Учебно-методический комплекс для студентов специальности 010400 «Физика» «подготовлено к изданию»

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

«УТВЕРЖДАЮ»:

Проректор по учебной работе

_______________________ /Л.М. Волосникова/

__________ _____________ 200__г.

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Учебно-методический комплекс

для студентов специальности 010400 «Физика»

«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:

Автор работы _____________________________________________/Степанов С.В./

«______»___________200__г. к.ф.-м.н., доцент

Рассмотрено на заседании кафедры механики многофазных систем 28.08.2008г. Протокол №1 Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.

«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:

Объем 9 стр.

Зав. кафедрой ММС ________________________________________/Шабаров А.Б./

«______»___________ 200__ г. д.т.н., профессор

Рассмотрено на заседании УМК физического факультета 15.09.2008г. Протокол № 3

Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.

«СОГЛАСОВАНО»:

Председатель УМК _________________________________________/Кислицын А.А./

«______»_____________200__ г. д.ф.-м.н., профессор

«СОГЛАСОВАНО»:

Зав. методическим отделом УМУ_______________________/Ф.И.О./

«______»_____________200__ г.

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МЕХАНИКИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ

С.В. Степанов

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Учебно-методический комплекс

для студентов 2 курса очной формы обучения

специальности 010400 «Физика»

Издательство

Тюменского государственного университета

2008

С.В. Степанов. Метод конечных разностей: Учебно-методический комплекс для студентов 2 курса очной формы обучения специальности 010400 «Физика». Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2008, 9 стр.

Излагаются приближенные аналитические и численные разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Даются приемы аппроксимации производных в виде конечных разностей, построения разностных аналогов дифференциальных уравнений. Анализируются способы определения порядка аппроксимации разностных схем, нахождения условий их устойчивости. Особое внимание уделяется способу оценки погрешности численных решений. Изложение методов осуществляется на примерах задачи Коши и краевых задач. В практической части сделан упор на написание алгоритмов счета и вычислительных программ. В конце курса предусматривается представление студентами полного отчета с результатами вычислений.

Рабочая учебная программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Метод конечных разностей [электронный ресурс] / Режим доступа: ссылка скрыта., свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой механики многофазных систем. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.Б. Шабаров, д.т.н., профессор

Пояснительная записка.

Для изучения курса студент должен знать математический анализ, дифференциальные уравнения, общую физику.

Цели и задачи курса:

Обеспечение знаний студентов в области численных методов решения физических задач, развитие навыков и умения творческого использования основных приемов численного счета при исследовании конкретных процессов в различных областях физики.

Студент должен иметь представление:

О современных численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнениях; о приемах анализа разностных схем; об оценках погрешности численных решений; иметь навыки составления вычислительных программ и демонстрирования результатов счета в виде таблиц, диаграмм, графиков.

2.Тематический план изучения дисциплины.

№	Наименование темы	Лекции (кол-во часов)	Практ. и семин. заня-тия (кол-во часов)	Инд. и самос. работа студентов (кол-во часов)	Форма контроля
1.	Введение в курс ’’Методы конечных разностей’’ (МКР)	2		1
2.	Приближенные аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в задаче Коши	2	6	12	3 аудитор-ных контроль-ных работ по 40 минут
3.	Численные методы решения задачи Коши конечными разностями.	9	18	12	Контроль-ная работа. Отчет с програм-мой счета.
4.	Численные методы решения краевых задач для ОДУ 2-го порядка конечными разностями	4	10	12	Контроль-ная работа. Отчет с програм-мой счета
	Итого	17	34	37	Зачет

3. Содержание дисциплины

Темы лекционных занятий

Тема 1. Введение в курс ’’Методы конечных разностей’’ (МКР). Связь МКР с физическими специальностями. Возникновение и история развития науки о МКР, современные научные проблемы в технике и в науке, решаемые конечноразностными методами.

Тема 2. Приближенные аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в задаче Коши. Общая формулировка задачи Коши для одного ОДУ и системы ОДУ. Метод последовательного дифференцирования. Метод неопределенных коэффициентов. Метод последовательных приближений. Достоинства и недостатки методов. Оценка погрешности приближенных решений.

Тема 3. Численные методы решения задачи Коши конечными разностями. Аппроксимации производных. Дискретные аналоги ОДУ. Метод Эйлера 1-го порядка точности. Порядок аппроксимации разностной схемы. Условие устойчивости схемы. Оценка погрешности численного решения по способу Рунге. Метод Эйлера для системы ОДУ. Первый и второй улучшенные методы Эйлера, их порядки аппроксимации, условия устойчивости и оценки погрешностей решения. Метод Эйлера с итерациями 3-го порядка. Методы Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Оценка погрешности численного счета по способу Рунге. Равномерные и неравномерные сетки.

Тема 4. Численные методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка конечными разностями. Метод трехточечной прогонки для линейного ОДУ второго порядка. Условия применимости метода. Прямая прогонка и прогоночные коэффициенты. Обратная прогонка. Метод трехточечной прогонки для решения нелинейного ОДУ второго порядка посредством использования процедуры итераций. Оценка погрешности численного счета. Метод ’’стрельбы’’ для решения краевых задач, как сведение краевой задачи к задаче Коши. Об использовании методов дихотомии (метод деления отрезка пополам) и Ньютона для решения алгебраического уравнения на конце расчетной области. Достоинства и недостатки методов ’’прогонки’’ и стрельбы’’ для решения краевых задач. Понятие ’’хорошо’’ и ’’плохо’’ обусловленных краевых задач Коши. Оценка погрешности счета по методу ’’стрельбы’’.

4. Темы практических занятий с использованием ЭВМ.

Тема 2. Приближенные аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в задаче Коши

1. Метод последовательного дифференцирования для задачи (2 ч.)

2. Метод неопределенных коэффициентов для задачи Коши (2 ч.)

3. Метод последовательных приближений для задачи Коши (2 ч.)

Тема 3. Численные методы решения задачи Коши конечными разностями.

4. Метод Эйлера 1-го порядка точности для задачи Коши. Разбор метода, составление алгоритма и блок-схемы, написание программы (расчетного модуля) (4 ч.)

5. Первый улучшенный метод Эйлера. Написание программы по решению задачи Коши (4 ч.)

6. Второй улучшенный метод Эйлера (метод Эйлера-Коши). Написание программы численного решения задачи Коши (2 ч.)

7. Метод Эйлера с итерациями. Написание программы по решению задачи Коши (4 ч.)

8. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Написание вычислительной программы (4 ч.)

Тема 4. Численные методы решения краевых задач для ОДУ 2-го порядка конечными разностями.

9 Метод трехточечной прогонки для решения краевых задач. Разбор метода, блок-схема вычислительного процесса, написание и отладка программы (4 ч.)

10. Метод стрельбы. Разбор метода, блок-схема вычислительного процесса, написание и отладка программы (4 ч.)

Объединение всех расчетных модулей в одну вычислительную программу (2 ч.)

5. Самостоятельная работа студентов

Темы домашних контрольных работ, выполняемых с применением ЭВМ.

Тема 1. Решение ОДУ или системы ОДУ в задаче Коши методом Эйлера.

Тема 2. Решение ОДУ или системы ОДУ для задачи Коши первым улучшенным методом Эйлера.

Тема 3. Решение ОДУ или системы ОДУ для задачи Коши методом Эйлера-Коши.

Тема 4. Решение ОДУ или системы ОДУ для задачи Коши методом Эйлера с итерациями.

Тема 5. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта.

Тема 6. Решение краевой задачи для ОДУ второго порядка методом ’’трехточечной’’ прогонки.

Тема 7. Решение краевой задачи методом ’’стрельбы’’

Примечание: методическая литература по выполнению контрольных работ приведена в конце рабочей программы

6. Контрольные вопросы к зачету.

1. Метод последовательного дифференцирования для приближенного аналитического решения задачи Коши. Использование метода для решения обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка ( n  1).

2. Метод неопределенных коэффициентов для решения ОДУ с начальными условиями.

3. Метод последовательных приближений для задачи Коши. Формула Пикара.

4. Способы аппроксимации первых и вторых производных функций одной переменной. Оценки погрешности аппроксимаций производных с использованием разложений функций в ряд Тейлора. Понятие равномерной и неравномерной сетки. Отыскание функций приемами линейной интерполяции и экстраполяции.

5. Метод Эйлера 1-го порядка точности. Дискретный аналог дифференциального уравнения. Погрешность аппроксимации и устойчивость схемы. Оценка погрешности счета по способу Рунге. Уметь изобразить блок-схему вычислительной программы.

6. Улучшенный метод Эйлера 2-го порядка точности и метод Эйлера с итерациями 3-го порядка точности. Устойчивость схем. Оценки погрешности счета по способу Рунге. Блок-схемы вычислений по указанным методам.

7. Методы Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Оценка погрешности счета. Блок-схема вычислений.

8. Метод трехточечной прогонки. Алгоритм вычислений. Использование метода итераций для решения нелинейных ОДУ. Способы аппроксимации граничных условий 1-го, 2-го и 3-го родов. Оценка погрешности счета. Условия применимости метода прогонки.

9. Метод стрельбы с дихотомией или с методом Ньютона. Порядок организации вычислений в случае ’’плохо обусловленной’’ задачи Коши. Блок-схема вычислительного процесса. Оценка погрешности численного решения.

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература

1. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 368с.

2. Поттер Д. Вычислительная физика. М.: Мир, 1980.

Дополнительная литература

1. Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. М. Физматгиз, 1962.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.

Blog