Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. 1 Метод расчета времени переходного процесса многоступенчатой охлаждающей термобатареи й Ю.И. Равич, А.Н. Гордиенко Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 195251 Санкт-Петербург, Россия (Получена 18 апреля 2006 г. Принята к печати 25 мая 2006 г.) Производится расчет времени выхода каскадной охлаждающей термобатареи на стационарный режим.

Использованный метод не требует решения уравнений в частных производных для ветвей полупроводниковых элементов. Время переходного процесса двухступенчатой батареи получается в аналитической форме как решение квадратного уравнения, коэффициенты которого определяются термоэлектрическими параметрами полупроводников, теплоемкостями материалов батареи и размерами различных частей устройства. Для батареи с произвольным числом ступеней N расчет сводится к стандартной задаче вычисления собственных значений двух симметричных матриц N-го порядка. Полученные расчетные значения для конкретных двухступенчатых батарей находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными.

PACS: 07.20.Dt, 72.20Pa, 85.80.Fi 1. Введение тельно мал, так что зависимость температуры холодного контакта от времени носит монотонный характер. Этому Расчет переходных процессов при включении термоусловию удовлетворяют оптимальные токи в режимах элемента Пельтье обычно производится операционным наибольших холодопроизводительности и холодильного методом, или методом преобразования Лапласа [1Ц5].

коэффициента.

При использовании операционного метода зависимость В настоящей работе метод сосредоточенных теплоемтемпературы холодного рабочего контакта от времени костей применяется к каскадной термобатарее, причем представляется в виде разложения по убывающим экс0.4 теплоемкости полупроводниковых ветвей в каждой понентам. Время выхода термоэлемента на стационарступени прибавляется к теплоемкости более холодного ный режим в основном определяется наибольшей из контакта, а остальные 0.6 теплоемкости полупроводнивременных констант, входящих в показатели экспонент.

ков Ч к противоположному контакту. Использование При попытках применения операционного метода этого расчетного метода приводит к системе обыкновенк каскадной двухступенчатой термобатарее получаютных линейных дифференциальных уравнений, содержася громоздкие выражения, неудобные в практических щих производные только по времени t и описывающих расчетах [6,7]. Расчетов переходных процессов в мнотепловой баланс на рабочем и промежуточных конгоступенчатых батареях с числом ступеней более тактах. Решение системы для двухступенчатой батареи операционным методом не производилось. В случае дает квадратичное уравнение для времени переходного многоступенчатых батарей приходится численно решать процесса, и, таким образом, выражение для констануравнения в частных производных для распределения ты представлено в аналитическом виде. В случае, температуры по полупроводниковым ветвям, сшивая когда число ступеней больше 2, задачу вычисления решения на контактах различных ступеней [8].

удается свести к определению собственных значений Для отдельного термоэлемента в [9,10] предложен двух симметричных матриц.

простой приближенный метод расчета времени выхода на стационарный режим. Суть этого метода состоит 2. Постановка задачи в том, что теплоемкости различных частей элемента рассматриваются как сосредоточенные на краях ветвей, Под временем переходного процесса, как и в при этом считалось, что рабочий контакт обладает работе [5], для определенности имеется в виду время, теплоемкостью контактной пластины и половиной тепза которое перепад температуры на термобатарее долоемкости полупроводниковых ветвей, прилегающих к стигает значения, отличающегося от стационарного st контакту. Сравнение результатов относительно точного на 5%. Выбор величины 0.05 удобен тем, что с хорошей операционного метода и приближенного метода соточностью ln(0.05) -3, и если при включении батасредоточенных теплоемкостей для термоэлемента (или реи принять момент времени t = 0, то затем перепад одноступенчатой батареи) показало [5], что точность температуры приближается к стационарному значению приближенного метода будет больше, если к рабочему по экспоненциальному закону контакту отнести не половину, а 4/2 0.4 теплоемкости полупроводникового материала ветвей. Метод при = 1 - exp(-t), (1) st меним при условии, что ток через термоэлемент относи E-mail: gorynych9@mail.ru и = 3/.

Метод расчета времени переходного процесса многоступенчатой охлаждающей термобатареи 3. Расчет времени переходного процесса в двухступенчатой батарее Применяя описанный выше метод расчета и используя введенные обозначения, можно представить уравнения теплового баланса для рабочего и промежуточного контактов в виде dT1T1I1 - K1(T2 - T1) +C1 = 0, (6) dt 2T2I2 - K2(T0 - T2) - 1T2IdT+ K1(T2 - T1) +C2 = 0. (7) Рис. 1. Схематическое изображение термобатареи. Приведены dt номера ступеней и обозначения температур теплопереходов.

Для краткости записи мы опустим не зависящие от времени члены, описывающие джоулево тепло, так как в используемом приближении они не влияют на Расположение ступеней каскадной батареи и тепловой время переходного процесса [5]. Далее для обозначения нагрузки, а также обозначения температур контактных производных используется штрих.

пластин показаны на рис. 1. Теплопоглощающие конЗаменяем (7) уравнением, полученным сложением (6) такты каждой ступени имеют тот же номер i, что и (7), и температуры Ti их разностями ( = T2 - T1), i и сами ступени, тепловыделяющие контакты Ч ин = T0 - T2):

декс i + 1 при i N - 1. Температуру тепловыделяющего контакта нижней N-й ступени считаем константой T0.

1I1T0 - (K1 + 1I1) - 1I1 - C1( + ) =0, (8) 1 2 1 Перепады температур на ступенях батареи обозначаем = Ti+1 - Ti при i N - 1 и = T0 - TN при i N 2I2T0 - (K2 + 2I2) - 1I1 i = N, электрические токи Ii, число термоэлементов в i-й ступени ni, длины полупроводниковых ветвей li, - C1 - (C1 + C2) = 0. (9) 1 площади сечения ветвей n- и p-типа проводимости соответственно sni и s, удельные теплопроводности ni Решения (8) и (9) ищем в виде pi и pi, коэффициенты термоэдс ni и pi, удельные теплоемкости cni и c, плотности полупроводников ni i = st Ai - Bi exp(-1t) - Di exp(-2t), i = 1, 2.

pi (10) и pi. Полные теплоемкости, теплопроводности и терКонстанты и Ai, определяемые путем расчета моэдс полупроводниковых ветвей в i-й ступени равны st термобатареи в стационарном режиме, считаются изсоответственно вестными, A1 + A2 = 1. Подставляя (10) в уравнения (8) C(0) = ni(cninisni + c pi s )li, (2) i pi pi и (9), получаем линейные алгебраические уравнения для Bi и Di и характеристическое квадратное уравнение, Ki = ni(nisni + pi s )/li, (3) pi два корня которого дают константы 1 и 2:

i = ni |ni | + pi. (4) C1C22 - (C1 + C2)(K1 + 1I1) +C1(K2 + 2I2) Наконец, приписываем теплопоглощающим контактам, как описано выше, полные теплоемкости - 2C11I1 +(K1 + 1I1)(K2 + 2I2) - (1I1)2 = 0.

C1 = c11S1L1 + 0.4C(0) + C0, (11) Вводя обозначения Ci = ciiSiLi + 0.4C(0) + 0.6C(0) (i 2), (5) i i-Ki + iIi C1 (K1 - 1I1) (1I1)где ci Ч удельные теплоемкости контактных пластин, i =, =, M =, i Ч их плотности, Si и Li Ч их площади и толщины, Ci C2 (K1 + 1I1) C1CC0 Ч теплоемкость охлаждаемого достаточно малого (12) объекта.

получаем решения уравнения (11) в виде Далее предполагается, что перечисленные выше параметры материалов, включая термоэдс i, не зави- 1,2 = 1(1 + ) +сят от температуры. Коэффициенты Пельтье при этом пропорциональны температурам контактов и через них 1/зависят от времени. Благодаря этой зависимости эффект 1(1 + ) +2 - 12 + M. (13) Пельтье, пропорциональный току, влияет на время переходного процесса.

8 Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. 114 Ю.И. Равич, А.Н. Гордиенко Две константы 1 и 2 определяют времена переход- Таблица 1. Параметры двухступенчатых термоэлектрических модулей ных процессов в двух ступенях по отдельности, они имеют один порядок величины. Константа зависит Площадь Толщина в основном от отношения размеров ступеней, <1.

Номер Длина Сечение Число керамичес- керамичесКвадратичная по току величина M также значительно модуля ветвей, ветвей, ветвей кой плас-, кой пласменьше единицы. Однако это не значит, что величии ступени мм ммтины, мм2 тины, мм нами и M можно пренебречь в расчете, так как формула (13) содержит относительно малые разности 1.1 12 3.0 1.9 1.9 8 9 больших величин.

1.2 34 3.0 1.9 1.9 15 15 2.1 12 3.4 1 1 5 5 Произведенные далее численные расчеты показывают, 2.2 38 3.8 1 1 8 11 что 2 заметно меньше 1. Поскольку эти константы входят в показатели экспонент, искомая постоянная определяется меньшим из параметров 1 и 2, Таблица 2. Результаты измерений и расчетов времени переходного процесса = 3/2. (14) Вычисление с учетом быстро меняющейся экспо, с Номер Ток, А, K st ненты в (10) дает уточненную формулу для :

модуля эксперимент расчет 3 + ln(1 - B) 1 5 97.6 53 =, B = B1 + B2. (15) 3 82.4 58 2.5 75.8 62 При численных расчетах, результаты которых описа2 1.1 96.4 102 ны далее, оказывается, что отличие числителя (15) от 0.77 91.2 102 мало, поэтому мы опустим детали вывода формулы (15) 0.55 80.3 110 и расчета B.

4. Численные оценки и сравнение бериллиевой керамики ck = 1 Дж/г K, k = 3.1г/см3, с экспериментальными данными что и в работе [5]; параметры меди считались равными c0 = 0.384 Дж/г K, 0 = 8.93 г/см3 [11]. Расчетные знаПереходные характеристики двухступенчатых термочения, полученные по формулам (2)-(5), (12)-(14), батарей были получены в тех же экспериментах, что приведены в табл. 2 вместе с экспериментальными. Из и одноступенчатых модулей [5]. Конструкционные пасравнения расчета с экспериментом видно, что, несмотраметры исследованных двухступенчатых модулей приря на упрощающие предположения, имеется согласие ведены в табл. 1. Полупроводниковые ветви были изрезультатов теории с экспериментальными данными с готовлены из твердых растворов n-Bi2(Te0.9Se0.1)3 и точностью (10-15)%, с которой известны параметры p-(Bi0.25Sb0.75)2Te3, теплопереходы представляли собой материалов термобатареи.

керамические пластины на основе BeO. В качестве Результаты расчета указывают на слабое увеличение охлаждаемого объекта использовался медный брусок с времени при уменьшении тока в соответствии с размерами 3 3 2 мм.экспериментом.

Максимальные токи, пропускаемые через модули в Как и в случае одноступенчатых модулей, теплоемпроцессе измерений, были близки к оптимальным в кость контактных пластин в большей степени влияет на режиме наибольшей разности температур, минимальинерционность модулей, чем теплоемкость полупроводные Ч к оптимальным в режиме наибольшего холониковых ветвей.

дильного коэффициента. Во всех случаях зависимости Параметры 1 и 2 оказались близкими друг к другу, перепада температуры от времени были монотонными, 0.2. Константы 1 и 2 различались более чем близкими к экспоненциальным. Величины токов, перев 2 раза.

падов температуры на всем модуле в стационарном Оценка поправочного члена в (15) для ряда конкретрежиме и измеренных переходных констант приведены ных термобатарей при различных токах, не превышав табл. 2.

ющих оптимальные, неизменно давала величины |B|, В расчете использовались те же параметры подостаточно малые для того, чтобы можно было считать лупроводниковых материалов c = 0.15 Дж/г K, = формулу (14) вполне пригодной для расчета. Наиболь= 7.86 г/см3, = 1.6Вт/м K, p = |n| = 195 мкВ/K и шая величина |B| была получена в случае, когда ток Такой же брусок был помещен на теплопоглощающие контакты в 1-й ступени отсутствовал, т. е. эта ступень в действиодноступенчатых модулей [5], но не учитывался в расчете времени.

тельности являлась пассивным объектом охлаждения, Учет этой тепловой нагрузки приближает расчетные значения к экспериментальным. а все устройство представляло собой одноступенчатую Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. Метод расчета времени переходного процесса многоступенчатой охлаждающей термобатареи батарею с охлаждаемым объектом, обладающим значительными размерами и теплоемкостью. В этом случае формула (15) дала величину приблизительно на 10% больше, чем (14).

5. Многоступенчатая батарея Вывод, что время переходного процесса системы определяется наименьшим решением характеристического уравнения, является достаточно общим и используется далее для расчета постоянной термобатареи с произвольным числом ступеней N.

Нумерация N ступеней каскадной батареи и обозначение температур теплопереходов были показаны на рис. 1.

Система уравнений теплового баланса для N теплопоглощающих контактов в переменных = Ti+1 - Ti, где i i = 1, 2,... (N - 1), = T0 - TN, имеет вид N N N Рис. 2. Область изменения целых чисел k, j в последних 1I1T0 - 1I1 - K1 - C1 = 0, (16) членах уравнений (18) и (20).

k 1 k k=1 k=N Вводя две симметричные матрицы с компонентами i IiT0 - i Ii - Ki - i-1Ii-1Tk i k=i kik = Kiik + mIm, (21) N m + i-1Ii-1 + Ki-1 i-k cik = Cj, (22) k=j=N получаем систему (20) в компактной форме - Ci = 0 (i = 2, 3,... N). (17) k k=i N (kik + cik ) =0. (23) Далее для сокращения записи опускаем слагаемые k k k=вида iIiT0, понимая под только их переменные i составляющие. Систему (16), (17) переписываем, склаИщем частные решения системы дифференциальных дывая каждое уравнение со всеми предыдущими, при уравнений в виде этом все N уравнений принимают одинаковую форму:

(t) =Bi exp(-t)(24) i N i-1 i N iIi + kIk + Ki + Cj = 0.

k k i k и получаем систему линейных однородных алгебраичеk=i k=1 j=1 k= j ских уравнений для Bi и характеристическое уравнение (18) степени N для собственных значений :

Первые два члена можно объединить, введя обозначеdet (kik - cik) =0. (25) ние m для минимального из чисел i и k, Искомое время переходного процесса выражается m = min (i, k). (19) через наименьшее из N решений уравнения (25):

Поскольку m определяется двумя индексами i, k, сово = 3/min. (26) купность величин m является матрицей.

Для преобразования последнего члена в (18) рассмотУравнение (25) при N = 2 переходит в (11), а при рим область изменения индексов j и k в двойной сумме, N = 1 дает полученную ранее в [5] формулу для конизображенную на рис. 2. Изменим порядок суммиростанты термоэлемента.

вания, используя индекс m, после чего система (18) Таким образом, вычисление времени выхода многоприобретает вид ступенчатой батареи на стационарный режим сводится к стандартной задаче вычислительной математики Ч N N m поиску собственных значений двух симметричных матmIm + Ki + Cj = 0. (20) k i k риц kik и cik (или одной матрицы вида (cik)-1(kik)).

k=1 k=1 j=8 Физика и техника полупроводников, 2007, том 41, вып. 116 Ю.И. Равич, А.Н. Гордиенко Список литературы [1] Л.С. Стильбанс, Н.А. Федорович. ЖТФ, 28, 489 (1958).

[2] J.E. Parrot. Sol. St. Electron., 1, 135 (1960).

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам