Горбаченко В. И., Егерев Д. Ю. Разностный алгоритм решения коэффициентной обратной задачи

Вид материала

Документы

Содержание Differential algorithm for solving coefficient inverse problem

Подобный материал:

• Тест Томаса Килмана, матрица стратегий поведения в конфликте, алгоритм, 116.81kb.
• Темы курсовых работ на 2011-2012 учебный год Кузнецов Владимир Алексеевич, д т. н.,, 329.28kb.
• Овариационном методе решения обратной задачи гравиразведки. (Статья), 696.4kb.
• Алматинский Колледж Экономики и права курсовой проект, 596.47kb.
• Алгоритм и программа Алгоритм это точно определенное описание способа решения задачи, 135.96kb.
• Алгоритм решения задач по физике, 120.05kb.
• И. М. Горбаченко Сибирский государственный технологический университет, 42.08kb.
• Спектроэллипсометр "эльф". Характеристики, области применения, 47.02kb.
• Задачи и их решение Стандартные и нестандартные задачи Задачи «на работу» Задачи «на, 157.13kb.
• Каждая подпрограмма определяется уникальным именем (идентификатором). Замечание: тексты, 42.15kb.

Горбаченко В.И., Егерев Д.Ю. Разностный алгоритм решения коэффициентной обратной задачи. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей Междунар. научно-техн. конф.– Пенза: ПДЗ, 2010. – С. 84-86.


РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ¹

В.И. Горбаченко, Д.Ю. Егерев

Пензенский государственный педагогический университет
им. В.Г. Белинского,
г. Пенза, Россия

Предлагается разностный алгоритм решения коэффициентной обратной краевой задачи. Алгоритм является градиентным. Для вычисления градиента функционала используется решение сопряженной задачи.


Differential algorithm for solving coefficient inverse problem. Differential algorithm for solving coefficient inverse problem is suggested. Algorithm is gradient. Solution of dual problem is used for computation of gradient of functional.


Постановка задачи

Рассмотрим краевую задачу

, (1)

с граничными условиями . Зависимость неизвестна, и ее необходимо найти по приближенно известным в результате измерений значениям решения в некотором множестве точек , . Необходимо найти и .

Алгоритм решения

Решение коэффициентной обратной задачи градиентным методом [1] сводится к минимизации функционала

. (2)

Градиент функционала , необходимый для минимизации (2), находится из решения сопряженной задачи

, (3)

где – решение прямой задачи (1), – решение сопряженной задачи [2]

,

– дельта функция, которая имеет следующий вид:

,

– известное решение в точке .

Предлагается разностный алгоритм решения задачи. Сначала задается некоторое начальное приближение для функции . На каждой итерации выполняются следующие действия.

1. Решается разностный аналог прямой задачи. При использовании интегро интерполяционного метода аппроксимации разностное уравнение имеет вид

.

2. Решается разностный аналог сопряженной задачи

.

3. Рассчитывается градиент (3). Производные рассчитываются по формулам численного дифференцирования: формулы для расчёта производной в узлах левой границы, внутренних узлах и узлах правой границы, имеют вид

; ; .

4. Корректируется коэффициент: , где – подбираемый коэффициент.

5. Рассчитывается норма невязки решения:

.

Если норма невязки удовлетворяет требуемой точности, то решение найдено. Иначе – переход на шаг 1.

Экспериментальное исследование

Решалась задача (1) с , правой частью и граничными условиями , . Данная задача имеет аналитическое решение . Начальное значение коэффициента задавалось уравнением . Системы разностных уравнений решались методом Зейделя с точностью до 0.002.

График решения прямой задачи (рисунок) практически совпадает с аналитическим решением.




а) б)

Результаты экспериментов

Как показали эксперименты, градиент функционала резко возрастает и имеет ярко выраженный максимум в левой половине области решения. С этим связано отличие полученного значения коэффициента от точного значения (рисунок). Далее градиент начинает выравниваться, и полученное решение приближается к аналитическому.

Библиографический список

1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. – М.: ЛКИ, 2009. – 480 с.

2. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения: курс лекций. – М.: ИВМ РАН, 2000. – 175 с.