Вероятность произведения событий. Условная вероятность

Вид материала

Документы

Содержание Распределение Стьюдента Логистическое распределение Логнормальное распределение Распределение Вейбулла Распределение Коши Теорема Пуассона Теорема Бернулли Независимость случайных величин

Подобный материал:

• Основные простейшие теоремы теории вероятностей, 32.04kb.
• Программа курса лекций, 26.81kb.
• Лекция Условная вероятность, независимость, 67.33kb.
• Контрольная работа №4. по дисциплине «ТВиМС», 25.55kb.
• Лекция Управление рисками проекта, 216.18kb.
• Курс «Вероятность» является вторым в ряду вероятностно-эконометрических курсов Вероятность, 32.07kb.
• Основные виды случайных величин, 49.77kb.
• Введение, 58.17kb.
• Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники (тусур) Томский, 19.19kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 75.2kb.

Распределение хи-квадрат ( ²- распределение)

Пусть  ₁,  ₂, …,  _n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Составим случайную величину

 ² =  ₁² +  ₂² + …+  _n².

Ее закон распределения называется  ²- распределением с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, D 2=2n.

Здесь - гамма-функция Эйлера.


^ Распределение Стьюдента

Пусть случайная величина  имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина  _n² -  ²-распределение с n степенями свободы. Если  и  _n² - независимы, то про случайную величину говорят, что она имеет распределение Стьюдента с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, xR, M _n = 0, D _n = n/(n-2), n>2.

При больших n распределение Стьюдента практически не отличается от N(0, 1).

F-распределение Фишера

Пусть случайные величины  _n²и  _m² независимы и имеют распределение  ² с n и mстепенями свободы соответственно. Тогда о случайной величине говорят, что она имеет F-распределение. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:

, x>0, - гамма-функция Эйлера; , m>2; , m > 4.

Распределение Парето

Распределение Парето часто применяется в экономических исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид

, .

Распределение Парето имеет математическое ожидание только при  > 1, а дисперсию - только при  > 2. Cлучайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области x x₀, x₀ > 0.

^ Логистическое распределение

Это еще одно распределение, широко применяемое в экономических исследованиях. Для случайной величины  , имеющей логистическое распределение, функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

, ,

, , x R,  и  - параметры распределения.

По своим свойствам логистическое распределение очень похоже на нормальное.

^ Логнормальное распределение

Случайная величина  имеет логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение с параметрами a и  , если случайная величина ln имеет нормальное распределение с параметрами a >и  . Функция распределения и функция плотности вероятностей логнормального распределения имеют соответственно вид:

, , .

Бета-распределение

Случайная величина  имеет В-распределение (бета-распределение) с параметрами a₁ и a₂, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:



^ Распределение Вейбулла

Случайная величина  имеет распределение Вейбулла с параметрами  ₀ и  , если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

, , , - гамма-функция Эйлера.

^ Распределение Коши

Случайная величина  имеет распределение Коши с параметрами a и c, если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:



У распределения Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Это распределение не имеет ни одного момента положительного порядка.

Гамма-распределение

Случайная величина  имеет Г-распределение (гамма-распределение) с параметрами a и b, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

, a > 0, b > 0, , , .

Распределение Лапласа

Случайная величина  имеет распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное распределение) с параметром  , если ее функция плотности вероятностей имеет вид:

, - < x < , M = 0, D = 2/ ².


Теорема Пуассона ~ Локальная теорема Муавра—Лапласа ~ Интегральная теорема Муавра—Лапласа ~ Теорема Бернулли

 

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли растет, а вероятность p уменьшается, то точная формула практически непригодна из-за громоздких вычислений и возникающих погрешностей округления. В этом случае пользуются приближенными формулами Пуассона (при npq < 9) и Муавра-Лапласа (npq > 9).

 

^ Теорема Пуассона

 

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и так, что , , то при любых



Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой

, т.е. использовать формулу Пуассона для  = np.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9.

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Пусть 0< p <1 и величина при n  ограничена. Тогда .

На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.

Точность формулы растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n  для любых a и b справедлива формула

.

Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

,

где , , - функция Лапласа.

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.

Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула



и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

, где , .

^ Теорема Бернулли

 

Если  - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p, 0 < p < 1, то для любого  > 0 справедливо: .

Утверждение теоремы Бернулли означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов  /n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Достаточно часто возникает необходимость установить, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты успехов  /n от вероятности p с вероятностью, больше или равной было меньше . Т.е. требуется найти n, для которого справедливо неравенство . Доказано, что число n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, удовлетворяет соотношению , где - решение уравнения . Следует обратить особое внимание на замечательный факт: искомое значение n не зависит от p!


Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин ~ ^ Независимость случайных величин ~ Условные распределения случайных величин ~ Условные распределения дискретных случайных величин ~ Условные распределения непрерывных случайных величин

 

В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается .

Точнее. На вероятностном пространстве заданы случайные величины ; каждому  эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).

 

Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.

 

Функцией распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством

,

где .

По известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .

Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:

, .

В дальнейшем будем рассматривать двумерные случайные векторы.

Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника   на плоскости вероятность события равна

.

Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения.

Легко показать, что .

Если - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:

и .

Если - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин и чаще всего называют таблицу вида

 

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

где и .

По этой таблице можно найти распределения и компонент  и  . Они вычисляются по формулам:

.

Независимость случайных величин

 

Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение ( ,  ) по распределениям величин  и  , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины  и  независимы.

Случайные величины  и  называются независимыми, если для любых x₁, x₂ R² справедливо равенство:

F_{ ,} (x₁, x₂)= F_x (x₁)F_h ( x₂).

Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно следующему:

случайные величины называются независимыми, если

p_{ ,} (x₁, x₂)= p_  (x₁) p_ (x₂)

во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.

Для дискретных случайных величин  и  с матрицей совместного распределения {p_ij} условие независимости  и  имеет вид:

p_ij = P( = x_i,  = y_j) = P( = x_i) P( = y_j),

для всех i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.