Geum.ru

Радиотехнические цепи

Вид материалаЛитература

Содержание


5.5. Простейшие радиотехнические цепи
Характеристическим сопротивлением
Подобный материал:
1   2   3

5.5. Простейшие радиотехнические цепи


5.5.1 Пассивные апериодические цепи


Литература: [Л.1], стр. 212-214 [Л.2], стр. 135-138, 149-153 [Л.3], стр. 156-157

При классификации радиотехнических цепей было отмечено, что по признаку наличия в цепи источника энергии цепи подразделяются на пассивные и активные. Начнем с рассмотрения пассивных цепей первого порядка, т.е. цепей содержащих один реактивный элемент (емкость или индуктивность). На основе этих цепей строятся как простейшие активные цепи, так и более сложные радиотехнические устройства.

Выше в качестве примера линейной цепи при рассмотрении методов анализа приводилась RC-цепь, которая получила название интегрирующей цепи. Рассмотрим еще одну RC-цепь, называемую дифференцирующей цепью, определим ее характеристики и сравним с характеристиками интегрирующей цепи.

Определение характеристик цепей можно проводить любым из рассмотренных выше методов. Так, например, при определении частотных характеристик цепей в данном случае удобно представить ту или иную цепь в виде делителя напряжения, в состав которого входят комплексные сопротивления  и . Временные характеристики (переходную и импульсную) можно рассчитать как методом интеграла наложения, так и операторным методом.

В таблице 5 представлены схемы интегрирующей и дифференцирующей цепи, дифференциальные уравнения, которыми описываются цепи, аналитические выражения комплексного коэффициента передачи , амплитудно-частотных , фазо-частотных , а также переходных  и импульсных  характеристик и их графические изображения.

Анализ графиков АЧХ цепей показывает, что интегрирующая цепь пропускает нижние частоты и задерживает верхние, т.е. является фильтром нижних частот (ФНЧ). Дифференцирующая цепь наоборот пропускает верхние частоты и тем самым является фильтром верхних частот (ФВЧ).

Форма временных (переходной и импульсной) характеристик определяет характер переходных процессов. Для рассматриваемых цепей переходные характеристики представляют собой монотонно возрастающую (для интегрирующей цепи) и монотонно убывающую (для дифференцирующей цепи) функции. Это определило название цепей как апериодических.

Обратимся к выражению для комплексного коэффициента передачи интегрирующей цепи. При  комплексный коэффициент передачи

.

Так как входной и выходной сигналы связаны соотношением

,

то при указанном условии

. (5.40)

Но оператор  является оператором интегрирования. Тогда применяя обратное преобразование Фурье, получим

,

т.е. цепь выполняет функцию интегрирования входного сигнала.

Аналогично для дифференцирующей цепи при 



и  (5.41)

Таблица 5

Интегрирующая цепь
Дифференцирующая цепь























































































































Как известно, оператор  – это оператор дифференцирования. Очевидно, обратное преобразование Фурье обеих частей (5.41) дает

.

Таким образом, рассмотренные простейшие RC-цепи осуществляют соответственно приближенное интегрирование и дифференцирование входных сигналов.

В заключение отметим, что в качестве интегрирующих и дифференцирующих цепей могут выступать и RL-цепи, где реактивными элементами являются индуктивности. Схемы этих цепей также представляют собой делители напряжения, с той лишь разницей, что в интегрирующей цепи выходной сигнал снимается с резистора, а в дифференцирующей – с индуктивности.


5.5.2. Пассивные частотно-избирательные цепи


Литература: [Л.1], стр. 212-214 [Л.3], стр. 156-157

К пассивным частотно-избирательным цепям относятся колебательные контуры. Простейший колебательный контур содержит резистор R, индуктивность L и емкость C. Если в контуре элементы R, L и C соединены последовательно, то такой контур называется последовательным, а если соединены параллельно – параллельным колебательным контуром.

О
Рис.5.6







С








дин из вариантов последовательного колебательного контура изображен на рис. 5.6. Так же,
как и предыдущие цепи, рассматриваемый контур можно представить как делитель напряжения. Тогда

комплексный коэффициент передачи контура

,

или с учетом того, что ,  и :

. (5.42)

Из этого выражения следует, что комплексный коэффициент передачи имеет максимум при

, (5.43)

т.е. последовательный колебательный контур из совокупности сигналов разных частот выделяет один, который имеет частоту . Это явление, как известно, называется резонансом, а частота  – резонансной частотой.

Резонансная частота определяется из условия (5.43):

 или . (5.44)

Рассмотрим основные характеристики последовательного колебательного контура.

Характеристическим сопротивлением называется значение сопротивления одного из реактивных элементов (индуктивности или емкости) при резонансной частоте

 . (5.45)

Добротностью контура называется отношение характеристического сопротивления к резистивному

. (5.46)

Поясним физический смысл добротности. Из (5.42) при  имеем

.

Тогда с учетом (5.46) можно записать

. (5.47)

Таким образом, добротность показывает во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости (выходной сигнал) больше, чем приложенное входное напряжение. Затуханием контура называется безразмерная величина, обратная добротности

.

Постоянная времени контура

, (5.48)

характеризует инерционность контура. Очевидно, чем больше  (чем больше ), тем медленнее протекают переходные процессы в контуре.

Возвратимся к (5.42) и представим это выражение с учетом (5.44) в виде

.

Обозначая

,

после несложных преобразований получим

.

Рассмотрим поведение комплексного коэффициента передачи в окрестности резонансной частоты, т.е. при . Тогда величина :

, (5.49)

где  – абсолютная расстройка, представляет собой так называемую удвоенную относительную расстройку. С учетом этого выражение для комплексного коэффициента передачи можно представить как функцию удвоенной относительной расстройки в следующем виде

. (5.50)

Амплитудно-частотная характеристика

, (5.51)

а фазо-частотная характеристика

. (5.52)

На рис. 5.7 изображены графики АЧХ и ФЧХ рассматриваемого колебательного контура в окрестности резонансной частоты.
























Рис. 5.7

б)

Полосой пропускания контура называется диапазон частот, в пределах которого . Очевидно, равенство в этом выражении соответствует граничным частотам  и  полосы пропускания. Эти частоты находятся в результате решения уравнения

. (5.53)

Решение этого уравнения дает

, ,

или с учетом (5.49)

, .

Тогда полоса пропускания контура определяется по формуле

. (5.54)

В заключение составим дифференциальное уравнение последовательного колебательного контура. Напряжение, приложенное к контуру:

, (5.55)

где  – напряжение на резисторе,  – напряжение на индуктивности,  – напряжение на конденсаторе. Но напряжение на конденсаторе является выходным сигналом . С другой стороны напряжение на резисторе , а напряжение на индуктивности . Ток, протекающий через контур, можно выразить через напряжение на конденсаторе

.

Тогда напряжение на индуктивности

,

и на резисторе

.

Подстановка этих выражений в (5.55) дает соотношение

.

Разделим обе части этого уравнения на . Тогда уравнение принимает вид

, (5.56)

где  – коэффициент затухания.

Применив к обеим частям уравнения (5.56) преобразование Лапласа, можно получить выражение для передаточной функции

. (5.57)

Нетрудно заметить, что замена в (5.57)  на  приводит к выражению (5.42).

Параллельный колебательный контур представляет собой параллельное соединение ,  и  элементов (рис. 5.8). Входным сигналом такого контура является ток , а выходным – напряжение  на элементах контура. Согласно закону Ома комплексное значение напряжения на элементах контура

.

О









ткуда следует, что комплексный коэффициент передачи контура








Рис.5.8
,

совпадает с комплексным сопротивлением .

В свою очередь комплексное сопротивление  есть величина, обратная комплексной проводимости. При параллельном соединении ,  и  комплексная проводимость равна

, (5.58)

или

. (5.59)

Проводя суммирование дробей, и вычисляя обратное значение суммы, получим

. (5.60)

Как и в последовательном контуре, резонанс в параллельном колебательном контуре, как это следует из (5.60), имеет место при условии .

Характеристическое сопротивление контура описывается выражением (5.45). Что касается добротности , то в отличие от (5.46) для параллельного контура она определяется выражением

. (5.61)

Отсюда постоянная времени контура

. (5.62)

Вводя параметр  и проводя аналогичные рассуждения, как и в случае последовательного контура, после несложных преобразований получим выражение для  в окрестности резонансной частоты:

. (5.63)

Очевидно, амплитудно-частотная характеристика

, (5.64)

носит такой же характер, как и для последовательного контура (5.51). Поэтому график АЧХ параллельного контура совпадает по форме с кривой рис. 5.7а. Фазо-частотная характеристика имеет вид

. (5.65)

Н





а рис. 5.9 приведен график ФЧХ параллельного контура. Полоса пропускания и граничные частоты  и  определяются аналогично этим же параметрами последовательного контура. При составлении дифференциального уравнения следует учесть, что входной сигнал – ток

, (5.66)
где ; ;  – токи, протекающие через соответствующие элементы,  – напряжение на контуре, являющееся выходным сигналом .














Рис.5.9




Подстановка этих выражений в (5.65) дает

.

Дифференцирование левой и правой частей приводит к результату

, (5.67)

где  – коэффициент затухания.

Передаточная функция параллельного контура описывается выражением

. (5.68)