Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Журнал технической физики, 1998, том 68, № 4 01;10 Расчет фокусировки и аберраций пучков заряженных частиц в полярно-тороидальных анализаторах й М.И. Явор Институт аналитического приборостроения РАН, 198103 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 6 ноября 1996 г.) Предложен метод исследования пространственных и времяпролетных свойств полярно-тороидальных анализаторов заряженных частиц на основе расчета оберрационных интегралов. Эффективность метода проиллюстрирована сравнением результатов проведенных на его основе расчетов с результатами численного моделирования и экспериментальных измерений.

Полярно-тороидальные электростатические анализа- разложения торы заряженных частиц (представляющие собой торои дальные конденсаторы, в которых пучок частиц движется j (u, ) = V j(u, ) (1) в меридианальном направлении) широко применяются j=1 в системах для статического и времяпролетного анализа пучков электронов или ионов одновременно по по степеням параметра = b/r0. Для реальуглу и энергии [1Ц3] или массе [4,5]. До настоящего ных конструкций анализаторов этот параметр являвремени разработка схем новых анализаторов пучков ется малым, так что потенциал поля с высокой заряженных частиц, содержащих полярно-тороидальные точностью описывается несколькими первыми члеконденсаторы или их комбинации с другими элеменнами разложения (1), коэффициенты которых равтами [6,7], проводилась путем трудоемкого численноны го моделирования траекторий заряженных частиц [8 - 1 10] или с помощью грубых полуаналитических при0(u, ) = u, 1(u, ) = - (1 + C)(u2 - 1), 2 ближений [4,11], что затрудняло получение оптимальных решений, требующих одновременного выполнения 1 большого количества условий фокусировки при нали- 2(u, ) = (1 + C + C2)(u3 - u), 3 чии строгих геометрических ограничений. Развитый в 1 работе [12] аналитический метод расчета электроста3(u, ) = - (1 + C)(1 + C2) 4 тического поля в полярно-тороидальном конденсаторе позволяет предположить эффективный подход к иссле- (1 - C)(C + S2) (u4 - 1) дованию пространственных и времяпролетных свойств такого конденсатора на основе расчета аберрационных 1 интегралов.

+ (1 + C)(1 + C + C2) 2 В настоящей работе мы рассмотрим движение частиц в поле конденсатора, не принимая во внимание + (1 - C)(C + S2) (u2 - 1), краевых эффектов на входе и выходе из него. Расчет таких эффектов может быть проведен на основе метода 1 33 предложенного в работе [13].

4(u, ) = 12 + C + 9C2 + C60 2 Введем тороидальную систему координат [r,, ] (рис. 1), где Ч угол поворота вокруг оси симметрии + 12C4 + 4S2 - 3C2S2 - СS2 (u5 - u) системы Z; r и Ч полярные координаты в меридианальной плоскости относительно точки, находящейся 1 19 + -2 - C - 3C2 - Cна расстоянии a от оси Z (эта точка предполагается 18 2 центром кривизны электродов полярно-тороидального конденсатора в меридианальном направлении). Поверх- 2C4 - 5S2 + 4S2C2 + CS2 (u3 - u).

ности электродов полярно-тороидального конденсатора описываются уравнениями r1,2 = r0 b, где 2b Ч Здесь введены обозначения C = cos /F, S = sin /F, межэлектродный зазор. Аналитическое выражение для F = d + cos, d = a/r0. Уравнения траектоэлектростатического потенциала (r, ) между элек- рий заряженных частиц в полярно-тороидальном контродами конденсатора, на которые поданы потенциалы, денсаторе запишем в цилиндрических координатах, поравные по абсолютной величине V и противополож- скольку начальные условия для этих траекторий удобные по знаку, было получено в работе [12] в виде нее определять в линейных, а не угловых величинах.

108 М.И. Явор тороидальном конденсаторе записываются в виде 2x x x - - 1 - x = - + 1 + x x (1 + x)2 (1 + x)2 + x + y, (3) 1 + - 2x y y y - = - + 1 + x y (1 + x)2 (1 + x)2 + x + y, (4) Рис. 1. Сечение электродов полярно-тороидального конден- 1 + - сатора меридианальной плоскостью. Показана только верхняя где Ч относительное отклонение энергии произвольчасть сечения, симметричного относительно оси Z.

ной частицы от номинального значения, штрих означает производную по углу.

Уравнение для нормированного времени пролета Введем цилиндрические координаты [,, y] с осью = 2K0/(m0r0)(t - t0), где t Ч время пролета системы координат, перпендикулярной меридианальной произвольной частицей сектора с углом поворота, плоскости = 0 и проходящей через центр поляра t0 = m0r0/2K0 Ч номинальное время пролета ной кривизны поверхностей электродов в этой плососновной частицей по дуге радиуса r0 того же сектора, кости (т. е. отстоящей на расстоянии a от оси симимеет вид метрии системы). В указанной меридианальной плоскости мы имеем y = 0, = r, =, а (1 + x)2 + x 2 + y в общем виде соотношения между цилиндрическими + 1 = (1 + ), (5) 1 + - и тороидальными координатами описываются формулами где Ч относительное отклонение массы произвольной 2 частицы от номинального значения.

r = 2 sin2 + y2 +(a+cos )2 - a, После подстановки формулы (1) для распределения потенциала, переписанного в цилиндрических координатах (2), в уравнения траекторий и времени пролета (3) - sin (5) мы приходим к следующим уравнениям для членов tg =, y2 +(a+cos )2 - a первого [x1, y1, 1] и второго [x2, y2, 2] аберрационных порядков, описывающих координаты траекторий заряy женных частиц и время пролета в полярно-тороидальном tg =.

a +cos конденсаторе:

Обозначим x = ( - r0)/r0, y = y/r0 и разложим x 1 - ax x 1 - axx1 = a + a0, (6) выражения для тороидальных координат u и по степеням x и y. С точностью до членов третьего порядка y 1 - ay y 1 - ayy1 = 0, (7) эти разложения имеют вид 1 = cxx1 + c + c + c0, (8) 1 u = x + uyyy2 + uxyyxy2, x 2 - ax x 2 - axx2 = ax x x12 + axxx2 + ax xx1x 1 + axx2 + ax x 1 + ay y y12 + ayyy2 + a2, (9) 1 =+ yyy2 + xyyxy2, (2) 2 y 2 - ay y 2 - ayy2 = axyx1y1 + ay xy 1xгде uyy = cos / f, uxyy = - cos2 / f, yy = - sin / f, + ayy1 + 2x 1y 1 + ay y 1, (10) xyy = sin (d + 2cos)/f, f = d +cos.

Введем понятие основной частицы как такой, которая 2 = cx x x12 + cxxx2 + cxx1 + cxx1 + cy y yв пределе при 0 движется в конденсаторе по + cyyy2 + cxx2 + c2 + c + c2. (11) круговой траектории радиуса r0. Пусть K0 Ч кинетическая энергия этой частицы (связанная с потенциалом V Здесь коэффициенты даются выражениями соотношением V = 2K0/q), m0 Ч ее масса, q Ч заряд, которые мы назовем номинальными. Тогда точные sd ax = ay = -ax = -ay = -2, уравнения траекторий заряженных частиц в полярно2 f Журнал технической физики, 1998, том 68, № Расчет фокусировки и аберраций пучков заряженных частиц в полярно-тороидальных... 5 10 19 c 1 10 ax = c-2+2 - c3 + c2 - c + - -, cx = -2 + 2 c2 - 4c - 4, 2 6 3 6 2 f 2 f 3 1 5 1 5 a = 1 + 2 - c2 + c +, cx = 1 + 2 - c2 + c +, 3 3 6 6 1 2 2 1 27 1 1 1 7 c a0 = 2 c2 - c - + 4 - c4 + c3 - ccyy = c + 2 c3 + c2 + c - +, 3 3 3 12 40 2 2 12 3 12 4 f 4 f 31 c2 361 17 c 37 1 1 1 3 + - c - + -, cx x = cy y = + 2(c + 1), c = + 2(c + 1), 2 2 180 f 360 45 f 180 f 2 4 8 1 1 2 c 1 3 1 ay = -c + 2 - c3 - c2 - c + -, cy = - - 2(c + 1), c = - - 2(c + 1), 2 6 6 3 2 f 2 f 4 8 8 1 5 5 где c = cos / f и s = sin / f.

cx = 2 + 2 - c2 + c +, Аналогичным образом можно получить и более гро3 3 моздкие уравнения для аберраций более высоких по1 3 1 рядков. В предельном случае бесконечно узкого межc = - - 2(c + 1), c = + 2(c + 1), 2 4 2 электродного зазора конденсатора 0 уравнения 1 1 17 (6) и (7) совпадают с параксиальными уравнениями c0 = 2(c + 1) +4 - c3 + c2 + c 2 8 24 24 траекторий, полученными в работе [14] в предположении о постоянном потенциале и напряженности поля на 5 c 5 1 осевой траектории пучка частиц.

+ - +, 2 24 f 24 f Линейно независимые решения однородных линейный уравнений с левыми частями, совпадающими с левыми 71 axx = - c2 + 4c - 5 + 2 c4 - c3 + cчастями уравнений (6) и (7), можно рассчитать лишь 12 численным интегрированием. Однако после этого решения неоднородных уравнений (6) и (8)Ц(11) с нулевыми 2 c2 25 7 c 5 1 - - c + - -, 2 2 2 начальными условиями легко находятся методом вариа3 f 4 3 f 3 f ции произвольных постоянных в виде интегралов; явную 2 4 запись этих аберрационных интегралов мы не приводим ax x = ay x = 2s - c2 + c -, 3 3 по причине их громоздкости.

Общее решение задачи расчета траекторий и времени 1 2 ax x = 1 + 2 c2 - c -, пролета заряженных частиц, таким образом, сводится 3 3 к сумме комбинации решений однородных линейных 5 17 59 c уравнений, отвечающих заданным начальным условиям, ax = -c + 5 + 2 c3 - c2 + c - + + 11, 2 6 3 6 2 f 2 f и упомянутых аберрационных интегралов. Численные эксперименты показали, что даже с учетом аберра1 1 1 1 c3d 1 1 c2d ayy = c2 - c + 2 c4 + c3 + - c2 - ций третьего порядка время расчета свойств полярно2 4 2 4 f 4 4 f тороидального конденсатора на основе предложенного подхода составляет доли секунды на современном персо7 c2 11 c 1 cd 1 1 d - - c + - - +, нальном компьютере, что делает реальной эффективную 2 2 3 2 12 f 12 f 4 f 3 f 4 f оптимизацию устройств, содержащих такие конденса1 2 торы, требующую перебора большого числа вариантов ay y = -1 + 2 c2 - c -, 3 3 3 конфигураций.

Заметим, что уравнение (6) является неоднородным 1 8 a = -1 + 2 c2 - c -, даже для основной частицы с номинальной энергией 3 3 [ = 0] из-за присутствия коэффициента a0. Это означа1 2 1 c3d 5 1 c2d ет, что основная частица несколько отклоняется от круaxy = 2c2 - 3c + 2 c4 + c3 + - c2 говой оптической оси в конденсаторе. По этой причине 2 3 2 f 6 2 f точные значения коэффициентов аберраций некоторого 7 c2 10 17 c 1 cd 5 1 d фиксированного порядка определяются не только реше- - c + - - +, 2 2 3 2 ниями уравнений, соответствующих этому порядку, но и 6 f 3 6 f 2 f 3 f 2 f аберрационными интегралами более высоких порядков.

1 7 5 c В частности, параксиальные свойства конденсатора, поay = c + 2 c3 + c2 + c - +, 2 6 6 3 2 f 2 f лученные как решения уравнений (6)Ц(8), описываются неточно, если не учитываются вклады аберрационных 1 5 9 c 1 cxx = - c + 2 + 2 c3 - c2 + 3c - + +, 2 интегралов второго порядка.

2 12 4 4 f 4 f Журнал технической физики, 1998, том 68, № 110 М.И. Явор уже пояснялось выше, для достижения более высокой точности.

В табл. 1 приведено сравнение коэффициентов первого порядка матрицы перехода, рассчитаных по предложенному в работе методу с учетом вкладов аберрационных интегралов до третьего порядка включительно (колонка АИ), по приближенному методу, предложенному в работе [4] (колонка ПМ) и путем численного расчета траекторий (колонка ЧР). Результаты, представленные в Рис. 2. Взаимное расположение полярно-тороидальных кон- последних двух колонках, взяты из работы [4]; значения денсаторов в двухкаскадном анализаторе. 1 Ч1-й каскад, 2 Ч коэффициентов приведены в принятых в этой работе 2-й каскад.

безразмерных величинах, где начальная координата отнесена к радиусу оси первого каскада, а конечная координата Ч к радиусу второго каскада (поэтому, в частности, произведение линейного (x|x) и углового (|) увелиДля оценки таких погрешностей и сравнения точности чений в таблице не равно единице); угловые величины предложенного способа расчета с методами численновыражены в тангенсах углов, отклонения энергии и масго моделирования и предлагавшимися ранее приблисы Ч в единицах их номинальных значений, временная женными подходами были проведены расчеты ионнопеременная Ч в относительном отклонении времени оптических свойств двухкаскадного анализатора для испролета от номинального, умноженном на общую длину следования космической плазмы [4], геометрия которого оптической оси, отнесенную к радиусу второго каскада.

показана на рис. 2. Анализатор состоит из двух последоИз табл. 1 видно, что полученные нами результаты сущевательно расположенных полярно-тороидальных конденственно лучше согласуются с результатами численного саторов. Радиус оптической оси в первом конденсаторе расчета, чем результаты, полученные по приближенному r1 = 43 mm, во втором r2 = 60 mm, соответствующие методу, предложенному в работе [4], за исключением углы поворота равны 1 = 127.6 и 2 = 85, а растолько коэффициента (x|x), где расхождения имеют одистояния центров меридианальной кривизны электродов наковый порядок величины. Отметим, что расхождение от оси симметрии a1 = 119 mm и a2 = 100.2 mm. Угол между полученными нами результатами и результатами входа пучка частиц в систему по отношению к напрачисленного моделирования составляет порядка одного влению оси вращения составляет 0 = 73, расстояние процента, что хуже приведенной выше оценки точности от входной щели до первого каскада l1 = 3 mm, между метода аберрационных интегралов. Причина заключаетконденсаторами l2 = 11 mm, от второго каскада до плосся в том, что проведенный нами расчет не учитывал кости детектора l3 = 37.5 mm. Были проведены расчеты краевых эффектов на границах конденсаторов.

коэффициентов матрицы перехода системы от входной щели до плоскости детектора (для представления коэффициентов матриц перехода в дальнейшем приняты Таблица 1. Коэффициенты матрицы перехода двухкаскадного стандартные обозначения, использованные, например, в анализатора монографии [15]). Заметим, что для рассматриваемой схемы характерно наличие угловой фокусировки в радиАИ ПМ ЧР альном направлении (т. е. коэффициент матрицы перехо(x|x) 0.875 0.867 0.да (x|) =0, где Ч угол траектории по отношению к (|x) 1.124 1.047 1.оптической оси в радиальном направлении) иотсутствие (|) 0.819 0.827 0.пространственной дисперсии по энергии (x|) =0.

(|) -0.690 -0.656 -0.( |x) -1.246 -1.138 -1.Проверка точности предложенного алгоритма была ( |) 2.000 1.880 1.проведена путем сравнения коэффициентов первого, вто( |) 1.966 1.954 1.рого и третьего порядков матрицы перехода анализатора, полученных расчетом аберрационных интегралов и с помощью высокоточного численного интегрирования траекторий методами дифференциальной алгебры [16].

Таблица 2. Сравнение рассчитанных и измеренных коэффиОна показала, что при учете вкладов аберрационных циентов матриц перехода для различных положений плоскости интегралов до третьего порядка включительно точность наблюдения расчета коэффициентов первого и второго порядков Расчет Измерение находится в пределах 0.1%, а точность расчета коэффиI II III I II III циентов аберраций третьего порядка Ч в пределах 10%.

Значительная погрешность расчета аберраций третьего (x|x) -1.31 0.89 1.38 -1.30 0.90 1.порядка объясняется отсутствием учета аберрационных (x|) -0.78 0.00 0.34 -0.86 -0.08 0.интегралов более высоких порядков, необходимых, как (x|) 1.35 -0.04 -0.38 1.33 -0.17 -0.Журнал технической физики, 1998, том 68, № Расчет фокусировки и аберраций пучков заряженных частиц в полярно-тороидальных... В табл. 2 приведено сравнение некоторых эксперимен- [15] Вольник Г. Оптика заряженных частиц. Л.: Энергоатомиздат, 1992.

тально измеренных коэффициентов первого порядка ма[16] Berz M. // IEEE Trans. El. Devices. 1988. Vol. 35. N 11.

трицы перехода с рассчитанными по методу аберрационP. 2002Ц2009.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам