Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Журнал технической физики, 1997, том 67, № 8 01;03 Капиллярные колебания и неустойчивость ТонксаЦФренкеля слоя жидкости конечной толщины й А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, В.А. Коромыслов, Д.Ф. Белоножко Ярославский государственный университет, 150000 Ярославль, Россия (Поступило в Редакцию 3 апреля 1996 г.) Выведено и проанализировано дисперсионное уравнение для спектра капиллярных движений на заряженной плоской поверхности вязкой жидкости, покрывающей твердую подложку слоем конечной толщины.

Показано, что для волн, длины которых сравнимы с толщиной слоя, важную роль начинает играть вязкое затухание на твердом дне. Спектр капиллярных движений жидкости, реализующихся в такой системе, ограничен как со стороны высоких, так и со стороны низких волновых чисел. Декременты затухания капиллярных движений жидкости с длинами, сравнимыми с толщиной слоя, значительно увеличиваются, а инкременты неустойчивости ТонксаЦФренкеля снижаются по сравнению с жидкостью бесконечной глубины.

Введение разностью потенциалов между электродами: нижним, расположенным при z = -d, на котором лежит слой жидкости, поддерживающемся при потенциале 1 = 0, В различных научных, технических и технологических и параллельным ему противоэлектродом, отстоящим задачах приходится иметь дело с неустойчивостью заряот поверхности жидкости на b, имеющим потенциал женной поверхности жидкости (неустойчивость Тонкса - 2 = V.

Френкеля (НТФ)) конечной глубины. Это задачи об Расположим декартову систему координат так, чтобы устойчивости водяного слоя на поверхности ледяного ось z была направлена вертикально в верх nz -g ядра (тающей градины) в грозовом облаке или в жид(nz Ч орт декартовой координаты z), а ось x Ч костном масс-спектрометре вакуумного типа; проблема по направлению движения плоской капиллярной волны устойчивости слоя жидкого металла в жидкометалли exp(st + ikx). Примем также, что плоскость z = 0 ческих источниках ионов, где имеет место электродиссовпадает со свободной невозмущенной поверхностью пергирование с боковой поверхности иглы эмиттера, по жидкости (s Ч комплексная частота, k Ч волновое которой подается жидкий металл (см., например, [1]).

число, t Ч время, i Ч мнимая единица). Пусть функция В связи со сказанным представляет интерес задача о (x, t) = 0 exp(st + ikx) описывает малое возмущение расчете капиллярных колебаний и электростатической равновесной плоской поверхности жидкости, вызванное неустойчивости слоя жидкости конечной толщины. Потепловым капиллярным волновым движением весьма добная задача уже рассматривалась ранее в работах [2 - малой (0 (kT /)1/2) амплитуды; k Ч постоянная 5], которые, однако, не решили проблемы: в работе [2] Больцмана; T Ч абсолютная температура; U(r, t) Ч допущена ошибка Ч потеряно одно слагаемое в дисполе скоростей движения жидкости, вызванного возмуперсионном уравнении. В работах [3Ц5] рассмотрены щением (x, t), имеющее тот же порядок малости.

ишь асимптотические случаи. В [3] проанализированы Для упрощения дальнейших рассуждений обезразмеситуации весьма большой и очень малой толщины слоя рим все величины на их характерные значения, принимая жидкости при большой и нулевой вязкости, причем асимg = = = 1, птотическое выражение дисперсионного уравнения для тонких слоев жидкости выписано некорректно. Проме-1/g 3 1/4 g1/жуточные ситуации, представляющие наибольший интеd, =, k =, 3g рес для практики, не рассмотрены. В [4] в приближении идеальной жидкости исследовано влияние расклинивающего давления на устойчивость заряженного тонкого g3 1/s =, W = g.

жидкого слоя. В [5] задача решена для тонких слоев маловязких жидкостей.

инеаризованная система уравнений гидродинамики 1. Будем решать задачу о расчете спектра капиллярных вязкой жидкости (за всеми безразмерными величинами волн на граничащей с вакуумом плоской заряженной сохраняем прежние обозначения), описывающая движеповерхности идеально проводящей жидкости конечной ние жидкости в анализируемой системе, имеет вид глубины d с плотностью, вязкостью, коэффициентом поверхностного натяжения, в поле тяжести g и в U = - P(U) +U+g, (1) электростатическом поле. Верхняя среда обладает диt электрической проницаемостью. Напряженность электрического поля E у поверхности жидкости определяется div U = 0, (2) 28 А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, В.А. Коромыслов, Д.Ф. Белоножко z = -d : U = 0, (3) Условия (4)Ц(6) на свободной поверхности жидкости примут вид (x, t) z = 0 : - + Uz = 0, (4) t z = 0 : = +, (17) z = 0 : n ( )U+ (n )U=0, (5) t z x z =0 : -P(U) +g +2n (n )U 2 2 2 + - = 0, (18) xz x2 z- PE() +P() =0, (6) 2 div Ei = 0, Ei = -i (i = 1, 2), (7) + g + 2 t z2 xz z = -d : 1 = 0, (8) - PE() +P() =0. (19) z = b : 2 = V, (9) Система уравнений (12)Ц(14) с граничными условиz = : 1 =2, (10) ями (15)Ц(19) представляет гидродинамическую часть P(U), PE(), P() Ч добавки к давлению электричезадачи в скаляризованном виде.

ских сил и давлению сил поверхностного натяжения, Чтобы удовлетворить динамическому граничному вызванные возмущением поверхности, имеющие перусловию для нормальных компонент тензора напряжевый порядок малости по [6,7]; n и Чединичные ний (19), следует воспользоваться выражением (A19) вектора нормали и касательной к поверхности жидкости;

для PE(), полученным в Приложении, и известным индекс 1 относится к жидкости, 2 Ч к внешней среде.

выражением для добавки к давлению сил поверхностного 2. Двумерность задачи (возмущение формы поверхнатяжения P, имеющим в линейном по приближении ности (x, t) и поле U(r, t) считаем независящими от вид [6], координаты y) позволяет провести скаляризацию задачи на основе теоремы Гельмгольца, вводя потенциал поля P() -.

xскоростей (r, t) и функцию тока (r, t) [6], 3. Ограниченные, периодические по x решения систе U= N1+ N2.

мы (12), (13) в декартовой системе координат будем искать в форме N1 ; N2 [, ny], (11) = C1 sh(mz) +C2 ch(mz) exp(st - ikx), (20) ny Ч орт декартовой координаты y; N1 и N2 Чвекторные дифференциальные операторы, удовлетворяющие соот- = C3 sh(qz) +C4 ch(qz) exp(st - ikx), (21) ношениям ортогональности и условиям коммутативно сти с оператором Лапласа. Эрмитовый оператор N1 выгде C1, C2, C3, C4, s Ч комплексные величины.

деляет потенциальную часть движения, а антиэрмитовый Подстановка (23), (24) в граничные условия (15)Ц(19) N2 Чвихревую.

приводит к однородной системе пяти линейных алгебраПодставляя разложение (11) в векторные уравнения ических уравнений относительно неизвестных констант (1), (2) и приняв собственные значения операторов C1, C2, C3, C4, N1 N2 и N2 N1 отличными от нуля, получим систему скалярных уравнений GC1 + 2qC3 + F0 = 0, 2kC2 + GC4 = 0, - = 0, (12) t -C1 sh(kd) +C2 ch(kd) - C3 sh(qd) +C4 ch(qd) =0, = 0, (13) kC1 ch(kd) - kC2 sh(kd) +qC3 ch(qd) - qC4 sh(qd) =0, P(U) =- - gz. (14) t C2 +C4 -s0 =0, Подставив разложение (11) в (3)Ц(6), преобразугде ем граничные условия для векторного поля скоростей G = (k2 + q2), q2 = k2 + s/, U(r, t) в граничные условия для скалярных функций k (r, t) и (r, t). Условие (3) на нижнем электроде Eпреобразуется в условия F = g + k2 - k cth (kb).

Необходимым и достаточным условием существоваz = -d : - = 0, (15) x z ния нетривиального решения полученной системы уравнений является равенство нулю ее определителя, со + = 0. (16) ставленного из коэффициентов, стоящих при искомых z x Журнал технической физики, 1997, том 67, № Капиллярные колебания и неустойчивость ТонксаЦФренкеля слоя жидкости... величинах Ci и 0, G 0 2q 0 F 0 2q 0 G - sh(kd) ch(kd) - sh(qd) ch(qd) 0 = 0.

k ch(kd) -k sh(kd) q ch(qd) -q sh(qd) 0101 -s Это условие дает дисперсионное отношение для спектра капиллярных движений жидкости в анализируемой системе 4qk2(k2 + q2) +(k2 +q2) k sh(kd) sh(qd) - q ch(kd) ch(qd) + 4k3q q sh(kd) sh(qd) - k ch(kd) ch(qd) Z(k) - q ch(qd) sh(kd) - k ch(kd) sh(qd) = 0, Z(k) k + k3 - Wk2cth(kb), EW =, E0 = -V/b. (22) В предельном случае бесконечно глубокой идеальной жидкости (22) записывается совсем просто Рис. 1. Зависимости вещественной и мнимой компонент k s2 = E0 k cth(kb) - g - kобезразмеренной частоты s капиллярного движения жидкости от величины безразмерного параметра W, характеризующего давление электрического поля на свободную поверхность жиди определяет критические условия реализации НТФ. Это кости. b = 10, k = 1, = 0.1, d = 5.

соотношение аналогично выражению, полученному в [7] для идеальной, идеально проводящей жидкости, и отличающемуся от него лишь множителем cth(kb), учитывающим конечность расстояния до верхнего электрода. Это простейшими очевидными решениями (22) являются незначительное, на первый взгляд, обстоятельство при- s = 0 (q = k) и s = -k2 (q = 0). Число нетриводит к интересным физическим последствиям, а именно виальных корней дисперсионного уравнения, в случае указывает на зависимость критических условий реализа- когда вязкость и глубина жидкого слоя Ч ненулевые ограниченные величины, составляет бесконечное счетции неустойчивости заряженной поверхности жидкости от расстояния до верхнего противоэлектрода b, которая ное множество. Первые два (в порядке возрастания их вестановится заметной при k сравнимом с b. щественных компонент) из этого множества определяют 4. Кратко проанализируем дисперсионное соотноше- потенциально-вихревые движения, подобные существуюние (22) и рассмотрим некоторые его асимптотические щим в бесконечно глубокой жидкости, а остальные Ч формы. Несложно видеть, что если (k, q) Ч решение апериодически затухающие вихревые движения, возни(22), то (k, -q) и (k, q) Ч также решения (22) в силу кающие вследствие взаимодействия течений с дном.

свойств гиперболических функций [8] (q Ч величина, Рассмотрим переход от анализируемой ситуации слоя жидкости конечной глубины с твердым плоским дном комплексно сопряженная q). Тривиальным решением (22) является q = 0. Кроме того, q = k Ч всегда к бесконечно глубокой жидкости. При d :

решение (22). Действительно, подстановка q = k в (22) cth(kd) 1, cth(qd) 1 и дисперсионное уравнение (22) можно записать в виде приводит к равенству 8q5 + 4q4 q sh2(qd) - q ch2(qd) k2 + s/ - k 4k3 k2 + s/ + 4q4 q sh2(qd) - q ch2(qd) Z(k) - (2k2 + s/)2 - = 0. (23) Z(k) - q ch(qd) sh(qd) - q ch(qd) sh(qd) = 0, Нетривиальные решения определяются множителем в которое является тождеством в силу известной связи фигурных скобках. Несложно видеть, что при предельгиперболических синуса и косинуса. Таким образом, ном переходе к бесконечно глубокому слою тривиальное Журнал технической физики, 1997, том 67, № 30 А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, В.А. Коромыслов, Д.Ф. Белоножко Рис. 2. Зависимости вещественной и мнимой компонент частоты s от волнового числа k при b = 10, = 0.4, d = 1, W = 2 (а) и левая часть рис. 2, а, представленная с большим разрешением (б).

решение s = 0 сохраняется, а бесконечное счетное Нетривиальные решения уравнения (24), определяюмножество нетривиальных решений редуцируется к че- щиеся множителем в фигурных скобках, являются корнятырем, из которых лишь два лежат на верхнем листе ми квадратного уравнения и могут быть легко выписаны двулистной римановой поверхности, на которой определено все выражение (23), и, следовательно, наблюдаемы.

s1,2 = -2k2(1 + AB) 4k42(AB - 2A - 1) - Z(k)AC, В приближении слоя жидкости малой глубины d произведение qd будем считать малым и примем в (22) A = 1/(dk sh(kd) - ch(kd), B = 1 + dk sh(kd), ch(qd) 1, sh(qd) qd, что позволяет переписать (22) в виде C = dk ch(kd) - sh(kd).

s s Таким образом, в приближении тонкого слоя сохраk2 + s/ 4k2 2k2 + + 2k2 + няются оба простейших решения и только два нетриви альных, которые в зависимости от величин физических kd sh(kd) - ch(kd) параметров могут быть и вещественными, и комплексs ными, т. е. могут определять апериодические и волновые + 4k3 k2 + d sh(kd) - k ch(kd) потенциально-вихревые движения, аналогичные движе ниям в бесконечно глубокой жидкости. Апериодически Z(k) затухающие вихревые движения, связанные с наличием - sh(kd) - kd ch(kd) = 0. (24) дна, в анализируемом приближении пропадают.

Поскольку попытка предельного перехода к бесконечНесложно видеть, что простейшие решения уравнения но тонкому слою, когда kd qd (при sh(kd) kd, (22) сохраняются.

ch(kd) 1 (d 0)), приводит к дисперсионному Если принять kd qd (т. е. если проводить анализ в окрестности решения s = 0), то в (24) следует прене- уравнению, имеющему лишь тривиальные решения, проанализируем этот случай, сохраняя малые величины до бречь членами kd sh(kd) k2d2 и положить ch(kd) =1.

третьего по порядка малости, В этом приближении получим дисперсионное уравнение, имеющее лишь простейшие решения k3d3 k2dsh(kd) kd +, ch(kd) 1 +.

q(k2 - q2)2 = 0.

6 Журнал технической физики, 1997, том 67, № Капиллярные колебания и неустойчивость ТонксаЦФренкеля слоя жидкости... зрения появление бесконечного семейства апериодически сильно затухающих движений связано с отражением движущейся жидкости от дна. Кривая 2 на рис. 1, в области Res > 0, определяет инкремент неустойчивости заряженной поверхности жидкости (инкремент НТФ).

Кривая 1 описывает затухающее волновое движение.

Кривая 3, так же как и часть кривой 2, в области Res < 0 определяет затухающие апериодические движения жидкости. Все новые по сравнению со случаем бесконечно глубокой жидкости ветви дисперсионного уравнения определяют вихревые сильно апериодически затухающие движения.

Влияние конечности толщины слоя на параметры Рис. 3. Зависимости вещественной компоненты s от волнового движений жидкости существенно сказывается, когда она числа k при b = 10, = 0.4, d = 1, W = 4.

становится сравнимой с длиной волны, как это видно из рис. 2, 3, где приведены зависимости комплексной частоты от волнового числа для докритических и закриПодставим эти разложения в (22) и запишем получатических значений электрического поля у поверхности ющееся уравнение в виде, содержащем s в явной форме, жидкости. На рис. 2, б приведена левая часть рис. 2, а в более крупном масштабе, чтобы было видно, как s s d2 s s Z(k)kdпроисходит переход от состояния устойчивых капиллярk2 + s/ + 4k2 + + = 0.

2 ных движений жидкости к НТФ, которая реализуется при W > 2. При этом часть ветви 2, касающаяВидно, что это уравнение содержит оба простейших ся при k = 1 оси абсцисс, поднимается над нею и решения и два нетривиальных, определяемых квадратдает инкремент нарастания НТФ, как это видно на ным уравнением с коэффициентами, зависящими от разрис. 3, где приведена зависимость Res = Res(k) при личных степеней малого параметра, W = 4.

d2 s Z(k) s2 + (1 + 2d2k2) + kd3 = 0. (25) 22 Оба корня уравнения (25) 1 1 s1,2 = +2k2 2 + 2k2 - Z(k)kd, (26) d2 d2 так же как и решения уравнения (24), сводящиеся к (26), описывают потенциально-вихревые движения жидкости.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам