Оглавление
Задача 1
В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.
Решение:
A – благоприятный исход — вытащена окрашенная деталь
Равновозможных исходов: 50, их них благоприятных только 5, то есть 5 раз из 50 можно вытащить окрашенную деталь.
P(A)=5/50=1/10=0,1
Ответ: Вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной 0,1 или 10%.
Задача 2
Из десяти первых букв русского алфавита выбирают наудачу без возвращения четыре буквы и записывают в порядке поступления слева направо. Какова вероятность того, что составленное «слово» будет оканчиваться на букву «А».
Решение:
Так как буквы выбирают последовательно, то вероятность выбора буквы «А» в каждом выборе будет разной.
Найдем n число всех слов из 4-букв в данном опыте, которое равно числу упорядоченных подмножеств по 4-элемента из 10 элементов, т. е.
Теперь разберем событие A, которое представляет собой составленное слово наудачу из 4 букв, которое оканчивается буквой «А». Букву «А» нужно поставить в конец слова, так что его место будет фиксированным, следовательно следует распределить на оставшиеся места остальные буквы, выбранные наудачу. Таким образом,
Следовательно вероятность, что составленное «слово» будет оканчиваться на букву «А»:
Ответ: вероятность, что составленное «слово» будет оканчиваться на букву «А» — 0,1 или 10%
Задача 3
Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 3.
Решение:
Цифру «3» содержат 19 цифр из ста: 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Следовательно остальные 81 цифра (100 – 19) цифру «3» не содержат.
Следовательно вероятность того, что извлечённый жетон первым не будет содержать цифру «3» = 81/100.
Ответ: вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры «3» 81/100 или 0,81.
Задача 4
Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
Решение:
Решение: найдём общее число способов, коими можно расставить на одной полке 8 книг.
n!=8!= 40320
2 определенные книги рядом могут оказаться в 7 случаях без учёта перестановок, а если с учесть перестановки этих 2-х книг, то в 14-ти случаях.
Оставшиеся шесть книг для каждого из этих 14 случаев можно расставить 6!=720 способами. Поэтому благоприятствующих комбинаций существует 14 × 6!=14 × 720 = 10080
То есть оказываются рядом две определённые книги в 10080 комбинациях.
Тогда вероятность того, что поставленными рядом книги окажутся две определенные по классическому определению:
Ответ: вероятность того, что две определенные книги из восьми окажутся поставленными рядом равна ¼ или 0,25.
Задача 5
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Иван Петров. Найдите вероятность того, что в первом туре Иван Петров будет играть с каким- либо бадминтонистом из России.
Решение:
В первом туре Иван Петров может сыграть с 25 бадминтонистами (26 – 1 ), из России в их числе будет 9 человек (10-1). Следовательно вероятность того, что Иван Петров в первом туре будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 или 0,36.
Ответ: вероятность того, что в первом туре Иван Петров будет играть с каким- либо бадминтонистом из России равна 9/25 или 0,36.
Задача 6
В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2,……10. На удачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся:
- Деталь № 1
- Деталь№ 1 и № 2
Решение:
- Найдем общее число элементарных возможных исходов опыта, которое равно числу способов, которыми шесгь деталей можно извлечь из десяти возможных, т. е..
Число благоприятствующих интересующему нас событию исходов, то есть то, что деталь № 1 окажется среди отобранных шести деталей, следовательно, остальные выбранные в числе шести деталей — пять деталей помечены другими номерами. Очевидно, число таких исходов равно числу способов, которыми из оставшихся девяти деталей можно отобрать пять деталей, т.е..
Вероятность детали № 1 оказаться среди выбранных шести деталей из 10 равна отношению числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов к общему числу возможных элементарных исходов:
- Число, благоприятствующих интересующему нас другому событию, когда детали № 1 и № 2 окажутся среди отобранных деталей, следовательно остальные выбранные в числе шести деталей — четыре детали помечены другими номерами, равно числу способов, которыми четыре детали можно выбрать из оставшихся восьми, т. е..
Вероятность детали № 1 и № 2 оказаться среди выбранных шести деталей из 10 равна отношению числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов к общему числу возможных элементарных исходов:
Ответ: вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся:
- Деталь № 1 – 0,6
- Деталь№ 1 и № 2 — 1/3
Список литературы
- Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков. — М.: Дашков и К, 2016. — 472 c.
- Большакова, Л.В. Теория вероятностей для экономистов: Учебное пособие / Л.В. Большакова. — М.: ФиС, 2009. — 208 c.
- Буре, В.М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.М. Буре, Е.М. Парилина. — СПб.: Лань, 2013. — 416 c.
- Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для прикладного бакалавриата / В.Е. Гмурман. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 479 c.