Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 3 01;03 Эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька в вязкой жидкости й А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 150000 Ярославль, Россия e-mail: grig@uniyar.ac.ru (Поступило в Редакцию 4 мая 2005 г.) Найдено решение начальной краевой задачи о расчете формы заряженного пузырька в вязкой несжимаемой диэлектрической жидкости как функции времени в линейном приближении по амплитуде исходной деформации. Рассмотрены как центрально симметричные пульсации, так и осцилляции формы при неизменном объеме. Показано, что форма пузырька, а также поля скоростей и давлений жидкости в его окрестности как функции времени, представляются конечными суммами по номерам изначально возбужденных мод и могут быть записаны в виде двух слагаемых, первое из которых Ч сумма по корням дисперсионного соотношения, а второе представляется несобственным интегралом. В асимптотиках малой и большой вязкостей соответствующие аналитические выражения принимают простые формы, не содержащие интегралов. Выяснилось, что зависимость от вязкости жидкости величины декремента затухания поверхностных осцилляций пузырька немонотонна как для радиальных пульсаций, а различна в асимптотиках малых и больших вязкостей. Частоты радиальных пульсаций и поверхностных осцилляций пузырька при варьировании вязкости жидкости изменяются монотонно.PACS: 47.55.dd 1. Микропузырьки в жидкости играют определяющую после решения задачи о расчете нелинейных осцилляций роль в большом количестве физически и технически заряженной капли вязкой жидкости [17,18], поскольку в значимых процессов от сонолюминисценции, электро- существенной степени использует те же математические флотации и электроразряда в жидкостях до термо- подоходы и приемы.
ядерных реакций под действием высоких температур 2. Рассмотрим сферический пузырек радиуса r0, несуи давлений, развивающихся при кавитационном схло- щий электрический заряд Q, образовавшийся в жидкости пывании пузырьков [1], а потому им посвящено много с диэлектрической проницаемостью d, плотностью, исследований, проведенных как в линейной [1Ц9], так кинематической вязкостью, коэффициентом поверхи в нелинейной [10Ц16] постановках. Но, несмотря ностного натяжения. Будем считать, что в пузырьке на обилие теоретических и экспериментальных работ, находятся газ с начальным давлением p(0), подчиняюg посвященных пузырькам в жидкостях, многие аспекты щийся политропическому закону с показателем полизакономерностей реализации их осцилляций остались тропы и насыщенный пар жидкости с давлением pV.
не выясненными. Так, все выполненные к настоящему При изменении давления жидкости p(0) заряда на времени линейные анализы ограничивались выводом и пузырьке Q, давления насыщенного пара pV или какихисследованием дисперсионного уравнения поверхностлибо других характеристик жидкости или газа граница ных осцилляций или качественным анализом фазовых раздела сред будет двигаться под действием суммарного портретов радиальных пульсаций пузырька. Все проведавления денные нелинейные аналитические исследования осцилляций пузырька выполнены лишь в приближении идеальr0 3 Q2 p(r) =-p(0) + pV + p(0) + -, (1) g ной жидкости. До сих пор не решена задача о расчете r 8dr4 r нелинейных осцилляций пузырьков в вязкой жидкости где r Ч текущий радиус пузырька. При p(r) > 0 пузырек с учетом как радиальных пульсаций, происходящих с расширяется, при p(r) < 0 сжимается, если p(r) =изменением объема, так и поверхностных осцилляций находится в равновесии. Из выражения (1) видно, что формы пузырька при постоянном объеме. Имея в виду уравнение p(r) =0 может иметь различное количество необходимость выполнения подобного исследования, в корней: один, два, ни одного [4]. Стационарные состоянастоящей работе приведем первый этап решения обсуния сферического пузырька в нижеследующем изложеждаемой задачи, а именно: решение в линейном по амнии будем обозначать r = a.
плитуде исходной деформации приближении начальной Рассмотрим капиллярные осцилляции пузырька, нахокраевой задачи о расчете как радиальных пульсаций, так дящегося в одном из равновесных состояний при r = a.
и поверхностных осцилляций пузырька. Необходимость Поле скоростей течения жидкости в окрестности пув последовательном раздельном рассмотрении линейных и нелинейных осцилляций пузырька в вязкой жидкости зырька обозначим U(r,, t), поле давлений Чp(r,, t), связана с большой математической громоздкостью про- потенциалы электрического поля в окрестности пузырьблемы. Предлагаемое исследование стало возможным ка и на его поверхности обозначим (r,, t) и S(t) Эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька... соответственно. Уравнение поверхности пузырька, со- p(r,, t) =p(0) + p(1)(r,, t) +O(2);
вершающего центрально симметричные пульсации, так, (r,, t) =(0)(r, t) +(1)(r,, t) +O(2);
что его радиус есть функция времени R = R(t), и кро(0) (1) S(t) =S (t) +S (t) +O(2). (5) ме того совершающего осесимметричные осцилляции, связанные с деформацией в начальный момент времени 3a. Подставляя разложения (5) в систему уравнений (4) и приравнивая коэффициенты при нулевой сферической поверхности границы раздела на (, t), степени малого параметра, получим систему уравнений в любой последующий момент времени t запишем в нулевого порядка малости сферической системе координат r, в виде (0) (0) = 0; r + : (0) 0; (0)(a, t) =S (t);
F(r,, t) =r - a - R(t) - (, t) =0 (2) с начальным условием r = a : a2r(0)(r, t) d(cos ) =-2Q;
-t = 0 : R = h0 P0();
r0 3 1 -p(0)+ pV + p(0) + r(0)(r, t) - = 0.
g = hm Pm(); = cos(), (3) a 8d a m (6) Из (6) найдем где Ч малый параметр, характеризующий амплитуду Q Q (0) начальной деформации; Pm() Ч полином Лежандра;
(0) = ; S = ;
r a Ч множество индексов изначально возбужденных мод; h0 и hm Ч константы, учитывающие парциальный r0 3 Q2 p(a) =-p(0) + pV + p(0) + - = 0.
g вклад m-й моды в формирование начальной формы a 8da4 a пузырька, такие, что h0 + hm = O(a); индекс Д0У (7) m 3b. Собирая компоненты системы (4) после подстасоответствует центрально симметричным пульсациям.
новки в нее разложений (5), содержащие в первой Математическая формулировка задачи о расчете кастепени, получим задачу первого порядка малости пиллярных колебаний заряженного пузырька, форма которого определяется (2)Ц(3), имеет вид 1 1 ctg() tUr(1) = - r p(1) + Ur(1) + Ur(1) r2 rtU+(U)U = - grad p+ U; div U = 0; = 0;
1 ctg() 1 ctg() (1) (1) (1) (1) - rU - rU - U - U ;
r r r2 rt = 0 : U = 0; r : U < ; 0;
1 1 2 (1) (1) (1) r = a + R(t) +(, t) : = S(t); tU = - p(1) + rrU + rU - rUr(1) ;
r r r 2 1 ctg() n dS = -4Q; (1) (1) rUr(1) + Ur(1) + U + U = 0;
r r r S t = 0 : R(1) =h0P0(); (1) = hmPm(); U(1) =0;
S = r,, | : r = a + R + ; 0 ; 0 2 ;
m tF +(U )F = 0; (n )U + n ( )U = 0;
r + : U(1) < ; (1) = 0; (1) 0;
(1) Vr = a : (1) +(R(1) + (1)) r(0) = S (t);
-p + 2n (n )U + pV + pgV 1 ar(1) +(R(1)+(1))(arr(0)+2r(0)) d(cos) =0;
+ ()2 - ( n) =0, (4) 8d -1 где символ t означает частную производную по пе(1) (1) tR(1) + t(1) = Ur(1); rU + Ur(1) - U = 0;
ременной t; n и Ч единичные вектора нормали r r и касательной к поверхности пузырька; V0 и V Ч r0 3 3 -p(1) + 2rUr(1) - p(0) R(1) + r(0) g начальный и текущий объем пузырька.
a a 4d 3. Для отыскания решения выписанной нелинейной системы в рамках метода прямого разложения все r(1) +(R(1) + (1))rr(0) + R(1) aискомые величины задачи представим в виде асимптотических разложений по малому параметру + (2 + )(1) = 0;
aR(t) =R(1)(t) +O(2); (, t) =(1)(, t) +O(2);
sin. (8) sin (1) U(r,,t) =Ur(1)(r,, t)er + U (r,, t)e + O(2);
2 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 18 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова В системе (8) выполним преобразование Лапласа по Решая систему (10) с учетом (7), найдем времени A0(S) A0(S) + Ur(1)(r, S) = ; p(1)(r, S) =S ;
r2 0 r F(S) = f (t) exp(-St)dt;
Q(1) (1) 0 (r, S) =0; S (S) =- R(1)(S), (11) a(1) (1) f Ur(1),U, R(1), (1), p(1), (1), S.
где A0(S) Ч константа. Подставим (11) в последние два Изображения Лапласа разложим в ряды по полиномам граничных условия (9) и получим систему уравнений Лежандра для определения констант A0(S) и R(1)(S) + A0(S) (1) SR(1)(S) - h0 = ;
Ur(1)(r,, S) =Ur(1)(r, S)P0() + Urn (r, S)Pn();
0 an=A0(S) A0(S) S + 4 + 0R(1)(S) =0, (12) + a2 a(1) (1) U (r,, S) = Un (r, S)Pn();
где 0 Ч частота радиальных пульсаций пузырька в n=идеальной жидкости + (1) (1)(, S) = n (S) Pn(); 3 r0 3 2 Q0 = p(0) - +.
n=a2 g a a3 2da+ Из системы (12) несложно найти коэффициенты A0(S), (1) (1) (1)(r,, S) =0 (r, S)P0() + n (r, S)Pn();
R(1)(S):
n=-+ 4 R(1)(S) =h0 S + S2 + S + 0 ;
p(1)(r,, S) =p(1)(r, S)P0() + p(1)(r, S)Pn(). (9) 0 n a2 an=-2 3c. Подставляя разложения (9) в систему (8) и исA0(S) =-0a2h0 S2 + S + 0.
aпользуя свойство ортогональности полиномов Лежандра, выделим две системы уравнений, описывающие Подставляя найденные значения A0(S) и R(1)(S) в (11), соответственно радиальные и поверхностные колебания найдем пузырька.
-Для описания радиальных пульсаций пузырька получим a2 2 Ur(1)(r, S) =-0h0 S2 + S + 0 ;
r2 aSUr(1)(r, S) =- r p(1)(r, S);
0 0 - a 2 p(1)(r, S) =-Sa0h0 S2 + S + 0.
r arUr(1)(r, S) + Ur(1)(r, S) =0;
0 0 Выполняя обратное преобразование Лапласа, получим r окончательные выражения для временной зависимости (1) (1) радиуса пульсирующего пузырька и связанных с пульсаr : Ur(1)(r, S)<; rr0 (r, S)+ r0 (r, S)=0;
r циями поля скоростей течения жидкости и поля давле(1) (1) ний r0 (r, S) 0; 0 (r, S) 0;
sin(0t) R(1)(t) =h0 cos(0t) +2 exp -2 t ;
a2 0 a(1) r = a : ar0 (r, S) +R(1)(S)(arr(0) + 2r(0)) -0 = 0 - 4 ;
a P0() d() =0;
a2 sin(0t) (1) (1) Ur(1)(r, t) =-0h0 exp -2 t ;
0 (r, S)+R(1)(S) r(0) = S (S); SR(1)(S)-h0 = Ur(1);
r2 0 aa sin(0t) r0 3 p(1)(r, t) =-a0h0 cos(0t) - -p(1)(r, S) +2rUr(1)(r, S) - p(0) R(1)(S) 0 0 g r a2 a a (1) exp -2 t. (13) + r(0) r0 (r, S) +R(1)(S)rr(0) a4d 0 имеет смысл частоты радиальных пульсаций пузырь+ R(1)(S) =0. (10) ка в вязкой жидкости.
aЖурнал технической физики, 2006, том 76, вып. Эволюция формы поверхности деформированного в начальный момент времени пузырька... 3d. Для описания поверхностных осцилляций пузырь- Решение этого уравнения, удовлетворяющее условика при неизменном объеме будем иметь систему ям (17), легко выписывается:
(1) An(S) 1 S SUrn (r, S) =- r p(1)(r, S) +n(n + 1) (1) n Urn (r, S) = + Bn(S) kn(r); =, (27) rn+2 r 1 1 (1) (1) (1) где An(S), Bn(S) Ч произвольные постоянные; kn(z ) Ч rUn (r, S) + Un (r, S) - Urn (r, S) ; (14) r r2 rмодифицированная сферическая функция Бесселя третьего рода порядка n.
(1) (1) SUn (r, S) =- p(1)(r, S) + rrUn (r, S) Подставляя (27) в (25) и (26) и используя рекуррентn r ное соотношение 2 (1) (1) n + + rUn (r, S) - rUrn (r, S) ; (15) z kn(z ) =- kn(z ) - kn-1(z ) (28) r r z 2 n(n + 1) (1) (1) (1) rUrn (r, S) + Urn (r, S) - Un (r, S) =0;
найдем образы Лапласа для поправок первого порядка r r к полю скоростей течения жидкости в окрестности (16) (1) (1) (1) пузырька Un (r, S), связанное с его поверхностными r + : Urn (r, S) < ; Un (r, S) < ; (17) осцилляциями, и к полю давлений в жидкости p(1)(r, S) n (1) (1) (1) rrn (r, S) + rn (r, S) - n(n + 1)n (r, S) =0;
r 1 nAn(S) (1) (18) Un (r, S) =(1) (1) n(n + 1) rn+rn (r, S) 0; n (r, S) 0; (19) (1) (1) r = a : n (r, S) +n (S) r(0) = 0; (20) Bn(S) + nkn(r) +rkn-1(r) ; (29) (1) (1) r S n (S) - hn = Urn ; (21) 1 (1) (1) (1) An(S)S rUn (r, S) + Urn (r, S) - Un (r, S) =0; (22) p(1)(r, S) =. (30) n r r (n + 1)rn+ (1) (1) - p(1)(r, S) +2rUrn (r, S) + r(0) rn (r, S) Подставляя выражения (7), (24), (27), (29)Ц(30) в n 4d граничные условия (21)Ц(23), используя рекуррентные соотношения (28) и (1) (1) + n (S)rr(0) - (n + 2)(n - 1)n (S) =0.
an (23) z kn(z ) = kn(z ) - kn+1(z ) z Из уравнений (18)Ц(20) для образца Лапласа поправки первого порядка к электростатическому потенциалу получим систему трех уравнений относительно величин в окрестности заряженного пузырька получим (1) An(S), Bn(S), n (S):
n+Q a (1) (1) n (r, S) = n (S). (24) An(S) Bn(S) (1) a2 r S n (S) - hn = + kn(a);
an+2 a Для того чтобы найти поля скоростей и давления в окрестности пузырька из уравнений (15) и (16) выразим An(S) Bn(S) S 2n(n + 2) + 2n(n + 2) +a2 kn(r) (1) p(1)(r, S) и Un (r, S): an+2 a n (1) (1) p(1)(r, S) =-SrUn (r, S) +r rrUn (r, S) + 2a kn-1(r) = 0;
n 2 An(S) 2 1 2 (1) (1) (1) S + (n + 1)(n + 2) + nn (S) + rUn (r, S) - rUrn (r, S), (25) a2 an+r r 2 Bn(S) r (1) (1) (1) + (n + 1) (n + 2)kn(a) +akn-1(a) = 0, Un (r, S) = rUrn (r, S) + Urn (r, S). (26) a2 a n(n + 1) r где n имеет смысл частоты поверхностных осцилляций Соотношения (25) и (26) подставим в (14), после чего пузырька в идеальной жидкости:
оно примет вид Q4 (n - 1)(n + 2) n = (n + 1)(n - 1) n + 2 -.
rr + r - rr + r a3 4dar r2 r Разрешив данную систему и подставив выражения для (n - 1)(n + 2) S (1) - - Urn (r, S) =0.
коэффициентов An(S), Bn(S) в (27), (29)Ц(30), несложно r2 Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 20 А.Н. Жаров, А.И. Григорьев, И.Г. Жарова найти окончательный вид изображений Лапласа для отклонения формы поверхности пузырька от равновесной сферической и для поправок первого порядка малости к полю скоростей течения жидкости в окрестности пузырька и давлений в ней:
hn (1) n (S) = S + 2(n + 2)(2n + 1) Dn(S) a - 4n(n + 2)2 n n ;
a3 S kn-1(a) n ;
kn(a) Рис. 1. Контур интегрирования.
n+ a nhn (1) Urn (r, S) =- 1 + 2n(n + 2) n a2S r Dn(S) nhn a kn(r) вычислении интегралов вдоль прямых CD и EF их + 2n(n + 2) n ;
уравнение запишем в виде S = - и учтем что на a2S Dn(S) r kn(a) верхнем берегу CD Ч S = i, а на нижнем EF Ч - S = -i. Стягивая CD и EF к отрицательной части n 1 + n ;
a вещественной оси, окончательно найдем искомые временные зависимости:
n+1 a (1) Un (r, S) = 1 + 2n(n + 2) n + n + 1 a2S r (1) n (t) = a1(S(m)) exp(S(m)t) + a2( ) exp(- t)d ;
n n a kn(r) nhn m=- 2(n + 2) n n + r n ;
a2S r kn(a) Dn(S) n+2 a 1 kn(r) n+(1) aS nhn a Urn (r, t) = a1(S(m)) + b1(S(m)) n n p(1)(r, S)=- 1+2n(n + 2) n ;
n r r kn(a) n + 1 a2S Dn(S) r m=(31) + S 2 n+a Dn(S) S2 + n + 2(n + 2)(2n + 1) exp(S(m)t) + a2( ) a2 n r - 4n(n + 2)2 S n n.
ab(+)( ) b(-)( ) 2 (+) 2 (-) + n (r) - n (r) exp(- t) d ;
Pages: | 1 | 2 | Книги по разным темам