Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 8 01;03 Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки к критическим условиям реализации ее неустойчивости й А.И. Григорьев, А.Н. Жаров, С.О. Ширяева Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Яровславль, Россия e-mail: grig@uniyar.ru (Поступило в Редакцию 1 декабря 2004 г.) В асимптотических расчетах третьего порядка малости обнаружен эффект ограничения нелинейного, пропорционального квадрату амплитуды осцилляций капли, снижения критической для реализации неустойчивости капли величины собственного заряда, имеющий место, когда в спектр мод, определяющих начальную деформацию, наряду с основной модой входят моды с высокими номерами. Проанализировано влияние плотности окружающей среды на величины нелинейных поправок к критическим условиям неустойчивости.

1. Критические условия реализации неустойчиво- критические условия реализации неустойчивости капли сти изолированной капли электропроводной идеальной по отношению к собственному заряду определяются несжимаемой жидкости по отношению к собственному из требования прохождения квадрата частоты основной заряду теоретически вывел в конце девятнадцатого века моды осцилляций через нуль в область отрицательных Рэлей в виде соотношения W (Q2/4R3) 4, где значений, то и критическое значение параметра Рэлея R, Q и Ч радиус капли, ее заряд и коэффициент W = Wcr оказывается зависящим от квадрата начальной поверхностного натяжения жидкости соответственно [1]. деформации равновесной сферической формы. Область В течение двадцатого века и в начале текущего этот кри- применимости этого результата ограничивается лишь терий неоднократно экспериментально повторялся в раз- применимостью асимптотических разложений, лежащих личного вида лабораторных установках: в вертикальном в основе анализов [9Ц12], и на величину нелинейной электростатическом поле между плоскими пластинами поправки к критическому значению параметра Рэлея (т. е. в электростатическом подвесе типа использованно- накладывается только требование ее малости по сравго Милликеном в экспериментах по определению заряда нению с четверкой. Другими словами, в зависимости электрона) [2]; в неоднородном, периодически изменя- от условий проведения эксперимента (в зависимости ющемся во времени электрическом поле между элек- от амплитуды начальной деформации капли) можно тродами сложной геометрии (комбинация колец, цилин- ожидать отклонения измеряемой в эксперименте критидрических и сферических поверхностей) [3]; в комбини- ческой величины параметра Рэлея от предсказываемого рованном электрическом подвесе с электростатическим линейной теорией значения Wcr = 4 на 10-20%. В связи и периодически меняющимися электрическими полями со сказанным результаты измерений [4,6] вызывают между тремя плоскими электродами [4], в воздушном сомнения, так как и в том и в другом случае в силу осопотоке [5]; в электродинамическом подвесе на основе бенностей экспериментальных установок [4,6] амплитуда двух кольцевых электродов [6]. Эксперименты были основной моды капли была сильно возбуждена. Для выпроведены с каплями широкого диапазона размеров: яснения этого обстоятельства и было сформулировано сотни микрометров в [2,5], десятки микрометров в [3,4] и настоящее исследование, которое, однако, проводилось единицы микрометров в [6] (следует, однако, отметить, в несколько более общем виде, с учетом наличия в что физические механизмы сброса избыточного заряда реальных экспериментах внешней для капли среды, избыточной каплей диаметром в сотню микрометров и в моделируемой идеальной несжимаемой диэлектрической один микрометр качественно различны и подробно опи- жидкостью.

саны в [7,8]). Во всех случаях справедливость критерия 2. Пусть имеется сферическая капля радиуса R, имеРэлея была подтверждена. Причем наибольшая точность ющая заряд Q, идеальной несжимаемой идеально провоэкспериментов была достигнута в [4], где критерий дящей жидкости с плотностью (i), окруженная идеальРэлея был подтвержден с точностью до 4%, и в [6], где ной несжимаемой жидкостью плотности (e) с диэлекточность была около 5%.

трической проницаемостью d в условиях отсутствия C началом нелинейных исследований осцилляций и гравитации. Коэффициент межфазного поверхностного устойчивости заряженной капли [9Ц12] выяснилось, что натяжения обозначим. Движение жидкости в капле при расчетах третьего порядка малости по амплитуде и внешней среде примем потенциальным, с потенцианачальной деформации появляются квадратичные по лами скоростей (i) и (e) соответственно. Потенциал амплитуде поправки к частотам осцилляций, а поскольку электрического поля в окрестности капли обозначим.

Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки... Форму капли будем считать осесимметричной как в нелинейно-осциллирующей в диэлектрической несжиманачальный, так и во все последующие моменты вре- емой среде заряженной капли электропроводной несжимени. Уравнение границы раздела сред в безразмерных маемой жидкости [13] переменных, в которых (i) = 1, R = 1, = 1, в любой момент времени t запишется в виде r(, t) =1 + M(1)(t) Pn(cos ) n n r = 1 + (, t).

+ 2 M(2)(t) +M(3)(t) Pn(cos ); (1) n n Математическая формулировка задачи о расчете нелиn=нейных капиллярных колебаний заряженной капли имеет вид M(1)(t) =hn cos(nt + 2 bnt);

n (i) = 0; (e) = 0; = 0;

(n2 - 1)n(n + 2 - W ) n = ;

1 + n(1 + ) r 0 : (i) 0;

W Q2/4dR3 ;

r : (e) 0; 0;

0 2 1 1 h2( + 2n( - 2 )) h2 n n n n k n 1 bn = + r = 1 + (, t) : t = r(i) - (i) 2n 4(2n + 1) 2(2k + 1) k rh2 1(-)(+) 2(+)(+) 2(-)(-) k = r(e) - (e);

- Hnkkn + Hknkn + Hknkn rk 2 1 t(i) + (i) - t(e) + (e) 1(-)(+) 2(+)(+) 2(-)(-) 2 +(1 - kn) Hkknn + Hkknn + Hnkkn.

= p0 - p + pq - p ; = S(t);

Явный вид коэффициентов, входящих в выражение для 4 коэффициента bn в нелинейной поправке к частоте, приr2 sin drdd = ;

веден в Приложении А. Аналитические выражения для V коэффициентов M(2) и M(3), имеющие громоздкий вид, n n здесь не приводятся, поскольку они не представляют V = r,, |0 r 1 + ; 0 ; 0 2 ;

интереса для настоящего рассмотрения, посвященного анализу критических условий реализации неустойчиn dS = -4Q;

вости капли по отношению к собственному заряду, S связанных непосредственно с нелинейными поправками S = r,, |r = 1 + ; 0 ; 0 2 ; к частотам осцилляций.

а) Как отмечалось выше, наличие поправок к частоt = 0 : = 0P0(cos ) + hmPm(cos ); t = 0.

там капиллярных колебаний поверхности капли приm водит к изменению критических условий реализации неустойчивости m-моды по отношению к собственному В выписанных уравнениях p и p0 Чдавление во заряду капли. Известно, что при увеличении заряда внешней среде на бесконечности и постоянное давление квадрат частоты капиллярных колебаний уменьшается и в капле; pq и p Ч давление электрического поля и сил при некотором критическом значении параметра Рэлея поверхностного натяжения соответственно; n Чвектор Wcr обращается в нуль. Дальнейшее увеличение заряда нормали к поверхности капли; S Ч электрический капли ведет к переходу квадрата частоты в область потенциал поверхности капли; (e)/(i) ; Чмаотрицательных значений, т. е. к появлению мнимых чалый параметр, характеризующий амплитуду начального стот и экспоненциальному росту амплитуд капиллярвозмущения; Pm(cos ) Ч полином Лежандра порядка m;

ных колебаний поверхности капли и, как следствие, 0 Ч константа, подобранная так, чтобы объем капли в к ее неустойчивости. Критическое условие реализации начальный момент времени совпадал с объемом равнонеустойчивости n-й моды с учетом нелинейной поправки весной сферы; знак t означает частную производную по к частоте можно записать в виде переменной t; Ч множество индексов изначально возбужденных мод; hm Ч константы, учитывающие вклад (n + 2bn)2 n + 22nbn + O(4) =0. (2) m-й моды в формирование начальной формы капли, такие что hm = 1.

В этом выражении должно выполняться условие m 3. Решение сформулированной задачи методом мно- |n| |2bn|. Подставляя в (2) выражения для частогих масштабов приводит в расчетах третьего порядка ты n и для коэффициента bn, можно в принципе малости к аналитическому выражению для образующей получить весьма громоздкое выражение, связывающее Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 46 А.И. Григорьев, А.Н. Жаров, С.О. Ширяева Рис. 1. Зависимости коэффициента b2 = b2(W, ), определяющего величину нелинейной поправки к частотам основной моды, от параметра Рэлея W и безразмерной плотности внешней среды, рассчитанные для различных видов начальных деформаций, определенных суперпозицией основной моды (n = 2) и одной из более высоких мод с номером m > 2: m = 11 (a), 12 (b), 14 (c), 30 (d) при h2 = 0.75, hm = 0.25.

критическое значение параметра Рэлея Wcr со спектром плитуды начальной деформации. Однако в действительизначально возбужденных мод и их амплитудами, вы- ности знак коэффициента bn сложным образом зависит раженными через квадрат малого параметра. Однако от спектра мод, определяющих начальную деформацию, некоторые результаты можно получить и из анализа от величины безразмерной плотности окружающей сресоотношения (2). ды, параметра Рэлея W и не всегда отрицателен.

Из (2) можно заметить, что в расчетах второго б) На рис. 1, a-d приведены зависимости b2 = порядка малости по критическая величина параметра = b2(W, ) в диапазонах изменения параметров Рэлея Wcr с ростом амплитуды начальной деформации (с 0 W 3.9, 0 15. Графики рассчитаны для ростом 2) при bn < 0 будет снижаться (по сравнению различных видов начальных деформаций, определенных с полученным в линейной теории значением Wcr = 4), а суперпозицией основной моды (n = 2) и одной из более при bn > 0 Ч увеличиваться. B [13] в качестве примера высоких мод с номером m > 2, т. е. для двухмодовых анализировались различные ситуации с одномодовыми начальных деформаций равновесной сферической начальными деформациями и было показано, что bn < 0 формы капли с парциальными вкладами h2 = 0.75, везде, кроме малых окрестностей значений частот, соот- hm = 0.25. Как показывают расчеты, в ситуациях, когда ветствующих внутренним нелинейным резонансам. Тем m 11, коэффициент b2 в нелинейной поправке к самым был подтвержден вывод работ [9Ц12] о снижении частоте основной моды отрицателен. Согласно рис. 1, b, критического значения параметра Рэлея Wcr с ростомам- при m 12 на множестве значений параметров W, Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Влияние формы начальной деформации заряженной капли на нелинейные поправки... появляется область, в которой b2 0. Из рис. 1, a-d видно, что при m 12 с увеличением номера m размеры области значений параметров W,, на которой b2 0, растут. Согласно рис. 1, c, при m 14 передняя граница этой области выходит на плоскость = 0, физически соответствующую нулевой плотности окружающей среды, т. е. капле, осциллирующей в вакууме. При m 30 и = 0 и любых значениях W < 3.8 коэффициент b2 положителен (рис. 1, d), что, согласно вышесказанному, означает увеличение критического значения параметра Рэлея Wcr с ростом амплитуды осцилляций. Иными словами, в ситуации, когда начальная деформация капли определяется суперпозицией основной моды и одной из мод с номером m 30, сильно заряженная капля c W 3.8 не может претерпеть неустойчивость даже при весьма значительной (в рамках асимптотической теории) амплитуде ее нелинейных осцилляций. Из сказанного следует, что при указанной начальной деформации отклонение критического значения параметра Рэлея от четверки не может превысить пяти процентов принципиально. По-видимому, именно это обстоятельство и объясняет результаты вышеупомянутых экспериментов [4,6], в которых, вероятнее всего, имело место возбуждение основной моды в совокупности с несколькими более высокими модами.

На рис. 2 приведена зависимость величины коэффициента b2 в поправке к частоте основной моды от парциальных вкладов h2 и hm, с которыми основная мода (n = 2) и высокая мода с номером m (на рисунРис. 3. Зависимости коэффициента b2 = b2(W, ) от параке m = 20) формируют начальную деформацию капли.

метра Рэлея W и безразмерной плотности внешней среНесложно видеть, что зависимость b2 от hm гораздо ды, рассчитанные для трехмодовых начальных деформаций, более сильная, чем от h2, а знаки вкладов в величину b2 определенных суперпозицией основной моды с h2 = 0.75 и у основной моды и высокой моды различны.

парой более высоких мод с номерами m, k > 2: a Ч m = 14, k = 20, h14 = 0.15, h20 = 0.10; b Ч m = 17, k = 34, h17 = 0.1, h34 = 0.15.

На рис. 3, a, b приведены результаты расчетов величины коэффициента b2 в более сложной ситуации, когда начальная деформация капли определена суперпозицией не двух мод, а трех: основной (n = 2) и двух более высоких. Парциальный вклад основной моды h2 = 0.75 такой же, как и на рис. 1, a-d. Сумма парциальных вкладов двух более высоких мод дает величину hm + hk = 0.25, т. е. такую же, как и для одной высокой моды на рис. 1. Качественное и количественное сходство данных, приведенных на рис. 1 и рис. 3, очевидно.

Интересно отметить, что, согласно рис. 1, d и 3, b, для более общего случая нелинейных осцилляций капли Рис. 2. Зависимость величины коэффициента b2 в поправке во внешней среде с 0.1 возможность рэлеевского к частоте основной моды от парциальных вкладов h2 и hm, распада капли при начальном возбуждении в паре с с которыми основная (n = 2) и двадцатая моды (m = 20) основной модой одной или нескольких более высоких формируют начальную деформацию капли, рассчитанная при W = 1, = 0.1, = 0.3. мод с номерами m > 30 при докритических в смысле Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 48 А.И. Григорьев, А.Н. Жаров, С.О. Ширяева трация на вершинах капли достигает такой величины, что возбуждаются более высокие моды. Это приводит к дальнейшему увеличению кривизны вершин капли и возбуждению еще более высоких мод. В итоге на вершинах капли образуются эмиссионные выступы, с вершин которых начинается сброс избыточного заряда путем эмиссии весьма мелких сильно заряженных капелек.

Если же на поверхность капли с возбужденной основной модой (т. е. на слабосфероидальную поверхность) наложить более высокую моду, то гладкая поверхность сфероида покроется мелкомасштабным рельефом Ч ДморщинамиУ (рис. 4), на гребнях которых вследствие их большой кривизны увеличится поверхностная плотность электрического заряда. Это приведет к тому, что на вершинах сфероида в силу неизменности полного заряда капли его средняя концентрация уменьшится, что ухудшит условия нарастания амплитуды основной моды.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам