Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения инженерного факультета Вологда-Молочное

1   2

Пример 1.

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и прямой (поверхностную плотность считать равной единице).


В случае однородной пластины, занимающей область плоскости , координаты центра тяжести и находят по формулам:

, (32),


где - площадь области ,


(33)

Сделаем чертёж:



В нашем случае фигура ограничена кривыми и при . Поэтому

Для вычисления полученного интеграла используем замену . Тогда . Отсюда



Значит, .

Найдём

Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены . Тогда

, .



Отсюда ,

тогда .


Найдём :




Пример 2.

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями (поверхностную плотность считать равной единице).





Поскольку фигура симметрична относительно оси , то . Вычислим первую координату центра тяжести .

.



Таким образом, ; .


^ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4


Тема 1.

Дифференциальные уравнения


В задачах 1-20 найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   
6. 
   
7. 
   
8. 
   
9. 
   
10. 
    
11. 
    
12. 
    
13. 
    
14. 
    
15. 
    
16. 
    
17. 
    
18. 
    
19. 
    
20. 
    

Решение типового примера.

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: .


Заменяем : .

. Для того, чтобы разделить переменные умножим обе части уравнения на выражение . Получим: . После разделения переменных обе части уравнения можно интегрировать.



Интеграл в правой части решаем методом замены:

, ,



Тогда решение уравнения имеет вид:

(Для удобства произвольную постоянную прибавляют в виде натурального логарифма).

Воспользуемся свойствами логарифма, получим:

- общее решение уравнения.


В задачах 21-40 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.

21. , ;
    
22. , ;
    
23. ,
    
24. ,
    
25. , ;
    
26. , ;
    
27. , ;
    
28. , ;
    
29. , ;
    
30. , ;
    
31. , ;
    
32. , ;
    
33. , ;
    
34. , ;
    
35. , ;
    
36. , ;
    
37. , ;
    
38. , ;
    
39. , ;
    
40. , ;
    

Решение типового примера.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Полагаем , где , - неизвестные функции от, . Подставляя и в исходное уравнение, будем иметь

,

.

Подберём функцию так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Для определения решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными , откуда . После интегрирования получаем , т. е. .

Для определения функции имеем



или

.

Этот дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции . Разделяя переменные, будем иметь

.

Интегрируя обе части равенства, получаем



Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, в результате чего имеем ,

Откуда .

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Используя начальное условие, вычисляем соответствующее ему значение постоянной С:

т.е. .

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид: .


В задачах 41-60 найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

41. 
    
42. 
    
43. 
    
44. 
    
45. 
    
46. 
    
47. 
    
48. 
    
49. 
    
50. 
    
51. 
    
52. 
    
53. 
    
54. 
    
55. 
    
56. 
    
57. 
    
58. 
    
59. 
    
60. 
    

Решение типового примера.

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: .

Найдём общее решение однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного уравнения :

.

Так как корни его характеристического уравнения действительны и различны , то общее решение однородного уравнения записывается в виде

, где и - произвольные постоянные.

Подбираем теперь частное решение исходного неоднородного уравнения в виде:

.

Отсюда

,

.

Подставляя , , в исходное уравнение и сокращая все слагаемые на множитель , получаем



или после упрощения



Отсюда следуют равенства:



т.е. , .

Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

.


Тема 2.

Ряды

В задачах 61-80: a) исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.

61. а) ; б) ; в) ;
    
62. а) ; б) ; в) ;
    
63. а) ; б) ; в) ;
    
64. а) ; б) ; в) ;
    
65. а) ; б) ; в) ;
    
66. а) ; б) ; в) ;
    
67. а) ; б) ; в) ;
    
68. а) ; б) ; в) ;
    
69. а) ; б) ; в) ;
    
70. а) ; б) ; в) ;
    
71. а) ; б) ; в) ;
    
72. а) ; б) ; в) ;
    
73. а) ; б) ; в) ;
    
74. а) ; б) ; в) ;
    
75. а) ; б) ; в) ;
    
76. а) ; б) ; в) ;
    
77. а) ; б) ; в) ;
    
78. а) ; б) ; в) ;
    
79. а) ; б) ; в) ;
    
80. а) ; б) ; в) ;
    

Решение типового примера.

1. Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд:
   

Общий член ряда .

Тогда . В соответствии с признаком Даламбера вычислим предел:

.

Так как , делаем вывод о сходимости заданного ряда.

б) С помощью признака Лейбница исследовать сходимость знакочередующегося ряда:



Рассмотрим абсолютные величины членов исходного ряда:

.

При этом и или .

Таким образом, члены заданного ряда монотонно убывают по абсолютной величине. Кроме того . Поэтому выполнены оба условия признака Лейбница, т.е. ряд сходится.


в) Найти радиус сходимости степенного ряда .

Определить характер сходимости ряда на концах интервала сходимости.

Запишем заданный ряд следующим образом:



Общий член ряда .

Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера:

.

Таким образом, при , т.е. при исходный ряд сходится абсолютно.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках и .

При заданный ряд принимает вид: .

Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится (условно), т.е. точка принадлежит области сходимости заданного степенного ряда.

При исходный ряд примет вид



Это числовой знакоположительный ряд, который расходится (сравните его с гармоническим рядом). Следовательно, точка не принадлежит области сходимости заданного степенного ряда.

Таким образом, область сходимости исходного степенного ряда . Вне этого интервала ряд расходится.