Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 10 01;03 Нелинейный анализ равновесной формы заряженной электропроводной капли в электростатическом подвесе й С.О. Ширяева Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: shir@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 23 января 2006 г.) В аналитической асимптотической процедуре получено выражение для равновесной формы заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, подвешенной в суперпозиции коллинеарных однородного внешнего электростатического и гравитационного полей, в квадратичном приближении по малой амплитуде отклонения равновесной формы от сферической (в качестве меры которой выбран квадрат безразмерной напряженности электростатического поля). Выявлено, что форма равновесной поверхности капли с учетом влияния на нее гравитационного, электростатического полей и взаимодействия собственного заряда капли с внешним электростатическим полем в области значений заряда капли и напряженности электростатического поля, далеких от критических, весьма близка к вытянутой сфероидальной. Весь анализ проведен при использовании усовершенствованной методики расчета равновесных форм капель во внешних силовых полях.

PACS: 47.55.DВведение в последние годы этот критерий неоднократно экспериментально проверялся в различного вида левитаторах.

Исследование равновесных форм заряженных капель Во всех случаях справедливость критерия Рэлея была во внешних силовых полях представляет интерес в связи подтверждена. Причем наибольшая точность эксперис многочисленными академическими, техническими и ментов была достигнута в [14], где критерий Рэлея был технологическими приложениями (см., например, об- подтвержден с точностью до 4%, и в [9], где точность зор [1] и указанную там литературу). В связи с важно- была около 5%.

стью проблемы внимание к ней не снижается и в послед- С началом нелинейных исследований осцилляций и ние годы, используются усовершенствованные методики устойчивости заряженной капли [17Ц19] выяснилось, что расчета и учитываются новые физические факторы [2Ц4].

при расчетах третьего порядка малости по амплитуде К сожалению, все упомянутые расчеты равновесных начальной деформации появляются квадратичные по форм капель выполнены лишь в линейном приближении амплитуде поправки к частотам осцилляций, а поскольку по амплитуде отклонения от сферической формы, а критические условия реализации неустойчивости капли попытки учесть перенос электрического заряда через по отношению к собственному заряду определяются поверхность капли в [3,4] выполнены неверно, на основе из требования прохождения квадрата частоты основной ошибочно выписанного условия баланса заряда на кри- моды осцилляций через нуль в область отрицательных волинейной границе раздела фаз (см., например, [5]).

значений, то и критическое значение параметра Рэлея Отдельный интерес представляет расчет равновесных W = Wcr оказывается зависящим от квадрата начальной форм капель в левитаторах (бесконтактных подвесах) деформации равновесной сферической формы. Область различного типа: акустического [6], аэродинамическо- применимости этого результата ограничивается лишь го [7,8], электромагнитного [9,10], электростатическо- применимостью асимптотических разложений, лежащих го [11,12] и их всевозможных комбинаций [13,14]. Ши- в основе анализов [17Ц20], и на величину нелинейной рокое использование левитаторов связано с современ- поправки к критическому значению параметра Рэлея ными технологиями получения высокочистых веществ, накладывается только требование ее малости по срава также с неоднократными попытками [15] проверки нению с четвертым порядком. В аналитическом рассправедливости критерия Рэлея [16] устойчивости капли чете [15], посвященном исследованию влияния вида по отношению к собственному заряду.

начальной деформации сферической капли на величиКритические условия реализации неустойчивости изо- ну критерия Рэлея, было показано, что полученная в лированной капли электропроводной идеальной несжи- экспериментах [9,14] точность измерений критического маемой жидкости по отношению к собственному заряду значения параметра Рэлея W хорошо согласуется с теоретически вывел в конце XIX в. Рэлей в виде соот- теоретическими данными нелинейного анализа. Тем не ношения W (Q2/16 R3) 1, где R, Q и Чрадиус менее тему считать закрытой еще рано, поскольку покапли, ее заряд и коэффициент поверхностного натяже- явившиеся расчеты нелинейных осцилляций заряженных ния жидкости соответственно [16]. В течение XX в. и капель во внешних силовых полях [12,21] показали, что Нелинейный анализ равновесной формы заряженной электропроводной капли... для корректного расчета нелинейных поправок к часто- 2. Описание математической там осцилляций требуется знание равновесной формы процедуры заряженной капли в силовом поле уже с точностью не ниже квадратичной по амплитуде отклонения равно- Поскольку заряд не нарушает сферичности равновесной поверхности капли от сферической.

Напомним, весной формы капли, то Q 0. Гравитационное и что для корректности упомянутых выше нелинейных электростатическое поля g и E0 должны обеспечивать расчетов [12,21] было достаточно знания равновесной неподвижность центра масс капли вне зависимости от формы капли в линейном по амплитуде деформации при- изменения формы ее поверхности, т. е. соотношение ближении. В связи со сказанным становится актуальным g QE0 должно оставаться справедливым даже для определение равновесной формы заряженных капель во случая твердого заряженного шарика, не изменяющего внешних силовых полях в квадратичном по амплитуде формы своей поверхности. Другими словами, компонендеформации приближении. та гравитационного давления g и компонента давления электрического поля QE0 не должны сказываться на форме равновесной поверхности капли. К искажению 1. Постановка задачи равновесной сферической формы (как и в случае незаряженной капли) приводит зависящая от угла компоРассмотрим каплю несжимаемой идеально проводянента давления электростатического поля E0. Отсюда щей жидкости, несущую заряд Q и подвешенную в элекследует, что | f ()| E0, или E0 1/2, а в силу тростатическом подвесе, когда коллинеарные внешнее требования неподвижности центра масс системы полуоднородное электростатическое поле E0 и гравитацичаем g QE0 1/2. Взаимодействие гравитационного онное поле g удерживают ее в ДподвешенномУ состополя g, заряда Q и электростатического поля E0 с янии. Благодаря этому система координат, связанная с отклонением формы капли f () будет приводить к появцентром масс капли, является инерциальной. Зададимлению добавок в соответствующих давлениях, имеющих ся целью с точностью до слагаемых второго порядка величину не ниже первого порядка малости, т. е., малости по отклонению формы капли от сферической 3/2, 2 и т. д. Поэтому чтобы учесть влияние g, рассчитать форму равновесной поверхности капли в Q и E0 на равновесную форму, в отличие от [1Ц4,22], описанной системе из условия баланса давлений на ее коэффициенты an в (1) не будем считать зависящими от равновесной поверхности, корректно учитывая влияние малого параметра, но представим коэффициенты an в (1) на нее гравитационного, электростатического полей и в виде разложения по степеням :

взаимодействия собственного заряда капли с внешним электростатическим полем. Принимая плотность жидan = a(1) + 3/2a(3/2) + 2a(2) + O(5/2).

n n n кости, коэффициент поверхностного натяжения и радиус сферической (в отсутствие электростатического В этом, собственно говоря, и проявляется предлагаи гравитационного полей) формы капли R в качестве емая модификация метода расчета равновесных форм трех основных масштабов измерения физических великапель по сравнению с предыдущими работами [1Ц4,22].

чин, перейдем к безразмерным переменным, в которых Полезно отметить, что результаты расчета равновесных = = R = 1.

форм капель по старой методике [1Ц4,22], без испольПоскольку очевидно, что в коллинеарных полях E0 зования предлагаемого разложения, не согласовывались и g равновесная поверхность будет обладать осевой с результатами расчетов на основе принципа минисимметрией, обозначим ось симметрии OZ, направим мальности потенциальной энергии системы в состоянии ее параллельно E0 вертикально вверх и будем искать равновесия [22] и причина этого была неясна. Как буформу равновесной поверхности капли в сферических дет показано ниже, предлагаемая усовершенствованная координатах в наиболее общей осесимметричной форме методика дает результаты, полностью согласующиеся с в виде разложения по полиномам Лежандра рачетами на основе принципа минимальности потенциальной энергии системы в состоянии равновесия.

Ограничивая рассмотрение вторым порядком малости r = r() =1 + f () =1 + anPn();

по, запишем выражение для равновесной формы n=поверхности капли в виде | f ()| 1; cos, (1) полагая, что функция f () описывает малое отклонение r = r() =1 + a(1) + 3/2a(3/2) + 2a(2) Pn().

n n n формы от сферы. Последнее предположение позволяет n=(2) нам воспользоваться методом асимптотического разлоВерхний индекс указывает порядок малости коэффижения по малому параметру, который введем формальным образом на основе соотношения | f ()| 1. циентов a(m). Подчеркнем еще раз, что параметр n Соотнести величину с величинами присутствующих в (2), как и во всех последующих разложениях, является в задаче физических параметров помогут следующие формальным, введенным лишь для удобства проведения рассуждения. самих разложений. В конечном результате, когда будут 3 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 34 С.О. Ширяева получены выражения для коэффициентов a(m) через Используя разложение (2), приведем эти условия к виду n физические параметры задачи g, Q и E0, параметр следует убрать, приняв его равным единице, а малость различных слагаемых финальных соотношений будет a(1) + 3/2a(3/2) + 2a(2) Pn()d n n n n=выражена через амплитуды a(m).

n -На поверхности капли в состоянии равновесия должно выполняться условие баланса давлений + 2 a(1)a(1) Pn()Pk()d = 0;

n k pin - patm + pEQ + pg = p. (3) n=0 k=-Здесь pin Ч давление жидкости внутри равновесной кап ли, patm Ч атмосферное давление, pEQ, pg и p Чдавле2 a(1) + 3/2a(3/2) + 2a(2) Pn()Y1,m(, )d n n n ние на поверхность (2) электрических, гравитационных n=сил и сил поверхностного натяжения соответственно.

Условие (3) позволяет определить амплитуды a(m) n + 32 a(1)a(1) Pn()Pk()Y1,m(, )d = 0;

n k в разложении (2) в результате следующей процедуры:

n=0 k=представим входящие в (3) давления в виде формальных разложений по параметру m =(0, 1), pin p(0) + 1/2 p(1/2) + p(1) + 3/2 p(3/2) d Ч элемент телесного угла.

in in in in Вычислив необходимые интегралы и последовательно + 2 p(2) + O(5/2);

приравняв к нулю выражения различных порядков маin лости, получим, что амплитуды нулевой и первой мод pEQ p(0) + 1/2 p(1/2) + p(1) + 3/2 p(3/2) определяются соотношениями EQ EQ EQ EQ + 2 p(2) + O(5/2); EQ a(1) = 0; a(3/2) = 0; a(2) = - a(1) ;

0 0 0 n 2n + n=pg p(0) + 1/2 p(1/2) + p(1) + 3/2 p(3/2) g g g g + 2 p(2) + O(5/2);

g a(1) = 0; a(3/2) = 0;

0 p p(0) + 1/2 p(1/2) + p(1) + 3/2 p(3/2) 9(n + 1) a(2) = - a(1)a(1), (5) n 1 n+(2n + 1)(2n + 3) + 2 p(2) + O(5/2). (4) n=из которых следует, что амплитуды этих мод имеют Собрав вместе слагаемые одного порядка малости при порядок малости не ниже второго.

выполнении баланса давлений для каждого из порядков малости, получим систему уравнений, позволяющую последовательно рассчитать амплитуды a(m).

n 4. Разложение по малому параметру давлений на поверхность капли 3. Удовлетворение условий постоянства объема капли Получим отдельно для каждого из входящих в (3) и неподвижности ее центра масс давлений выражение в виде разложений по малому параметру типа (4).

Помимо баланса давлений (3) необходимо потребо4a. Давление сил поверхностного натяжевать выполнения условий неизменности объема капли н и я определяется через орт нормали n к (2) поверхнои неподвижности ее центра масс при деформировании сти по известным формулам поверхности (r - r()) r() r = r() : p = div n; n = ;

|(r - r())| dV = 2 r2dr d = ;

V -1 0 где r Ч сферическая координата, r() Ч функция, описывающая образующую формы равновесной поверхr() ности капли. Подставив в эти формулы разложение (2), r dV = 2 err3dr d = 0. учитывая выражения (5) для амплитуд нулевой и первой мод и ограниченность слагаемыми до 2-го порядка V -1 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. Нелинейный анализ равновесной формы заряженной электропроводной капли... малости по включительно, получим p(2) = g a(3/2) P0() - a(3/2)P1() g n n=p(0) = 2; p(1/2) = 0;

n n + - (1 - n,2) a(3/2) + a(3/2) Pn().

n-1 n+2n - 1 2n + n=p(1) = (n - 1)(n + 2)a(1)Pn();

n n=Здесь и далее n,k Ч символ Кронекера.

4c. Давление электрических сил на равно весную поверхность капли p(3/2) = (n - 1)(n + 2)a(3/2)Pn();

n n=1 r = r() : pEQ = E2 = ( )2, 8 (n - 1)(n + 2) p(2) = -2 a(1) P0() n в виде разложение типа (4) можно получить, рассмотрев 2n + n=электростатическую задачу n(n + 2)(n + 2) = 0;

- 12 a(1)a(1) P1() n n+(2n + 1)(2n + 3) n=r : -1/2E0r; r = r() : = ;

S + (n - 1)(n + 2)a(2) n 2 (n ) r=r()d = -4Q, n=- где Ч потенциал электростатического поля, а Ч - 2 m(m + 1) - 1 Kkmna(1)a(1) Pn(). (6) S k m потенциал поверхности капли.

k=2 n=Подставив в сформулированную краевую задачу фор В (6) Kkmn Cn0, Cn0 Ч коэффициенты Клеб- мальное разложение для потенциала в ряд по полуцеk0,m0 k0,mша-Гордана, отличные от нуля, только когда индек- лым степеням параметра сы удовлетворяют соотношениям |k - m| n k + m, + 1/2 + + 3/2 + 2 + O(5/2), 0 1/2 1 3/2 k + m + n Ч четное.

Чтобы получить в виде разложений (4) выражения для получим набор краевых задач для определения каждой входящих в (3) давлений гравитационного и электрииз составляющих. Очевидно, что каждая из компоm ческого полей, необходимо выделить в явном виде понент потенциала является решением уравнения Лапласа рядок малости определяющих эти давления физических величин g и E0, что удобно сделать, введя формальные = 0; m {0, 1/2, 1, 3/2, 2,...}. (8) m замены: g 1/2; E0 1/2E0.

4b. Гравитационное давление определяется Системы краевых условий для задач нулевого порядка выражением и порядка малости 1/2 очевидны pg = g r(0) +r(), r : 0;

после подстановки в которое функции r(), описывающей форму поверхности (2), несложно получить (0) r = 1 : = ; r d = -2Q;

0 S r=-p(0) = 0;

g r : -E0r;

1/ p(1/2) = g(1 - ) =g P0() - P1() ;

g (1/2) r = 1 : = ; r d = 0.

1/2 1/S p(1) = 0; r=g - Решением нулевого порядка является потенциал заp(3/2) = g a(1) P0() - a(1)P1() g n ряженной сферы, решением порядка 1/2 Ч потенциал n=в окрестности незаряженной сферы, помещенной во внешнее однородное электростатическое поле n n + - (1 - n,2) a(1) + a(1) Pn() ;

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам