Geum.ru

Утверждаю

Вид материалаРабочая программа

Содержание


Цели освоения дисциплины
Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения Теории вероятностей
Уметь: Применять на практике методы теории вероятностей и случайных процессов. Владеть
4. Структура и содержание дисциплины
5. Образовательные технологии
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Подобный материал:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Томский государственный университет

Факультет прикладной математики и кибернетики


УТВЕРЖДАЮ


Декан ФПМК А.М. Горцев


"_____"__________________2011 г.


Рабочая программа дисциплины


теория вероятностей и случайные процессы


Направление подготовки

080100 Экономика

Профиль: Математические методы в экономике


Квалификация выпускника

Бакалавр


Форма обучения

очная


Томск


2011


  1. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и случайные процессы являются изучение закономерностей случайных явлений, вероятностного подхода к построению математических моделей реальных событий и процессов в различных классах случайных функций, постановка и решение возникающих математических задач. Изучение формального математического аппарата теории вероятностей и случайных процессов, возможности его использования в процессе дальнейшего обучения, применение методов теории вероятностей и случайных процессов для анализа проблем в различных предметных областях.
  1. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Курс входит в базовую часть математического цикла (Б.2) Основной Образовательной Программы бакалавриата по направлению подготовки 080100 Экономика (профиль: Математические методы в экономике).

Для изучения этой дисциплины необходимы знания основных методов Математического и Функционального анализа, Алгебры, Дифференциальных уравнений.

Дисциплина закладывает фундаментальные математические знания необходимые для изучения следующих теоретических дисциплин: Математическая статистика, Теория массового обслуживания, Исследование операций, а также дисциплин профессионального цикла этой ООП.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения Теории вероятностей

В результате освоения дисциплины формируются следующие общекультурные компетенции:

ОК-1 – владеет культурой мышления, способен к обучению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения,

ОК-6 – способен логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь,

ОК-13 – владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения и переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях,

а так же профессиональные компетенции:

ПК-4 – способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач,

ПК-5 – способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчётов и обосновать полученные выводы,

ПК-6 – способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и экономические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты,

ПК-9 – способен, используя отечественные и зарубежные источники информации, собрать необходимые данные, проанализировать их и подготовить информационный обзор и / или аналитический отчёт,

ПК-15 – способен принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: Основные понятия теории случайных событий, случайных величин, их последовательностей, основные понятия теории случайных процессов, основные классы этих моделей и методы их исследования; формулировки и смысл утверждений аксиом и теорем теории вероятностей и случайных процессов.

Уметь: Применять на практике методы теории вероятностей и случайных процессов.

Владеть: Знаниями основных понятий, утверждений, а так же методами теории вероятностей и случайных процессов. Владеть методикой построения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.

4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоёмкость дисциплины составляет 10.8 зачётные единицы, 390 часов. Дисциплина реализуется в четвёртом и пятом семестрах, в конце четвёртого аттестация в форме Экзамена, а в конце пятого семестра итоговая аттестация в форме Теоретического Зачёта. Форма текущего контроля успеваемости реализуется тремя контрольными работами на 6, 10 и 14 неделях, а также тремя коллоквиумами на 8, 12 и 15 неделях в каждом семестре.

№№

п/п
Разделы первой части дисциплины, реализуемые в четвёртом семестре

Лек-ции
Прак-тичес-кие

занятия
Само-сто-ятель-ная

рабо-та
Формы

текуще-го контроля успевае-мости

1
Интуитивные предпосылки теории вероятностей. Аксиоматическое определение случайных событий. Действия над событиями.
4
4
6



2
Определение вероятности случайного события. Свойства вероятностной меры и вероятностей событий.
6
4
8



3
Основные формулы для вероятностей событий. Теорема сложения вероятностей. Независимость случайных событий. Условная вероятность события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2
6
6



4
Схема Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Простейший поток однородных событий.
4
6
8



5
Случайные величины как измеримые функции. Функция распределения случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей. Преобразование многомерных случайных величин.
6
6
10
2

К.р.-1

6
Интегралы Лебега и Стилтьеса. Числовые характеристики случайных величин.
4
6
8



7
Характеристическая функция и её свойства. Связь моментов случайной величины с её характеристической функцией
2
2
6
4

Кол.-1

8
Условные математические ожидания, основные формулы.
4
4
8
4

К.р.-2

9
Сходимость последовательностей случайных величин с вероятностью единица (почти наверное), в среднем квадратическом, по вероятности, по распределению. Соотношения между различными типами сходимости.
2
2
6
4

Кол.-2

10
Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа. Условия Линдеберга и Ляпунова. Теоремы Линдеберга и Ляпунова.
4
2
6
4

К.р.-3

11
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Лемма Бореля-Контелли. Усиленный закон больших чисел.Теоремы Колмогорова и Бореля.
6
2
6
4

Кол.-3

12
Понятие центральной предельной проблемы.
2



2
19

ЭКЗАМЕН




ИТОГО
46
44
80
43




№№

п/п
Раздел второй части дисциплины, реализуемые в пятом семестре
Лек-ции
Прак-тичес-кие

занятия
Само-сто-ятель-ная

рабо-та
Формы

текущее-го кон-троля успеваемости

1
Основные понятия теории случайных процессов. Семейство конечномерных распределений СП. Моментные функции. Корреляционная функция. Стационарные и эргодические процессы.
2
2
4



2
Корреляционная теория случайных процессов. Непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость в среднем квадратическом случайных процессов.
4
4
8



3
Гауссовские случайные процессы. Свойства гауссовского вектора. Винеровский гауссовский случайный процесс. Белый гауссовский шум.
4
4
8
4

К.р.-1

4
Цепи Маркова с дискретным временем. Переходные вероятности. Уравнение Чепмена-Колмогорова. Классификация состояний цепи Маркова. Эргодические теоремы для цепей Маркова с дискретным временем.
4
6
14
4

Кол.-1

5
Цепи Маркова с непрерывным временем. Матрица инфинитезимальных характеристик. Прямая и обратная системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
4
6
12
4

К.р.-2

6
Полумарковские процессы. Полумарковская матрица. Вложенная цепь Маркова. Метод дополнительной переменной.
4
2
12
4

Кол.-2

7
Диффузионные Марковские процессы. Коэффициенты переноса и диффузии. Обратное уравнение Колмогорова, прямое уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка.
4
4
8
4

К.р.-3

8
Стохастические интегралы в форме Ито и Стратановича. Связь этих интегралов.
2
2
2
4

Кол.-3

9
Стохастические дифференциальные уравнения. Формула дифференцирования Ито. Примеры решения стохастических дифференциальных уравнений.
4
2
2
ЗАЧЁТ

19




ИТОГО
32
32
70
43


5. Образовательные технологии

При реализации учебного процесса по Теории вероятностей и случайным процессам применяются классические образовательные технологии: Лекции для изложения теоретического материала, практические занятия для изучения методов решения задач и примеров по теории вероятностей и случайным процессам.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточная аттестация по итогам освоения дисциплины

Самостоятельная работа студентов осуществляется в виде изучения лекционного материала, основной и вспомогательной литературы, рекомендованной по дисциплине, выполнения домашних заданий по практической части дисциплины.

Для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины предлагаются следующие темы практических заданий и контрольные вопросы.

Темы практических заданий по первой части.
  1. Алгебра событий.
  2. Свойства вероятностей.
  3. Классическое определение вероятности.
  4. Геометрическое определение вероятности.
  5. Формула полной вероятности.
  6. Формула Байеса.
  7. Схема Бернулли.
  8. Биномиальное распределение.
  9. Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.
  10. Распределения дискретных случайных величин.
  11. Функция распределения и плотность распределения вероятностей значений непрерывных случайных величин.
  12. Многомерные случайные величины.
  13. Преобразование случайных величин.
  14. Числовые характеристики случайных величин.
  15. Производящая и характеристическая функции случайных величин.
  16. Гауссовские случайные величины.
  17. Последовательности случайных величин. Типы сходимостей.
  18. Центральная предельная теорема. Теорема Линдеберга.
  19. Закон больших чисел.
  20. Усиленный закон больших чисел.


Темы практических заданий по второй части.

  1. Основные характеристики случайных процессов.
  2. Корреляционная теория случайных процессов.
  3. Сходимость последовательностей случайных процессов.
  4. Дифференцируемость случайных процессов.
  5. Интегрируемость случайных процессов.
  6. Линейные преобразования случайных процессов.
  7. Матрица вероятностей переходов Цепей Маркова с дискретным временем.
  8. Классификация состояний цепи Маркова с дискретным временем.
  9. Вероятностно-временные характеристики для цепей Маркова с дискретным временем.
  10. Системы дифференциальных уравнений для цепей Маркова с непрерывным временем.
  11. Определение финальных вероятностей и стационарных распределений.
  12. Вероятностно-временные характеристики для цепей Маркова с непрерывным временем.
  13. Процессы гибели и размножения.
  14. Полумарковские процессы фазового типа. Построение полумарковских матриц.
  15. Уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка. Методы их решения.
  16. Стационарные распределения вероятностей для диффузионных процессов.
  17. Стохастические интегралы и решение стохастических дифференциальных уравнений.



Контрольные вопросы по первой части.
  1. Описание и аксиоматическое определение случайного события.
  2. Операции над событиями.
  3. Классическое определение вероятности.
  4. Геометрическое определение вероятности.
  5. Аксиоматическое определение вероятности.
  6. Формула полной вероятности.
  7. Различные варианты формулы полной вероятности.
  8. Формула Байеса.
  9. Схема Бернулли. Биномиальное распределение.
  10. Теоремы Муавра-Лапласа.
  11. Теорема Пуассона. Простейший поток однородных событий.
  12. Функции множеств и их свойства.
  13. Борелевская прямая.
  14. Критерий измеримости.
  15. Аксиоматическое определение случайных величин и их свойства.
  16. Функция распределения вероятностей значений случайной величины и её свойства.
  17. Плотность распределения вероятностей значений непрерывной случайной величины и её свойства.
  18. Ряд распределения вероятностей значений дискретной случайной величины и его свойства.
  19. Конкретные распределения случайных величин, их характеристики и параметры.
  20. Многомерные случайные величины, их функции распределения, условия согласованности.
  21. Многомерные смешанные случайные величины.
  22. Условные законы распределения.
  23. Преобразование одномерных случайных величин.
  24. Преобразование многомерных случайных величин.
  25. Сумма, частное, модуль компонент двумерных случайных величин.
  26. Интеграл от случайной величины по вероятностной мере – интеграл Лебега.
  27. Интеграл Стилтьеса – числовые характеристики случайных величин.
  28. Математическое ожидание, его свойства.
  29. Дисперсия, её свойства.
  30. Начальные и центральные моменты случайных величин, их семиинварианты.
  31. Кривые регрессии. Коэффициент корреляции.
  32. Экспоненциальные случайные величины, их свойства.
  33. Условное математическое ожидание.
  34. Формула полной вероятности для условного математического ожидания.
  35. Типы сходимостей последовательностей случайных величин.
  36. Центральная предельная теорема в простейшей форме. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
  37. Условия Линдеберга и Ляпунова.
  38. Центральная предельная теорема в форме Линдеберга с доказательством.
  39. Центральная предельная теорема в форме Ляпунова с доказательством.
  40. Закон больших чисел в форме Чебышева и Бернулли.
  41. Лемма Бореля-Контелли – закон нуля и единицы.
  42. Теорема сходимости почти наверное, если сходится ряд из абсолютных моментов.
  43. Лемма Кронекера и неравенство Гаека-Реньи.
  44. Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова в общем виде.
  45. Частные случаи усиленного закона больших чисел в форме Колмогорова. Теорема Бореля.


Контрольные вопросы по второй части.

  1. Определение и описание случайного процесса.
  2. Статистические средние характеристики случайных процессов.
  3. Стационарные случайные процессы.
  4. Эргодические случайные процессы.
  5. Корреляционная функция и её свойства.
  6. Сходимость в среднем квадратическом. Критерий сходимости последовательности случайных процессов.
  7. Непрерывность и дифференцируемость случайных процессов.
  8. Интегрирование случайных процессов. Теорима Биркгофа-Хинчина.
  9. Разложение случайных процессов по ортогональным функциям.
  10. Многомерные Гауссовские векторы, их свойства.
  11. Гауссовские случайные процессы, их свойства.
  12. Гауссовский винеровский случайный процесс.
  13. Определение марковского процесса, его переходной функции.
  14. Основные понятия теории цепей Маркова с дискретным временем.
  15. Классификация состояний цепи Маркова по свойству периодичности.
  16. Структура замкнутого класса для периодической цепи Маркова.
  17. Классификация состояний цепи Маркова по асимптотическим свойствам.
  18. Эргодичность цепей Маркова.
  19. Вероятностно-временные характеристики цепей Маркова.
  20. Определение и основные свойства цепей Маркова с непрерывным временем.
  21. Системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
  22. Финальные вероятности и стационарное распределение для цепей Маркова с непрерывным временем.
  23. Процессы гибели и размножения, Метод Хинчина.
  24. Время переходов для процесса чистого размножения. Явление эпидемии.
  25. Простейший поток и пуассоновский процесс.
  26. Приложение процессов гибели и размножения.
  27. Основные понятия теории полумарковских процессов. Полумарковская матрица, её мультипликативная форма.
  28. Вложенные цепи Маркова для полумарковских процессов.
  29. Полумарковская матрица для цепи Маркова с непрерывным временем.
  30. Метод дополнительной переменной для полумарковских процессов.
  31. Определение диффузионного процесса.
  32. Обратное уравнение Колмогорова.
  33. Прямое уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка.
  34. Частные случаи уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка.
  35. Винеровский диффузионный процесс, его корреляционная функция.
  36. Допредельная модель диффузионного процесса, свойства траекторий.
  37. Лемма о сумме квадратов приращений диффузионного процесса.
  38. Стохастический интеграл в форме Ито, его особенность.
  39. Стохастический интеграл в форме Стратановича, его связь с интегралом Ито.
  40. Стохастические дифференциальные уравнения, диффузионные свойства решений.
  41. Формула дифференцирования Ито.
  42. Решения стохастических дифференциальных уравнений.



7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература
  1. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2010.
  2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1988.
  3. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. – Высшая школа, 1982.
  4. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. – М.: Наука, 1986.
  5. Карлин С. Основы теории случайных процессов. – М.: Мир, 1971.
  6. Баручча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. – М.: Наука, 1969.
  7. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций. – М.: Наука, 1970.


Дополнительная литература
  1. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980.
  2. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1972.
  3. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
  4. Емельянов Г.Р., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций. – М.: Наука, 1970.


8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Для курса Теория вероятностей и случайных процессов не требуется специального материально-технического обеспечения.


Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учётом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению 080100 Экономика.


Автор: Назаров Анатолий Андреевич – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Теории вероятностей и математической статистики Томского госуниверситета.

Рецензент: Горцев Александр Михайлович – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Исследования операций Томского госуниверситета.


Программа одобрена на заседании Учёного совета ФПМК от

«__24__»_____02___________2011г., протокол №__282___ .