Geum.ru

Программа курса «Алгебра и геометрия», прикладная математика и информатика. 3 семестр, 2011/2012 уч год

Вид материалаПрограмма курса

Содержание


Линейные операторы.
Спектральная теория линейных операторов
Линейные операторы в евклидовом пространстве.
Общая алгебра.
Подобный материал:


– –

Программа курса «Алгебра и геометрия»,

прикладная математика и информатика. 3 семестр, 2011/2012 уч. год.

Определение билинейной формы; примеры. Представление билинейной формы в базисе, ее матрица, их соответствие. (Косо)симметричные билинейные формы. Связь матриц в разных базисах.

Квадратичная форма и полярная к ней билинейная форма, матрица и ранг квадратичной формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Связь линейного невырожденного преобразования координат и преобразования координат при смене базиса. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (метод Лагранжа) и к нормальному виду. Закон инерции вещественной квадратичной формы, положительный и отрицательный индексы инерции, q-положительные (отрицательные) подпространства, связь с индексами инерции.. Классификация вещественных квадратичных форм, критерии. Сужение форм на подпространство, матрица сужения. Характеризация квадратичных форм через главные и угловые миноры матрицы: критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы, критерии неотрицательности (неположительности) квадратичной формы (без доказательства), критерий знакопеременности квадратичной формы.

Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры, простейшие свойства. Действия над линейными операторами, их свойства. Матрица линейного оператора, связь координат образа и прообраза. Свойства матрицы линейного оператора. Определитель линейного оператора. Примеры.

Ядро и образ линейного оператора, свойства. Связь размерностей ядра и образа. Ранг линейного оператора, связь с рангом его матрицы.

Обратимый линейный оператор, его обратный. Критерии обратимости, общий и конечномерный, следствие. Подобные матрицы, свойства. Подобные матрицы линейного оператора.

Спектральная теория линейных операторов. Собственный вектор, собственное значение (число). Примеры. Спектр конечномерного линейного оператора. Критерий принадлежности числа спектру. Собственное подпространство, геометрическая кратность. Характеристический многочлен и его свойства, примеры. Алгебраическая кратность собственного значения, связь с геометрической кратностью. Простейшие теоремы о не пустоте спектра.

Операторы простой структуры, критерий. Линейная независимость системы собственных векторов, отвечающих различным собственным числам. Достаточное условие и критерий для оператора простой структуры.

Степень и многочлен от оператора. Теорема Гамильтона-Кэли.

Жорданова клетка и жорданова нормальная форма матрицы. Жорданов базис. Цепочки векторов. Критерий линейной независимости семейства цепочек. Элементарные преобразования цепочек векторов, их простейшие свойства. Существование базиса, состоящего из цепочек векторов в случае единственного корня характеристического многочлена. Единственность жордановой нормальной формы, связь числа жордановых клеток с рангами степеней матриц линейного оператора.

Инвариантное подпространство, примеры инвариантных подпространств. Существование инвариантных подпространств в комплексном и вещественном случае. Следствие о паре векторов, отвечающих невещественному корню характеристического многочлена. Индуцированный оператор, примеры. Матрица оператора в базисе прямой суммы подпространств.

Корневое подпространство. Свойства корневых подпространств и индуцированного оператора. Теорема Жордана (Все без доказательства). Критерий подобия комплексных матриц.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор, матричное условие самосопряженности. Свойства самосопряженного оператора: о корнях характеристического многочлена; о собственных векторах самосопряженного оператора; об индуцированном операторе; об ортогональном дополнении к инвариантному подпространству. Спектральная теорема для самосопряженного оператора, ее матричная формулировка. Приведение квадратичной формы к главным осям, пример. Пример преобразования уравнения линии и поверхности второго порядка к канонической форме.

Общая алгебра. Бинарная (алгебраическая) операция, ее форма записи. Таблица Кэли. Группоид. Полугруппа. Примеры. Обобщенная ассоциативность. Нейтральный элемент, моноид, примеры. Обратимый элемент. Группа, абелева группа, примеры. Подгруппа. Циклическая (под)группа, порядок элемента и группы, примеры. Гомоморфизм, мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм групп. Теорема о единственности (с точностью до изоморфизма) циклических групп. Образ гомоморфизма групп. Теорема Кэли.

Кольцо, определения, примеры. Кольцо (Zm, , ) классов вычетов по модулю m. Делители нуля и обратимые элементы, их свойства. Тело, тело кватернионов. Поле, примеры. Поле (ZP, , ).

Литература
  1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры, изд. 6–11. М.: Наука, 1958–1975.
  2. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977; Физ.-мат. лит., 2000, часть 1-3.
  3. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971-2001.
  4. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра, изд. 1–3. М.: Наука, 1974–1984.
  5. Л.А. Калужнин. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1977.
  6. А.В. Козак, В.С. Пилиди. Линейная алгебра. М. Вузовская книга, 2001.
  7. В.Д. Кряквин. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006, 2007.