Использование дифференциальных равнений в частных производных для моделирования реальных процессов
Министерство общего и профессионального образования
Сочинский государственный ниверситет туризма
и курортного дела
Педагогический институт
Математический факультет
Кафедра общей математики
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Использование дифференциальных равнений в частных производных для моделирования реальных процессов.
|
дневной формы обучения
Специальность 010100
Математика
Прокофьевой Я. К.
Студенческий билет № 95035
|
техн. наук
Позин П.А.
Сочи, 2 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введени..ЕЕ3
Глава 1. равнения гиперболического типа.
з1.1. Задачи, приводящие к равнениям гиперболического типа..5
1.1.1. равнение колебаний струны..5
1.1.2. равнение электрических колебаний в проводахЕЕ.8
з1.2. Метод разделения переменных..10
1.2.1. равнение свободных колебаний струныЕ.10
Глава 2. равнения параболического типа.
з2.1. Задачи, приводящие к равнениям параболического типа..17
2.1.1. равнение распространения тепла в стержне..17
2.1.2. Распространение тепла в пространстве.19
з2.2. Температурные волны..23
Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных равнений в частных производных.
з3.1. Дифракция излучения на сферической частиц29
Заключени.40
Литература..41
ВВЕДЕНИЕ
Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих равнений впервые были изложены в знаменитом Интегральном исчислении Л. Эйлера.
Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V - два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального равнения из фиксированного набора его элементарных решений и прощает теорию этих равнений.
Современная общая теория дифференциальных равнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных равнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных равнений в частных производных выступает численное интегрирование.
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории пругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.
Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.
Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к равнениям с частными производными.
Расположение материала соответствует основным типам равнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к равнениям рассматриваемого типа.
Глава 1. РАВНЕНЯа ГИПЕРБОЛИЧЕСКГо ТИПА
з1.1. Задачи, приводящие к равнениям гиперболического типа.
Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее равнение гиперболического типа
Глава 2. РАВНЕНЯа ПАРАБОЛИЧЕСКГо ТИПА
Глава 2. РАВНЕНЯа ПАРАБОЛИЧЕСКГо ТИПА
з2.1. Задачи, приводящие к равнениям гиперболического типа.
2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.
Рассмотрим однородный стержень длины img src="images/picture-004-230.gif.zip" title="Скачать документ бесплатно">
Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ РАВНЕНЙа В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
з3.1. Дифракция излучения на сферической частице.
Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице. Как известно, в случае монохроматического излучения частоты img src="images/picture-279-9.gif.zip" title="Скачать документ бесплатно">
В случае электрических колебаний из уравнения (6) получим
В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных равнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда дается становить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато дается вывести дифференциальное равнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных словиях.
Литература.
1. Н. С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления, М., Наука, 1972, том. 2.
2. И. М. варенков, М. З. Маллер Курс математического анализа, М., Просвещение, 1976.
3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский равнения математической физики, М., Наука, 1972.
4. Владимиров В. С. равнения математической физики, М., Наука, 1988.
1 Это предположение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем величиной апо сравнению с 1. Действительно,