Geum.ru

А. С. Гринберг О. Б. Плющ Б. В. Новыш Теория вероятностей и математическая статистика Курс лекций

Вид материалаКурс лекций

Содержание


Полная группа событий
Условная вероятность
Формула умножения вероятностей
Подобный материал:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   26

Полная группа событий


Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество. Другими словами, для полной группы событий выполнены следующие условия:
  • появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ;
  • события и () попарно несовместимы и
    – событие невозможное при любых , т.е. .

Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .

Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

.

Условная вероятность


Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло другое событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

Вероятность каждого события в данном испытании связана с наличием известного комплекса условий. При определении условной вероятности мы полагаем, что в этот комплекс условий обязательно входит событие . Таким образом, мы имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятность появления события при этих новых условиях называется его условной вероятностью в отличие от вероятности , которая может быть названа безусловной вероятностью события .

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других события и , используется условная вероятность относительно произведения событий и : .

Формула умножения вероятностей


Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

.

Доказательство: Предположим, что из возможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и .

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим:

.

Аналогично доказывается и формула .

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

.

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.