Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | (14) l Tm5/2s (1) (1) Самым существенным отличием (14) от (12) является f (p, r)(nq + 1) - f (p - q, r)nq экспоненциальная зависимость от температуры.

+ (p - p+ q + q) Условие применимости нашего рассмотрения состоит в том, чтобы можно было исследовать процессы на (1) (1) f (p, r)nq - f (p + q, r)(nq + 1). (13) разных примесях независимо, т. е. средние расстояния между примесями должны быть велики:

Благодаря законам сохранения энергии и импульса элементарный акт испускания электроном фонона возмо- en-1/3 1. (15) im жен, только если импульс электрона превышает ms.

Ea Значит, для тепловых электронов этот процесс запреВ качестве Ea выступает характерная энергия данного щен. Те же законы сохранения показывают, что тепловой процесса. Для формулы (14) это ms2/2, а для формуэлектрон поглощает фонон с импульсом порядка ms.

ы (13) Ч меньшая энергия T. Оценки концентрации Поскольку вероятность поглощения пропорциональна примесей из условия (15) показывают, что теория опичислу фононов, эта вероятность мала как exp(-ms2/T ).

сывает только малые концентрации.

Таким образом, для тепловых энергий оператор J1,содержит экспоненциальную малость по сравнению с оператором J1,2 и считать функцию распределения сво- 3. Процессы ионизации при высоких бодных электронов больцмановской, но с неравновесной температурах концентрацией нет никаких оснований. Наоборот, она должна быть определена из кинетического уравнения (3) При высоких температурах T 2ms2 область сильпри учете того, что процессы ионизации и захвата явля- ного взаимодействия расположена при энергиях, суются главными процессами релаксации для свободных щественно меньших, чем средняя тепловая энергия электронов. Столкновения с захваченными электронами электрона. Мы должны найти решения системы уравникакой малости по сравнению с процессами ионизации нений (4), (5), которые асимптотически совпадают с и захвата не содержат. Из уравнения (4) следует, что больцмановскими при больших энергиях. Для захваченфункция распределения захваченных электронов равно- ных электронов это полностью равновесная функция, весная (10). а для свободных она содержит неравновесную конценДля свободных электронов решение (3) строится трацию. Для энергий, превышающих 4ms2, изменение таким образом, чтобы в нулевом приближении для энергии электрона в элементарном акте испускания или (1) (2) E ms2/2 выполнялось J1,2 f (E), f (E) = 0. Ре- поглощения фонона является малым по сравнению с шение дается больцмановской функцией с равновесной энергией электрона. Это позволяет преобразовать опеконцентрацией, которая определяется функцией захва- раторы столкновений Ji,i к дифференциальному виду [1] ченных электронов. Такое простое решение обращает (1) J1,1 f (E) в нуль и оператор J1,1 при тепловых энергиях. Соответственно эти энергии не внесут никакого вклада в (1) 1 d 2E2 df (E) (1) уравнение баланса (1), причем не только в нулевом, = - T + f (E), dE l m dE E но и в первом приближении по оператору J1,1. Только при энергиях порядка ms2, когда действия операторов (1) (1) J2,2 f (E) на f (E) будут одного порядка, возникает ненулевой вклад. Но в этой области энергий функция распределе(2) d 1 df (E) ния свободных электронов экспоненциально мала. Если (2) = E5/2 -T + f (E). (16) dE dE нас интересуют величины такого порядка, то нужно El 2m Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 214 В.Д. Каган Качественно поведение решений системы уравне- Наблюдение процессов ионизации примесей с малой ний (4), (5) понятно: при малых энергиях оно опре- концентрацией было бы возможно в полупроводнике с деляется взаимным согласованием в области сильного очень большой статической диэлектрической проницаерассеяния; при тепловых энергиях функции распределе- мостью и, следовательно, с очень ослабленным кулоновния больцмановские, но различные и существует область ским взаимодействием электрона с примесью. Но для сшивки этих двух асимптотик. Сожмем эту переходную большинства полупроводников естественно считать, что область в одно значение энергии E0. Подынтегральная концентрация примесей удовлетворяет неравенствам функция в интеграле (11) по-разному ведет себя в e2 eразличных областях энергий. Для больших тепловых n-1/3 1. (19) энергий она возрастает с уменьшением энергии, т. е.

4ms2 im T основной вклад вносит нижний конец этого интервала.

Наличие условия, включающего температуру, совершенДля малых энергий (порядка ms2) на нижнем конце но необходимо, но мы остановимся на том обосноваинтервала функции распределения согласованы. Значит, нии (19), которое ранее не рассматривалось. Наличие они согласованно вычитаются как из интеграла (11), так захваченных электронов увеличивает число возможных и из интеграла, определяющего величину ki. На верхэлектронных состояний, их нужно учесть в условии, нем конце интервала малых энергий это согласование определяющем значение химического потенциала [1,4].

нарушается, основной вклад в интеграл вносит верхний Используя энергетическую плотность состояний 2(E), конец этого интервала. Таким образом, основной вклад в запишем их полный статиcтический вклад, просуммироинтеграл (11) от обоих интервалов энергий определяетванный независимо по всем примесям. Оказывается, он ся одной энергией E0, причем большие и малые энергии соответствует увеличению плотности свободных элекбудут вносить в него вклад, различающийся только численно. С точностью до числа оценим коэффициенты ki,r, тронов с относительной величиной nime6/T. Только вычисляя интеграл (11) для больших энергий с нижним в том случае, если выполнено условие (19), это увепределом по энергии E0.

ичение мало и применимо обычное выражение для Выпишем систему уравнений (4), (5), используя (16) химического потенциала электронов [4]. Это же условие и упрощая (8), для энергий, больших ms2, позволяет рассматривать процессы захвата на разных примесях как независимые.

(1) d df E 1 (1) Решение системы (17) подстраивает величину E0 таE2 + f (E) = nime6msdE dE T ким образом, чтобы эта энергия была максимально близкой к области сильного взаимодействия, но чтобы (1) (2) dE1 5 f (E) - f (E1 - E)e-E /T, при ней уже преобладало внутризонное рассеяние. Все EE это обеспечивается выбором = 1/4. Следует, одна(2) ко, проверить выполнение условия (15) для Ea = Ed 1 df (E) 1 3/- f (E) = ms= T (4ms2)1/4. Если dE E dE T 3/ 1 nime6 4ms(2) (1) 1 dE1 5 f (E) - f (E1 - E)eE /T. (17), (20) E1 T T E Рассмотрение системы уравнений (17) при энергии E0 наше рассмотрение самогласованно и для kr следует позволяет определить эту энергию просто из сообра- оценка жений размерности. Для захваченных электронов вто- 8e6 s kr =. (21) рое из уравнений (17) показывает, что при E 4ms9 lT11/4m1/|J2,2| |J2,1|. Поэтому для захваченных электронов мы Условие (20) Ч соотношение между двумя малыми всегда можем выбрать функцию распределения равновеличинами, и поэтому оно может выполняться или не весной. Для свободных электронов из первого уравнения 4 выполняться даже тогда, когда условие (19) выполнено.

видно, что отношение |J1,2|/|J1,1| равно nime64ms2/E0.

Если реализуется условие, противоположное (20), то Будем искать E0 в виде T1-(4ms2): для, отличных считать отличным от нуля нельзя: при этом мы в качеот нуля и единицы, эта энергия промежуточная межстве характерных расстояний выбрали бы расстояния, ду T и 4ms2. Выбор различен в зависимости от услопревышающие средние расстояния между примесями.

вий, накладываемых на концентрацию. Если концентраНа таких расстояниях наше уравнение (3) неприменимо.

ции малы (n-1/3 e2/4ms2), то это обеспечивает im Остается выбор E0 = T. При этом для kr получается малость |J1,2| |J1,1| даже при E0 = 4ms2, = 1. В этом оценка, найденная Лэксом [5], случае оценка для коэффициента захвата дает 16e6 2msekr = 1. (22) kr =. (18) 9 lT7/18l 2Tm5/2sФизика твердого тела, 2005, том 47, вып. Кинетическая теория процессов ионизации и захвата электрона заряженной примесью... Отметим условия, связанные с тем, что мы рассмат- плоским волнам, а наше описание свободных электроривали движения электронов на основе классической, нов Ч к уже использованному описанию свободных а не квантовой механики. Приписывая электрону одно- электронов, у которых нет потенциальной, а есть только временно характерную координату e2/E0 и характерный кинетическая энергия p = p2/2m. Функция распределеимпульс 2mE0, мы должны потребовать, чтобы эти ве- ния зависит от этой энергии, а оператор столкновений личины удовлетворяли соотношению неопределенности.

J1,1 принимает вид, даваемый формулой (13), а при Это условие запишем в виде p 4ms2 Ч формулой (16). Вид же оператора J1,отличается от выражения (8) e2 m 1. (23) 2E0 (1) (2) J1,2 f p, f (n) = dq ( q - p - n) (2)3/,(n) Выбор разных величин E0 (E0 = 4ms2, T (4ms2)1/и T ) для малых, средних и больших концентраций (2) (1) |Mp,(q)|2|cq|2[ f (n)nq - f (p)(nq + 1)], примесей приводит к разным критериям применимости классической механики при рассмотрении процессов ионизации и захвата на примеси.

Mp,(q) = drp(r)eiqr(r). (24) Результаты рассмотрения кинетической теории отличаются от выражений, получающихся каскадным метоЗдесь Ч полный набор квантовых чисел, характеридом [1]. Мы уже отмечали различие в определении велизующих состояние дискретного спектра. Суммирование чины, называемой коэффициентом захвата, и отсутствие производится по всему набору квантовых чисел при зав каскадном методе вывода уравнения баланса (1).

данном главном квантовом числе n, от которого зависит Еще одно различие касается того, способна ли теория энергия.

связать энергию захватываемого электрона и расстояние, с которого происходит этот захват. В нашей теории Из-за ортогональности собственных функций кулосоответствие этих величин определяет все свойства новской задачи Mp,(q = 0) =0. Это свойство легко решения уравнений, в каскадном методе соотношения нарушить при приближенном вычислении матричного между характерной энергией электрона и расстоянием элемента, что даст неверную оценку его величины. Исмежду электроном и примесью нет. По нашему мнению, пользуем точное равенство, в котором указанное выше отсутствие такого соотношения игнорирует главную свойство матричного элемента учтено, особенность физики процессов ионизации и захвата в поле заряженной примеси.

qMp,(q) = iqM(1) (q)/m(p + n + ), p, 2m 4. Квантовая теория процессов захвата и ионизации M(1) (q) = dr(r)eiqrp (r). (25) p, В том случае, когда в критерии (23) неравенства Матричный элемент M(1) (q) можно вычислять приблиp, меняются на противоположные, кинетические уравнения женно. Для больших энергий мы заменяем кулоновскую должны быть основаны на квантово-механической моде функцию экспонентой p (r) exp(-ipr/ ), что значили состояния электрона в поле кулоновского центра. Это тельно упрощает выражение для матричного элемента.

модель квантовых состояний атома водорода [6]. СвоДля вычисления суммы в (24) следует использовать бодные электроны принадлежат непрерывному спектру, собственные функции кулоновской задачи в тех коордиимпульс p является квантовым числом, характеризуюнатах, в которых можно найти решение этой задачи [6].

щим кулоновскую волновую функцию и энергию для В [1] ее вычислили, используя сферические координаты, непрерывного спектра p = p2/2m. Захваченные элекно проще использовать параболические координаты:

троны описываются волновыми функциями для состояний дискретного спектра с отицательными энергиями (qp)264n5an = me4/2 n2, где n Ч главное квантовое число.

B |Mp,(q)|2 =.

qВ уравнениях (4), (5) в операторах столкновений должm2(p + n + )2[1 +( p - q)2n2a2 ]B,(n) 2m ны быть учтены вероятности переходов между квантово(26) механическими состояниями вследствие взаимодействия Здесь aB = /me2 Ч боровский радиус волновых функэлектронов с фононами.

ций в поле примеси. Проведем сначала интегрирование Для состояний непрерывного спектра кулоновской задачи квазиклассическое описание соответствует ма- по угловой переменной, а затем, пользуясь густотой лым импульсам, что видно из критерия (22), а кванто- дискретного спектра, интегрирование по переменной n.

вые условия отвечают большим импульсам. При этих Все это позволяет преобразовать J1,2 к виду, анаимпульсах кулоновские волновые функции сводятся к логичному (8). При этом мы обозначили E = p для Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 216 В.Д. Каган свободных электронов и E = n для связанных, В заключение необходимо отметить, что здесь рас смотрен наиболее простой случай кинетики переходов (1) (2) J1,2 f (E), f (E) между свободными и связанными состояниями электро на в полупроводнике. Усовершенствование кинетической 2 (1) = dE1W1(E, E1) f (E1 - E)e-E /T - f (E), теории позволяет рассмотреть более сложные случаи, а r (E) E также влияние внешних полей на процессы ионизации и захвата.

128nime6m2sW1(E, E1) = 3l Автор выражает благодарность С.В. Ганцевичу и М.И. Мурадову за многократные обсуждения работы.

E[(E1 + 2ms2)2 + 24ms2E], E1(1 - e-E /T )(E1 + 2ms2)2[(E1 + 2ms2)2 - 8ms2E] Список литературы = dE1W1(E, E1). (27) r (E) E [1] В.Н. Абакумов, В.И. Перель, И.Н. Яссиевич. Безызлучательная рекомбинация в полупроводниках. Изд-во ПИЯФ, Отметим, что так же преобразуется член J2,1.

СПб (1997). 375 с.

Как видно, в квантовом случае вероятность перехода [2] G.H. Wannier. Phys. Rev. 91, 2, 207 (1953).

между свободными и связанными состояниями отличает[3] Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. Физическая кинетика.

ся от классического случая. Но главная функциональная Наука, М. (1979). 525 с.

зависимость от энергии у них совпадает, поэтому ока[4] А.И. Ансельм. Введение в теорию полупроводников.

зывается, что главная особенность процесса захвата Ч ГИФМЛ, М.ЦЛ. (1962). 418 с.

образование области сильного взаимодействия Ч в кван[5] M. Lax. Phys. Rev. 119, 3, 1502 (1960).

товом случае проявляется так же, как в классическом.

[6] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. Наука, М.

Оценим величину kr при высоких температурах и при (1974). 752 с.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам