Программа курса «уравнения математической физики» для математического отделения
| Вид материала | Программа курса |
- Учебно-методический комплекс по дисциплине Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы, 325.5kb.
- Содержание уравнения математической физики (нм-3) Уравнения математической физики (нп-3), 92.05kb.
- М. К. Аммосова рабочая программа дисциплины «Уравнения математической физики» (специальность, 50.63kb.
- Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500. 62 «Прикладная, 204.13kb.
- Уравнения математической физики Лектор 2010/11 уч года д ф. м наук, и о. проф. Косимов, 67.08kb.
- Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Уравнения математической, 92.11kb.
- Программа курса лекций по методам математической физики, физико-химический факультет, 35.72kb.
- Программа курса лекций по методам математической физики, физико-химический факультет, 40.42kb.
- Программа учебной дисциплины «Уравнения математической физики», 32.72kb.
- А. М. Горького Институт по переподготовке и повышению квалификации программа курса, 53.14kb.
ПРОГРАММА КУРСА
«УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
для математического отделения
6-ой семестр
ВВЕДЕНИЕ
- Примеры уравнений и постановок задач математической физики, корректная разрешимость.
- Классификация линейных уравнений второго порядка в точке, канонический вид, замечание о возможности приведения к каноническому виду в окрестности точки.
ЗАДАЧА КОШИ.
- Постановка, приведение начальной поверхности к плоскости, характеристические и свободные поверхности, инвариантность.
- Характеристические поверхности для оператора Лапласа, теплопроводности, волнового.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
- Уравнение колебания струны, формула Даламбера, физическая интерпретация.
- Уравнение колебания полуструны, условия согласования, формула Даламбера.
- Сферические средние.
- Решение задачи Коши для волнового уравнения в трехмерном случае методом сферических средних. Физическая интерпретация.
- Решение задачи Коши для волнового уравнения в двумерном случае методом спуска. Физическая интерпретация.
- Принцип Дюамеля для решения неоднородной задачи Коши. Его реализация в трехмерном случае.
- Теорема единственности, закон сохранения энергии.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
- Принцип максимума для начально-краевой задачи. Его следствия: теорема единственности, поведение решения при возрастании времени.
- Принцип максимума для задачи Коши, единственность ее решения.
- Формула Пуассона: вывод, обоснование, свойства решения.
- Принцип Дюамеля для решения неоднородной задачи Коши.
ТЕОРЕМА КОШИ – КОВАЛЕВСКОЙ
- Вещественные аналитические функции.
- Мажорирующие уравнения.
- Доказательство теоремы Коши-Ковалевской.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ.
- Интегральный оператор с непрерывным ядром в пространстве непрерывных функций и пространстве суммируемых со степенью р функций.
- Тест Шура.
- Интегральный оператор со слабой особенностью в пространстве суммируемых со степенью р функций и в пространстве непрерывных функций.
- Теорема об улучшении решения интегрального уравнения со слабой особенностью.
- Гладкость границы области, иртегральные операторы со слабой особенностью на границе, прмеры интегральных операторов со слабой особенностью на границе области.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
- Оператор Лапласа в сферических координатах, преобразование Кельвина, сферически симметичные решения однородного уравнения для оператора Лапласа, фундаметнальное решение, теорема о представлении функции через потенциалы.
- Прямая и обратная теоремы о среднем.
- Принцип максимума, строгий принцип максимума.
- Неравенство Гарнака.
- Теоремы о сходимости гармонических функций.
- Функция Грина и ее свойства: неотрицательность, симметрия.
- Функция Грина для шара, решение задачи Дирихле в шаре.
- Аналитичность гармоничекой функции , теорема об устранимой особенности и теорема Лиувилля.
- Внешняя задача Дирихле для оператора Лапласа: постановка внешней задачи Дирихле, единственность ее решения, решение внешней задачи Дирихле для шара, поведение гармонической функции на бесконечности, поведение производной гармонической функции на бесконечности.
- Внутренняя задача Неймана для оператора Лапласа: правильная внутренняя нормальная производная, постановка задачи, теорема «единственности» ее решения, необходимое условие разрешимости.
- Внешняя задача Неймана при m>2: правильная внешняя нормальная производная, постановка задачи, теорема единственности ее решения.
- Внешняя задача Неймана при m=2: постановка, теорема «единственности», необходимое условие ее разрешимости.
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
- Интеграл Гаусса: вычисление и абсолютная сходимость.
- Потенциал двойного слоя: бесконечная дифференцируемость вне границы, поведение на бесконечности, гармоничность, предельные значения потенциала двойного слоя.
- Потенциал простого слоя: непрерывность во всем пространстве, бесконечная дифференцируемость вне границы, поведение на бесконечности, правильные нормальные производные потенциала простого слоя.
- Ньютонов потенциал: непрерывность и непрерывная дифференцируемость во всем пространстве, наличие вторых производных, вычисление оператора Лапласа.
- Интегральные уравнения теории потенциала: вывод, разбиение на пары, исследование пар при m>2 и m=2.
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
- Пространство однородных полиномов: базис, размерность, скалярное произведение.
- Подпространство однородых гармоничеких полиномов: его ортогональное дополнение, размерность, теорема об ограничении полинома на единичную сферу.
- Определение сферичеких функций, их вычисление в двумерном случае.
- Симметрия оператора Бельтрами, сферические функции, как собственные функции оператора Бельтрами. Построение ортонормированной системы сферических функций.
- Полнота системы сферических функций.