Лекция Условная вероятность, независимость

Вид материала

Лекция

Содержание Пример 17 (пример 4.3. Формула полной вероятности Теорема 8 (формула полной вероятности). 4.4. Формула Байеса

Подобный материал:

• Программа курса лекций, 26.81kb.
• Вероятность произведения событий. Условная вероятность, 395.39kb.
• Лекция Управление рисками проекта, 216.18kb.
• Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти, 75.2kb.
• Д. Б. Гнеденко 1/2 года, 3 курс, экономический поток Лекция, 21.85kb.
• Контрольная работа №4. по дисциплине «ТВиМС», 25.55kb.
• Курс «Вероятность» является вторым в ряду вероятностно-эконометрических курсов Вероятность, 32.07kb.
• Основные простейшие теоремы теории вероятностей, 32.04kb.
• Основные виды случайных величин, 49.77kb.
• Введение, 58.17kb.

Лекция 4. Условная вероятность, независимость

• Условная вероятность
  
• Независимость
  
• Формула полной вероятности
  
• Формула Байеса
  

4.1. Условная вероятность

Пример 15.

Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов: , и событию выпало четное число очков благоприятствуют 2 из них: . Поэтому .

Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: . Слова «известно, что выпало более трех очков» означают, что в эксперименте произошло событие . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении происходит и . Вероятность события , вычисленную в предположении, что нечто о результате эксперимента уже известно (событие произошло), мы будем обозначать через .

Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих внутри (то есть благоприятствующих одновременно и ), к числу исходов, благоприятствующих .

Какое отношение требуется вычислить, если элементарные исходы не являются равновозможными?

Определение 15.

Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число



Будем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда .

Следующее свойство называется "теоремой умножения":

Теорема 6.

,

если соответствующие условные вероятности определены (то есть если , ).

Теорема умножения для большего числа событий:

Теорема 7.

,

если соответствующие условные вероятности определены.


Доказать теорему 7 методом математической индукции.

4.2. Независимость

Определение 16.

События и называются независимыми, если



 

Пример 16.

1.   Точка с координатами бросается наудачу в квадрат со стороной 1.
Доказать, что для любых события и независимы.

2.   Точка с координатами бросается наудачу в треугольник с вершинами (1,0), (0,0) и (0,1).
Доказать, что события и зависимы.



1. Рассмотрим (разобрать остальные случаи). Видим, что , , , так что события и независимы.

2. На рисунке событие заштриховано зеленым, событие  —  синим. Видим, что

 ,  ,  ,

так что события и зависимы.

Доказать, что при или события и независимы.

Замечание 7.

Если события и несовместны, то они независимы если и только если или .

Доказать!!

Следствие 2.

Если , то события и независимы .

Если , то события и независимы .

Доказать следствие, пользуясь определением условной вероятности.

Лемма 2.

Если события и независимы, то независимы и события и , и , и .

Доказательство.

Так как , и события и несовместны, то .Поэтому .

Вывести отсюда все остальные утверждения.

Q.D.E.

Определение 17.

События называются независимыми в совокупности, если для любого набора

(6)

Упражнение.

Сколько равенств должно выполняться одновременно в условии  (6)? А вы посчитали общее число подмножеств множества из n элементов?
Перечислите, какие равенства должны иметь место, чтобы четыре события A,B,C,D были независимы в совокупности.

Замечание 8.

Если события независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события независимы. Достаточно в равенстве (6) взять . Обратное, как показывает следующий пример, неверно.

Пример 17 (пример С.Н.Бернштейна).

Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие (, ) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета.

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета. А так как , то все события попарно независимы.

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.

Заметьте, что равенство (6) выполнено для , но не выполнено для .

4.3. Формула полной вероятности

Пример 18.

Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод  —  35% и 3-й завод  —  40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода.

Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть . Вторая вероятность равна доле брака 1-го завода среди всего брака, то есть



Определение 18.

Набор попарно несовместных событий таких, что для всех и , называется полной группой событий или разбиением пространства .

События , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события могут быть сравнительно просто вычислены (вероятность событию произойти при выполнении «гипотезы» ) и собственно (вероятность выполнения «гипотезы» ). Как, используя эти данные, посчитать вероятность события ?

Теорема 8 (формула полной вероятности).

Пусть  —  полная группа событий. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле:



Доказательство.

Заметим, что , и события попарно несовместны. Поэтому (используем в первом равенстве -аддитивность вероятностной меры (а что это?), а во втором  —  теорему умножения)



Q.D.E.

4.4. Формула Байеса

Теорема 9 (формула Байеса: Thomas Bayes).

Пусть  —  полная группа событий и  —  некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:



Доказательство.

По определению условной вероятности,



Последнее равенство следует из теоремы умножения и формулы полной вероятности.

Q.D.E.

Пример 19.

Вернемся к примеру 18. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: , . Вероятности этих событий даны: , , . Пусть . Даны также условные вероятности , , .

Убедиться, что полученные нами вероятности в (а) и (б) совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и формуле Байеса.

Пример 20.

Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок  —  с вероятностью 0.00001. Можно сделать два предположения об эксперименте: и . Априорные (a'priori  —  «до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: .

Рассмотрим событие . Известно, что



Поэтому вероятность пуле попасть в мишень . Предположим, что событие произошло. Какова теперь апостериорная (a'posteriori  —  «после опыта») вероятность каждой из гипотез ?

Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,