Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 11 01;03 Аналитический нелинейный расчет равновесной формы заряженной капли, равноускоренно движущейся в электростатическом поле й С.О. Ширяева Ярославский государственнй университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: shir@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 15 марта 2006 г.) В аналитической асимптотической процедуре получено выражение для равновесной формы заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, равноускоренно движущейся в коллинеарных электростатическом и гравитационном полях, в квадратичном приближении по амплитуде отклонения равновесной формы капли от сферической. Выяснилось, что равновесная форма капли при заряде и напряженности внешнего электрического поля, далеких от критических в смысле реализации неустойчивости по отношению к собственному и индуцированному зарядам, весьма близка к вытянутой сфероидальной форме, подверженной незначительному даже при больших значениях заряда капли и напряженности электростатического поля грушевидному искажению.

PACS: 47.55.db Введение силы тяжести g. Зададимся целью рассчитать форму равновесной поверхности капли в описанной системе Аналитические асимптотические исследования нелииз условия баланса давлений на равновесной ее понейных осцилляций заряженных капель во внешних верхности с точностью до слагаемых второго порядка силовых полях [1Ц5] сопряжены с известными трудмалости по отклонению формы капли от сфериченостями, обусловленными громоздкостью расчетов при ской. Принимая плотность жидкости, коэффициент использовании в асимптотических разложениях двух поверхностного натяжения и радиус сферической малых параметров: амплитуды нелинейных осцилляций (в отсутствие электростатического и гравитационного и величины равновесной деформации капли в силовых полей) формы капли R в качестве трех основных полях. При наличии внешних силовых полей поправки масштабов измерения физических величин, перейдем к к частотам мод, определяющим начальную деформацию безразмерным переменным, в которых = = R = 1.

равновесной в силовом поле формы капли, появля(За зарядом Q, напряженностью E0 и ускорением поются уже в расчетах второго порядка малости, но ля силы тяжести g в безразмерных переменных в обусловлены не нелинейностью системы, а отклоненижеследующем изложении оставим прежние обознанием равновесной формы капли в силовом поле от чения.) сферической [1Ц5]. Такие поправки уместно называть Очевидно, что в описанных условиях капля будет не нелинейными, хотя они и проявляются лишь в двигаться равноускоренно в вертикальном направлении.

нелинейных расчетах, а деформационными. КорректВ зависимости от соотношения величин Q, E0 и g ные расчеты истинно нелинейных поправок к частотам возможны две ситуации: сила, действующая на каплю со осцилляций, появляющихся лишь в расчетах третьего стороны электрического поля, параллельна направлению порядка малости, в этом случае необходимо проводить ускорения поля сил тяжести E g либо направлена в на основе аналитических выражений равновесных форм противоположную сторону E0 -g. Оба случая можно заряженных капель в силовых полях, выписанных с учесть, если задаться конкретным направлением вектоточностью не ниже квадратичной по амплитуде отра E0, а заряды капли брать как положительными, так и клонения равновесной формы капли от сферической.

отрицательными.

В связи с этим актуально определение равновесных форм заряженных капель во внешних силовых поляx Примем, что напряженность электростатического пов квадратичном приближении по величине равновесной ля направлена вертикально вверх, противоположно ускодеформации.

рению поля сил тяжести E -g. В коллинеарных полях E0 и g равновесная поверхность будет обладать осевой симметрией. Обозначим ось симметрии OZ и также Постановка задачи направим ее вертикально вверх.

Рассмотрим каплю идеальной, несжимаемой идеаль- Форму равновесной поверхности капли будем искать из условия баланса давлений, действующих на свободно проводящей жидкости, несущую заряд Q, свободно двигающуюся в вакууме в коллинеарных однородном ную поверхность капли. Динамическое условие на своэлектростатическом поле напряженностью E0 и поле бодной поверхности капли в общем случае в тензорных Аналитический нелинейный расчет равновесной формы заряженной капли... обозначениях имеет вид или u 3QEp(2) - p(1) nk = p ni.

ik it +(u)u = -p(1) - z, t Здесь p Ч давление сил поверхностного натяжения, где u(r, t) Ч поле скоростей движения жидкости в ni Ч орт внешней для капли нормали, p( j) Чтензор ik капле, которое в системе координат, связанной с ценнапряжений (верхний индекс j = 1 соответствует капле тром масс капли, в состоянии равновесия тождественно j = 2 Ч внешней среде), определяемый для идеальной ( равно нулю. Интегрирование уравнения Эйлера при жидкости выражением p( j) = -p( j)ik + ikj), где p( j) Ч ik u(r, t) 0 позволяет получить выражение для распредавление в среде, получаемое из уравнения Эйлера, деления давления в капле в равновесном состоянии:

( ik Ч дельта-символ Кронекера, ikj) Ч тензор наp(1) = p - (3QE0z /4), p Ч постоянное давление пряжений внешних сил. При наличии электрического в капле в отсутствие внешних сил. Как в выписанном ( поля в качестве ikj) выступает максвелловский тензор уравнении Эйлера, так и в полученном аналитическом напряжений.

выражении для давления в капле, обращает на себя Примем, что внешняя среда имеет нулевую плотность, внимание факт отсутствия ускорения поля сил тяжеа ее диэлектрическая проницаемость равна единице.

сти g, что в реальности легко объяснимо: капля в В этом случае максвелловский тензор напряжений будет поле сил тяжести свободно падает на гравитирующий (2) иметь вид ik = ikE2/8, а первая компонента тензора центр и, следовательно, в отсутствие других силовых напряжений определится для внешней среды постоянполей находится в состоянии невесомости. При наличии ным внешним давлением p(2) = p0 = const. В вакууме же внешнего электростатического поля и заряда на p0 = 0.

капле именно они оказывают силовое воздействие как Поскольку внутри капли в используемой модели идена жидкость в объеме капли, так и на ее свободную ально проводящей жидкости электрическое поле отповерхность.

(1) сутствует, то тензор ik обращается в нулевой. Для Представим выписанные выражения для давлений и отыскания распределения поля давлений в жидкости максвелловских тензоров напряжений в капле и среде в капли следует исходить из уравнения Эйлера. Поскольку динамическое граничное условие и, спроектировав его заряженная капля ускоренно движется в гравитационном на орт нормали к поверхности, получим и электростатическом полях, для удобства проведения p - p0 + pEQ + pga = p, (1) нижеследующих математических выкладок перейдем в неинерциальную систему координат, связанную с ценгде pEQ = E2/8 Ч давление электрической силы;

тром масс капли. При этом в правую часть уравнения pga = -(3QE0z /4) Ч суммарное давление поля сил движения Ч уравнение Эйлера Ч необходимо добатяжести и силы инерции.

вить объемную силу инерции fa, равную произведению Искомое аналитическое выражение для формы равноплотности жидкости на инерциальное ускорение a, ковесной поверхности капли в сферических координатах торое в свою очередь равно по абсолютной величине, выпишем в виде разложения по полиномам Лежандра но противоположно по направлению ускорения центра масс капли в лабораторной системе отсчета. Если сила гравитации не равна силе, действующей на заряд капли r = r() =1 + f () =1 + anPn();

со стороны электростатического поля, т. е. не уравновеn=шивает ее, то центр масс капли движется с ускорением | f ()| 1; cos, (2) a = g + 3QE0/4 и, следовательно, сила инерции (в безразмерной записи) определится равенством fa = -a.

полагая, что функция f () описывает малое отклонеC учетом принятых направлений оси OZ и вектора ние формы от сферы. Последнее предположение позE0 выражение для силы инерции можно записать в воляет нам воспользоваться методом асимптотического градиентном виде разложения по малому параметру, который введем формальным образом на основе соотношения | f ()|.

3QEfa = gz - z.

Соотнести с величинами присутствующих в задаче физических параметров помогут следующие рассуждения.

Здесь и далее под Q будем понимать абсолютную величину заряда, в то время как знак заряда, а следовательно, Описание асимптотической процедуры и направление электрической силы, действующей на каплю, будет явно указываться знаками .

Заряд капли не нарушает сферичности ее равновесной Уравнение Эйлера для движения жидкости в капле формы и поэтому имеет нулевой порядок малости по запишется в виде амплитуде деформации во внешних силовых полях:

Q 0. Как отмечено выше, поле сил тяжести в своu +(u)u = -p(1) + g + fa бодно падающей на гравитирующий центр капле также t Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 38 С.О. Ширяева не оказывает силового воздействия на ее свободную Определение амплитуд нулевой поверхность и приводит к деформации формы, т. е.

и первой мод из условий постоянства g 0. Деформацию сферической формы капли вызыобъема капли и неподвижности вает внешнее электростатическое поле, в котором капля ее центра масс поляризуется, а силы взаимодействия разноименных поляризационных зарядов на противоположных вершинах Корректная постановка рассматриваемой задачи должкапли с внешним электростатическим полем направна включать в себя два дополнительных условия, явлены в противоположные стороны. Зависящая от угла ляющихся следствием принятых допущений. Во-первых, компонента давления электростатического поля на в рамкаx используемой модели несжимаемой жидкости свободную поверхность капли E0 приводит к деформанеобходимо, чтобы осцилляции поверхности капли не ции равновесной сферической формы (как и для случая сказывались на величине ее объема V. Во-вторых, в незаряженной капли) [6,7]. Следовательно, можно присистеме координат, связанной с центром масс капли, нять, что | f ()| E0, или E0 1/2. Взаимодействие деформация поверхности последней не должна привозаряда Q и электростатического поля E0 с отклонением дить к смещению центра масс. Записав эти условия в формы капли f () будет приводить к появлению добавок интегральной форме в соответствующих давлениях, имеющих величину не ниже первого порядка малости, т. е., 3/2, 2 и т. д.

r() Поэтому коэффициенты an в (2) представим в виде dV = 2 r2drd =, разложения по полуцелым степеням и, ограничивая V рассмотрение вторым порядком малости по, запишем -1 выражение для равновесной формы поверхности капли r() в виде rdV = 2 err3drd = r = r() =1 + a(1) + 3/2a(3/2) + 2a(2) Pn().

n n n V -1 n=и подставив в них разложение (3), после интегрирова(3) Верхний индекс указывает порядок малости коэффи- ния и последовательного приравнивая нулю выражений различных порядков малости, получим, что амплитуды циентов a(m). Подчеркнем, что параметр является n нулевой и первой мод определяются соотношениями формальным, введенным лишь для удобства проведения асимптотических разложений. В конечных выражениях для коэффициентов a(m) через физические параметры n a(1) = 0; a(3/2) = 0; a(2) = - a(1) ;

n 0 0 (2n + 1) задачи Q и E0 параметр следует убрать, приняв его n=равным единице.

Амплитуды a(m) в разложении (3) определятся из n a(1) = 0; a(3/2) = 0;

0 динамического граничного условия (1) в результате реализации нижеописанной процедуры.

9(n + 1) a(2) = - a(1)a(1). (5) Представим входящие в (1) давления в виде формальn 1 n+(2n + 1)(2n + 3) n=ных разложений по параметру :

Видно, что амплитуды этих мод имеют порядок малости p p(0) + 1/2 p1/2 + p(1) + 3/2 p3/2 + 2 p(2) + O(5/2);

не ниже второго.

pEQ p(0) + 1/2 p1/EQ EQ Разложение по малому параметру + p(1) + 3/2 p3/2 + 2 p(2) + O(5/2);

EQ EQ EQ аналитических выражений давлений pga p(0) + 1/2 p1/различной природы на поверхность ga ga капли + p(1) + 3/2 p3/2 + 2 p(2) + O(5/2);

ga ga ga Получим для каждого из давлений, входящих в диp p(0) + 1/2 p1/ намическое граничное условие (2), выражение в виде разложения по малому параметру (4).

+ p(1) + 3/2 p(3/2) + 2 p(2) + O(5/2). (4) Давление сил поверхностного натяжения Подставив (4) в (1), собрав вместе слагаемые одного определяется через орт нормали n к поверхности (3) по порядка малости и требуя выполнения баланса давизвестным [8] формулам лений во всех порядках малости, получим систему уравнений, позволяющую последовательно рассчитать (r - r()) r = r() : p = div n; n =.

амплитуды a(m).

n |(r - r())| Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Аналитический нелинейный расчет равновесной формы заряженной капли... После подстановки в эти формулы разложения (3) с в виде разложения типа (4) можно получить, решив учетом амплитуд (5) для компонент давления сил по- краевую задачу для электростатического потенциала :

верхностного натяжения, имеющих различный порядок = 0;

малости, получим выражения r : -1/2E0r;

p(0) = 2; p(1/2) = 0;

r = r() : = ;

S p( j) = (n - 1)(n + 2)a( j)Pn() ( j = 1; 3/2);

n 2 (n ) r=r()d = -4(Q), n=- (n - 1)(n + 2) p(2) = -2 a(1) P0() где Ч потенциал поверхности капли.

S n 2n + n=2 Подставим в сформулированную краевую задачу фор мальное разложение потенциала в ряд по полуцелым n(n + 1)(n + 2) степеням малого параметра :

- 12 a(1)a(1) P1() n n+(2n + 1)(2n + 3) n= + 1/2 + + 3/2 + 2 + O(5/2).

0 1/2 1 3/2 В нулевом порядке малости и в порядке решени+ (n - 1)(n + 2)a(2) n ями соответствующих электростатических задач будут n=потенциалы заряженной сферы и поля, индуцированного в капле заряда в окрестности незаряженной сферы, - 2 (m(m + 1) - 1)Kkmna(1)a(1) Pn(). (6) k m помещенной во внешнее однородное электростатическое k=2 m=поле соответственно В (6) Kkmn Cn0, Cn0 Ч коэффициенты Клебша - (Q) k0m0 k0m = ; (r, ) =-E0r 1 -. (8) 0 1/Гордана, отличные от нуля при значениях индексов, r rудовлетворяющих соотношениям: |k - m| n k + m, Решение краевой задачи первого порядка малости k + m + n Ч четное.

дает аналитическое выражение для потенциала элекДля записи в виде разложений (4) выражений для тростатического поля в окрестности заряженной капли, давлений pga и pEQ, входящих в баланс (1), выделим в поверхность которой отлична от сферы явном виде порядок малости величины напряженности внешнего электростатического поля E0, что удобно сделать, введя формальную замену E0 1/2E0.

(r, ) =(Q) a(1)r-(n+1)Pn(). (9) n Cуммарное давление гравитационной сиn=л ы и с и л ы и н е р ц и и на поверхности капли определяРешения задач порядков малости 3/2 и 2 уже учитыется выражением вают взаимодействие как собственного заряда капли, так и внешнего поля с отклонением формы ее равновесной 3QEpga = - r(), поверхности от сферической = E0a(1)P1() после подстановки в которое функции f (), описываю- 3/5r2 щей форму поверхности (3), получим (1 - n2)n n + + 3E0 a(1) + a(1) r-(n+1)Pn();

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам