU«ri<»CIrr«K,vi7,t|iiir(,|,»,i<l„ii4,ilH

O*t»«<>lllAtii»r<i)H>l.M«»*l>'-fbl>lnf4.,>ytt«

С1Мти«сшшксс11ШммдтЁ1мс*ш:А»1(х:1хдмг




лт»<ыи1«Ь40смлсйА101<л«тоц:1сслк(.1<:1ип««.*СА*и>7««К1

Iïîî'!*!îÎ;?'-î*Î*îvIÎ;fr*rlrfi"G'"1'A'*'r4u«*«»l'rltf''««>*l»'»'1f'''»i

70 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

иным Универсальным Математическим Законом, как любят повторять, говоря о своей работе, некоторые физики!

А. К.: Мне кажется, в данном случае ты очень точно формулируешь проблему. Если провести анализ какого-либо явления — химический, скажем, или электрический, — то полагаю можно, воспользовавшись химическими законами, прийти к доказательству соответствующего уравнения.

Ж.-П.Ш.: Очень важный момент. Упомянутое математическое уравнение можно было бы объяснить позднее — по меньшей мере, частично — с помощью лежащих в основе явления молекулярных процессов. Молекулу, образующую чувствительный к напряжению канал, через который проходят ионы натрия, удается изолировать, нуклеиновую же кислоту, которая эту молекулу кодирует, мы уже умеем клонировать и воспроизводить [85]. Отныне молекулярные механизмы, определяющие распространение нервного импульса, находятся в наших руках. При всем том важно уяснить, что математическое уравнение не позволяет добраться непосредственно до элементарной структуры, которая как раз и объясняет явление. Доступ к этой структуре можно получить лишь при использовании совершенно другого подхода, основанного на методах биохимии и молекулярной биологии. Математическое уравнение распространения нервного импульса основывается на некотором количестве предположений, относящихся к постулируемым моделью каналам. Разумеется, оно определяет некоторый набор элементарных ионных свойств, которые должна демонстрировать ответственная за рассматриваемое явление молекула. Однако из уравнения совершенно невозможно узнать, являются ли эти самые каналы протеинами или же липи-дами. Уравнение имеет дело с кооперативными явлениями, происходящими на уровне мембраны и ионного транспорта. Оно не сообщает нам, каково будет точное число участвующих в процессе субъединиц или действующих протеинов. Математика играет для биолога лишь некоторую предсказательную роль, весьма при этом ограниченную. Она не позволяет нам дойти непосредственно до структуры.

Приведу в качестве иллюстрации этого соображения другой пример — законы наследственности. Это один из самых известных и самых простых примеров. Исследуя наследственную передачу цвета цветов гороха, Мендель показал, что она следует законам, которые формулируются предельно простым математическим

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ 71

уравнением. Законы Менделя позволяли сделать вывод о существовании устойчивых и передаваемых по наследству детерминантов, но, разумеется, не позволяли предположить, что материальным носителем наследственности являются хромосомы или, тем более, ДНК.

β обоих приведенных мной примерах — распространение нервного импульса и законы Менделя — математическое уравнение описывает некую функцию. Оно позволяет определить поведение, но не объясняет явление. В биологии объяснение идет в паре с идентификацией структуры, порождаемой определяющей ее функцией. Открытие требует учета отношений структура-функция, а не одного лишь описания процесса при помощи математического уравнения.

А. К.: Я согласен с твоей интерпретацией. Так часто бывает и в физике, когда мы начинаем решать задачу с написания уравнений среднего поля, совсем как физики XIX века. Пока нам ничего не известно о соответствующей микроскопической структуре, доказать эти уравнения мы не можем. Но как только теория приобретает достаточно проработанный вид, в действие вступает ге-неративность математики. Мой любимый пример позаимствован у Гейзенберга. Результаты экспериментальной спектроскопии — такие, как комбинационный принцип Ридберга-Ритца — привели Гейзенберга к пониманию того, что алгебра наблюдаемых величин для системы атома должна быть некоммутативной, алгеброй матриц. Из одного лишь этого наблюдения и некоторого количества математических преобразований на свет явилось уравнение Шредингера, объясняющее загадочные числа (разности обратных квадратов двух целых чисел), которые управляют закономерностями в спектре излучения атома водорода. Располагая принципом исключения Паули и более развитой математикой, мы сможем, в конечном счете, справиться и с анализом уравнения Шредингера для атома с n электронами.

Ж.-П. Ш.: И, наконец, полностью описать таблицу Менделеева.

А. К.: Это-то и удивительно. В моделировании любого явления можно различить два этапа. В первую очередь, это этап, который прошли физики XIX века, наблюдая течение потока жидкости и описывая явления макроскопически. Впоследствии, с ростом понимания микроскопической структуры материи, ученые пришли к использованию генеративности математики, которая позволила установить, что количество возможных вариантов, в общем слу-

L

72 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

чае, ограничено, и предопределила дальнейшее развитие химии как науки (см. рис. 13).

Ж.-П.Ш.: Однако не связан ли этот генеративный аспект, как ты только что отметил, именно с тем фактом, что мы достигаем здесь самого нижнего уровня, где проявляются закономерности, обладающие вследствие этого универсальной применимостью?

А. К.: Разумеется. До тех пор, пока нам не удастся добраться до уровня, расположенного глубже среднего поля, эффективность генеративного аспекта математики, как мне представляется, будет ограниченной.

Ж.-П.Ш.: Примерно о том же я и говорил несколько ранее. Уравнение Ходжкина и Хаксли допускает обобщение. Ему присущ предсказательный аспект. Однако как только дело доходит до анализа индивидуальных ионных каналов и молекул, коллективная активность которых формирует нервный импульс, возникает новая совокупность правил и предсказаний. Они формулируются в новой математической форме, которая применяется к новым системам — к каналам, селективным в отношении кальция или же к тем, что чувствительны к нейромедиаторам.

А. К.: Абсолютно согласен. И все же я хотел бы предложить некую общую критику в том, что касается типа математики, используемого в такого рода моделировании. Упомянутый тип математики всегда вращается вокруг уравнений с частными производными или, в лучшем случае, вокруг моделей статистической механики. В обоих случаях, как и в большинстве физических моделей, ведущим принципом является фундаментальное понятие области взаимодействия. Даже взаимодействия нелокализованного типа, такие как ньютоновское притяжение, становятся локализованными при введении подходящих полей. Принцип области взаимодействия является золотым правилом современной физики, главный инструмент которой — лагранжев формализм. Однако мне не кажется очевидным, как минимум a priori1, что интересной и полезной биологу, специализирующемуся на функционировании мозга, будет лишь та математика, о которой я говорил. Было бы хорошо, если бы биологи не только имели хотя бы элементарное представление о таких понятиях, как комбинаторная топология, но и активно использовали бы их.

Ж.-П. Ш.: Так и будет... после нашей беседы.

«из предыдущего» (лат.), т.е. заранее, до опыта. — Прим. перев.


4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ

73



























Z
Элемент
ИэВ)
Электронная конфигурация

































Is
25 2р
3s 3p 3d
4s 4p 4d 4/






1
H Водород
13,6
1















2
Не Гелий
24,6
2















3
Li Литий
5,4



1












4
Be Берилий
9,3



2












5
В Бор
8,3
заполнен
2 1












6
С Углерод
11,3



2 2












7
N Азот
14,5
(2)
2 3
Число электронов





















в каждом слое






8
О Кислород
13,6



2 4












9
F Фтор
17,4



2 5












10
Ne Неон
21,6



2 6












И
Na Натрий
5,1






1









12
Mg Магний
7,6






2









13
AI Алюминий
6,0






2 1









14
Si Кремний
8,1
зало,
лен
2 2









15 16
P Фосфор S Сера
10,5 10,4
(2)



2 3 2 4









17
Cl Хлор
13,0






2 5









18
Ar Аргон
15,8






2 6



























1






19
К Калий
4,3






20
Са Кальций
6,1









2






21
Se Скандий
6,5






1
2






22
Ti Титан
6,8






2
2






23
V Ванадий
6,7



заполнен
з
2






24
Сг Хром
6,8






5
1






25
Μη Марганец
7,4
(2)
(8)
(8) 5
2






26
Fe Железо
7,9






6
2






27
Со Кобальт
7,9






7
2






28
Ni Никель
7,6






8
2






29
Си Медь
7,7






10
1






30
Zn Цинк
9,4






10
2






31
G a Галлий
6,0









2 1






32
Се Германий
7,9



заполне
н
2 2






33
As Мышьяк
9,8









2 3






34
Se Селений
9,7
(2)
(8)
(18)
2 4






35
Вг Бром
11,8









2 5






36
Кг Криптон
14,0









2 6






























Рис. 13. Начало периодической таблицы элементов.

74 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

А. К.: Именно по этой причине я и был так заинтересован в нашей встрече. В биологии математика используется как язык. Если, к примеру, вы располагаете кривой ответов, то очевидно, что гораздо проще ее выразить, когда есть простая математическая функция, позволяющая эту кривую описать, чем когда вы вынуждены описывать ее, выделяя параметры. Это просто проявление молодости биологии. Если посмотреть на то, как развивалась физика, то можно заметить, что те или иные явления прежде всего стараются формализовать, описать их с помощью математических функций. Так, например, произошло с открытием Планка. Однако в какой-то момент, в силу генеративного характера математики, появляется возможность добавлять в описание что-то новое. И не только потому, что уравнения допускают прогнозирование. Здесь проявляется та же внутренняя взаимосвязанность явления с математикой, какую мы наблюдали в случае атома водорода, что позволяет допустить, исходя из критериев простоты и из математической эстетики, существование интуитивного предчувствия возможной истинности в тех случаях, когда мы практически не располагаем никакими предварительными экспериментальными результатами, а затем и убедиться в оправданности этого предчувствия. Я с большим оптимизмом отношусь к той генеративной роли, какую математика могла бы, при необходимости, сыграть и в биологии. Мне представляется, что очень скоро — пусть и не сегодня, а лишь когда удастся понять, какую из областей математической реальности можно лучше всего увязать с биологией, — генеративность математики придется весьма и весьма кстати.