Оглавление

1.1 Найти области определения и значений данной функции f. 2

1.2 Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной; б) периодической. 2

1.3 Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.. 3

1.4 Найти промежутки знакопостоянства функции f. 3

1.5 Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. 3

1.6 Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках. 4

1.7 Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения. 5

1.8 Провести исследование функции и построить её график. 5

1 Исследование функции: F(x)= x³-1

1.1 Найти области определения и значений данной функции f.

Область определения — множество действительных чисел:

D: x∈(-∞;∞).

Область значений — все действительные числа:

y∈(-∞;∞).

3) Функция имеет один нуль:

y=0 при x=1.

Точка O (1;0) делит кубическую параболу на две равные части, каждая из которых называется ветвью кубической параболы. Ветви кубической параболы симметричны относительно точки 1 — начала координат.

Отсюда следует, что противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y: (-x)³= -x³.

1.2 Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной; б) периодической.

Проверим функция чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Аналитически нечётность функции выражается условием f = f(-x)= f = -f(x). Выполним проверку для данной кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»:

f(-x)=(-x)³-1=- x³-1=-( x³+1), значит функция не является ни чётной ни нечётной

1.3 Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

График пересекает ось X, когда f равняется 0:

Значит надо решить уравнение

x³-1=0

x³=1

x=1

Точка пересечения с осью X (1;0)

График пересекает ось Y, когда х равняется 0:

подставляем х = 0 в F(x)= x³-1.

f(0)=0³-1

Результат:

f(0)= -1

Точка пересечения с осью Y (0;-1)

1.4 Найти промежутки знакопостоянства функции f.

Функция возрастает на всей числовой прямой.

6) Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения при x∈(1;∞) (или y>0 при x>1);

Функция принимает отрицательные значения при x∈(-∞;1) (или y<0 при x<1).

1.5 Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

Дифференцируем x³-1 почленно:

В силу правила вычислим производную x³ равную

Производная постоянной —1 равна нулю.

В результате первая производная равна

Поскольку первая производная

всегда положительна в силу нахождения аргумента под знаком квадрата, то функция всегда возрастает. Интервал возрастания функции (-∞;∞)

1.6 Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

(производная равна нулю),

и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции

Корни этого уравнения

Где дискриминант D=b²-4ac

Так как

a=3, b=0, c=0

D=0²-4*3*0=0

Так как D=0 то корень всего один

Значит экстремумы в точке (0;-1)

Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

x	-2	-1	0	1	2
F(x)= x³-1	-9	-1	-1	0	7
	12	3	0	3	12

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения.

В единственной точке эвстремума первая производная не меняет знак, следовательно:

Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет

Поскольку первая производная всегда положительна, то функция всегда возрастает.

1.7 Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

Областью определения является множество действительных чисел, то есть нет точек не входящих в область определения

1.8 Провести исследование функции и построить её график

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

(вторая производная равняется нулю),

Первая производная

Найдем вторую производную. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

В силу правила, применим: х2 получим 2х

Таким образом, в результате вторая производная рана: 6х

Корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:

6х=0

Решаем это уравнение

Корень этого уравнения х= 0

Интервалы выпуклости и вогнутости определяются из того, как функция ведет себя в точках перегиба.

x	-2	-1	0	1	2
F(x)= x³-1	-9	-1	-1	0	7
	-12	-6	0	6	12

Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:

Так как вторая производная меньше нуля на интервале (-∞;0), то график функции является выпуклым на данном интервале;

Так как вторая производная на интервале (0;∞), то график функции является вогнутым на данном интервале.

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при х→+∞ и х→-∞

Значит горизонтальной асимптоты слева не существует

Значит горизонтальной асимптоты справа тоже не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции, делённой на х при х→+∞ и х→-∞

значит, наклонной асимптоты справа тоже не существует

значит, наклонной асимптоты слева не существует

График функции

Поделиться этим