Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 27 |

6. Наконец, с интенсивностью mk(t) страховое время некоторых рисков заканчивается, и они покидают компанию независимо от поведения других рисков.

Рассмотрим интервал времени [t,t + Dt]. Обозначим через S(t + Dt) величину капитала в момент t + Dt. Имеем основное соотношение S(t + Dt)= S(t)+ r(t)S(t)Dt + DS(t), где в силу предположений 1Ц6 имеем x(t), с вероятностью (l(t)+ b(t)k(t))Dt + o(Dt), - h(t), с вероятностью m1k(t)Dt + o(Dt), DS(t)= z(t), с вероятностью m2k(t)Dt + o(Dt), 0, с вероятностью 1- (l + b(t)k(t)+ m1k(t)+ m2k(t))Dt + o(Dt).

После применения методики, изложенной в [2], получим выражение для функции капитала компании при М{S(t0 )} St t t М{S(t)}= S1(t)= S0 exp r(u)du + l(z)a (z)exp r(u)dudz + t t0 z t t + (1) Q(z)expr(u)du k1(z)dz, t0 z где Q(z)= a1(z)b(z)- b1(z)m1 + c1(z)m2, k1(z) - среднее число рисков, застраховавшихся в компании. Формула для k1(z) найдена в [2], имеет вид t k (t)= l(t - v)exp{- mv + (x)dx}dv. (2) b 0 t-v Обозначим M{S (t)}= S2(t). Запишем выражение для дисперсии капитала DS(t) = S2(t)- S12(t), тогда dDS (t) dS2(t) = - 2S1(t)dS (t). (3) dt dt dt Запишем выражение для производной второго момента капитала, учитывая, что 2 2 S (t + Dt)= S (t)+ (DS(t)) + 2S (t)r(t)Dt + 2S(t)DS(t)+ 2r(t) S(t)DS(t)+ o(Dt).

Таким образом, dS2(t) = 2r(t)S2(t)+ l(t)a2(t)+ (a2(t)b(t)+ b2(t)m1 + c2(t)m2)k1(t)+ dt t t + 2l(t)a1(t) (l(z)a (z)+ Q(z)k1(z))expr(u)dudz + t0 tz t t t t ~ + 2Q(t)k1(t) l(z)a (z)expr(u)dudz + 2Q(t)Q(z)C(t, z)expr(u)dudz, t0 z t0 z ~ где Q(t), k1(t)определены выше, а C(t, z)= M{k(t)k(z)} - корреляционная функция числа рисков компании. Запишем дифференциальное уравнение для дисперсии капитала в соответствии с (3) dDS (t) = 2DS (t)r(t)+ l(t)a2(t)+ [a2(t)b(t)+ b2(t)m1 + c2(t)m2]k1(t)+ dt t t + Q(t) (4) k Q(z)C (t, z)expr(u)dudz, t0 z max(t1, t2 ) где Ck(t1,t2) = Dk(min(t1, t2))exp- m t2 - t1 + b(x)dx - ковариационная min(t1, t2 ) функция числа рисков, а Dk (t) - дисперсия k(t), найденная в [2]. Решение уравнения (4) при t = 0, когда капитал компании считается точно известным и DS (0)= 0, определяет дисперсию капитала компании.

Найдем выражение для ковариации капитала и числа рисков в один и тот же момент времени CSk(t) = M{S(t)k(t)}- S1(t)k1(t). Имеем t t t t ~ M{S(t)k(t)}= k1(t)l (z)exp a r(u)dudz + Q(z)expr(u)duС(t, z)dz.

t0 z t0 z Так как выражения для S1(t) и k1(t) найдены ранее, то после несложных преобразований можем записать формулу для искомой функции t t CSk(t)= (5) k Q(z)expr(u)duC (t, z)dz.

t0 z Таким образом, процесс k(t) является управляющим процессом для капитала компании, так как в силу выбранной модели все изменения капитала связаны с застрахованными рисками, их приходом и уходом.

итература 1. Глухова Е. В., Змеев О. А., Лившиц К. И. Математические модели страхования. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - 180 с.

2. Даммер Д. Д. Математическая модель страховой компании с нестационарным потоком входящих рисков и с учётом перестраховки // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: Материалы международной конференции. - Минск, 2010. - С. 80Ц85.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы (2009Ц2010 годы), проект № 4761 Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ MMP(2) / M / МЕТОДОМ МОМЕНТОВ М. Д. Жалкеева, И. А. Ивановская Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске Рассмотрим торговую компанию, в которую поступает поток некоторых товаров на реализацию. Будем считать, что товары двух типов, а входящий поток - MMP.

Реализация товаров занимает некоторое время, которое является случайной величиной. Будем считать, что время реализации экспоненциальное.

Для товаров первого типа - F(x) =1- e-m x, второго типа - F(x) =1- e-m x.

Для расчета затрат, связанных с хранением товаров, необходимо знать характеристики двумерного случайного процесса n1(t),n2(t), харак{ } теризующего число товаров каждого типа, находящихся на реализации.

Для этого в дальнейшем рассмотрим систему массового обслуживания MMP(2) / M /.

Рассмотрим систему массового обслуживания с двумя блоками обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число обслуживающих приборов. На вход системы поступает MMP(2) - поток сдвоенных заявок, заданный матрицей инфинитезимальных характеристик Q и набором неотрицательных чисел lk. В момент наступления событий в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки.

mmММР(2) mmРис. 1. СМО с параллельным обслуживанием кратных заявок Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая во второй блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами m1 и m2 соответственно (рис. 1).

Введем обозначения P(k,n1,n2,t) = P k(t) = k,n1(t) = n1,n2(t) = n2, { } где k(t) - состояние управляющей цепи Маркова, n1(t),n2(t) - число заявок в каждом блоке обслуживания.

Тогда для распределения вероятностей P(k,n1,n2,t) запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

P(k,n1,n2,t) = (-lk - n1m1 - n2m2 + qkk )P(k,n1,n2,t) + t +lk P(k,n1 -1,n2 -1,t) + (n1 +1)m1P(k,n1 +1,n2,t) + +(n2 +1)m2P(k,n1,n2 +1,t) + (1) P(n,n,n2,t)qnk.

nk Для дальнейшего исследования рассмотрим характеристические функции следующего вида:

jun1 jwnH (k,u, w,t) = e e P(k, n1, n2,t).

n1=0 n2 =Учитывая, что H (k,u, w,t) jun1 jwn= j n e e P(k,n1,n2,t), u n1=0 n2 = H (k,u, w,t) jun1 jwn= j n e e P(k,n1,n2,t).

w n1=0 n2 =Из (1) получаем уравнения для H (k,u,w,t).

.

.

..

.

H (k,u,w,t) H (k,u,w,t) H (k,u,w,t) = -lk H (k,u,w,t) + m1 j + m2 j + t u w H (k,u,w,t) j(u+w) + lke H (k,u,w,t) - m1 je- ju u H (k,u, w,t) - m2 je- jw + (n,u,w,t)qnk. (2) H w n Для дальнейшего исследования введем обозначения:

H (u,wt) = H (1,u,wt),H (2,u,wt),...,,,, { } H (u,wt) H (1,u,wt) H (2,u,wt),,, =,,..., t t t Q - матрица инфинитезимальных характеристик qnk, L - диагональная матрица с элементами lk по главной диагонали.

Начальное условие H (k,u, w,0) = R(k) = H (k,0,0,t).

Тогда систему характеристических уравнений для функций H (u, w,t), запишем в матричном виде:

H (u, w,t) H (u, w,t) H (u, w,t) = m1 j(1- e- ju ) + m2 j(1- e- jw ) + t u w j(w+u) + H (u,w,t)[L(e -1) + Q]. (3) Далее рассмотрим стационарное решение H (u, w,t) H (u, w,t) - m1 j(1- e- ju ) + m2 j(1 - e- jw ) = u w j(w+u) = H (u, w,t)[L(e -1) + Q].

Следовательно, H (u,w,t) H (u,w,t) m1 j(e- ju -1) + m2 j(e- jw -1) = u w j(w+u) = H (u, w,t)[L(e -1) + Q]. (4) Затем методом моментов найдем моменты первого порядка. Учитывая, что H (k,u, w,t) H (k,u, w,t) = jm1(k), = jm2 (k), w=0 w=u w u=0 u=где (k) = m2, (k) = m1, m1,m2 - среднее число заявок в блоке.

m2 mk k Продифференцируем (4) по u H (u, w,t) 2H (u, w,t) m1 j(- j)e- ju + m1 j(e- ju -1) = u uH (u, w,t) j (w+u) j(w+u) = [L(e -1) + Q] + H (u, w,t)[Le j]. (5) u Подставляем u = w = 0.

Учитывая, что H (u,w,t) = [R(1),...]= R, -m1 = [m1I - Q] RL.

Или так как m E = m, QE = 0, RE = 1, получаем, что для первого 1 блока обслуживания момент первого порядка имеет вид m m = RLE, m = RLE.

1 1 m Аналогично для второго блока обслуживания момент первого порядка m2 = RLE.

mПроведя аналогичные выкладки, запишем моменты второго порядка для двух блоков обслуживания.

-m12 = RL{I + [m1I - Q] (m1I - 2L)}(2m1I + Q)-1 E, -m2 = RL{I + [m2I - Q] (m2I - 2L)}(2m2I + Q)-1 E.

итература 1. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 408 с.

2. Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Теория массового обслуживания. - Томск:

Изд-во НТЛ, 2005. - 228 с.

3. Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.

4. Назаров А.А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы (2009Ц2010 годы), проект № 4761 Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи.

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ГОРЕНИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ И. Ю. Зыков, А. П. Боровикова, Е. А. Гришаева Кемеровский государственный университет Моделирование распространения волны горения энергетических материалов является важным этапом идентификации механизма взрывного разложения образца. Основные сложности связаны с необходимостью решения системы жестких дифференциальных уравнений. Целью данной работы является создание пакета прикладных программ для моделирования распространения волны горения энергетических материалов, создания методики расчета пространственно-временных параметров стационарной волны реакции горения и ее апробация на примере азида серебра.

Модель распространения волны горения в общем случае [1] имеет вид E dT d T Q kT = a + k0ne, (1) dx dx2 c E dn kT = -k0e, (2) dt где - коэффициент температуропроводности, с - теплоёмкость вещества, Q - тепловыделение.

Расчёт проводился в декартовой системе координат. Теплоёмкость вещества принималась постоянной и не зависящей от температуры, не рассматривались фазовые переходы, считалось, что термолизация происходит мгновенно.

Для расчёта кристалл разбивался на ячейки, в которых и проходил расчёт, и дальше результат суммировался по всем ячейкам. Размер ячейки должен быть меньше ширины зоны химической реакции, определяемой выражением [1] E - Q E RT L= k0e = 2,6 (3) ac RT при Т1, равной адиабатической температуре взрыва азида серебра(~4700 К). Поэтому в расчётах использовалась ячейка размером в 1.

В качестве начальных условий было задано следующее распределение температуры и концентраций:

X ST = T0 +Tne, (4) X Sn =1- e, (5) где S=30, T =300 К, Tn=4400 К.

Для получения стационарного фронта волны горения использовалась следующая процедура: вначале проводили расчёт с начальными условиями (4), (5). Затем, когда волна достигала границы, вызванной трудностью расчёта, начало координат смещалось, и за начальные условия принимался уже рассчитанный фронт.

Стационарный фронт волны горения представлен на рис. 1.

Для расчёта скорости распространения волны горения была построена зависимость положения фронта реакции от времени при постоянной температуре (рис. 2.), где скорость фронта определилась наклоном прямой. Скорость составила 5.164103 см/с.

Рис. 1. Рассчитанные распределения концентрации (С) и температуры в волне теплового горения Рис. 2. Зависимость положения фронта (точка, где Т=3000 К) от времени (выводится одна точка из 50), расчет наклона по всем точкам Для расчёта ширины фронта реакции было построено распределение концентрации в волне реакции (рис. 3), его средний участок был аппроксимирован линейной функцией. Из неё была определена ширина волны реакции 9.6610-8 см как отрезок оси абсцисс между точками пересечения построенных прямых С = 1 и С = 0. Следует отметить, что полученное значение ширины фронта реакции близко к сделанной ранее оценке. Кроме того, оно соизмеримо с постоянной решетки азида серебра, что ставит под сомнение возможность макроскопического описания процесса.

Рис. 3. Распределение концентрации в волне реакции 1 (рассчитанное) 2 (аппроксимация среднего участка линейной функцией) Заключение. В работе разработан пакет прикладных программ. С их помощью рассчитана ширина фронта волны реакции и скорость его распространения. Предложен способ расчёта стационарного фронта волны горения.

Работа поддержана грантом РФФИ.

итература 1. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. - М.: Наука, 1987. - 502 с.

НЕМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СДВОЕННЫХ ЗАЯВОК И. А. Ивановская, С. П. Моисеева* Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске *Томский государственный университет Одним из основных принципов при проектировании современных компьютерных сетей является параллельность процессов обработки информации. Поэтому анализ математических моделей с параллельно функционирующими блоками обслуживания и общими входящими потоками имеет большое практическое значение.

В качестве математической модели процесса распараллеливания вычислений предлагается рассмотреть систему массового обслуживания с двумя блоками обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число приборов (рис. 1).

B1(x) B1(x) l B2(x) B2(x) Рис. 1. СМО с параллельным обслуживанием сдвоенных заявок На вход системы поступает простейший с параметром поток сдвоенных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки.

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая вторая - во второй блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание. Время обслуживания в каждом блоке имеет произвольную функцию распределения, одинаковую для всех приборов.

Обозначим ik (t) - число приборов, занятых в момент времени t в k -м блоке обслуживания.

Для рассматриваемой системы двумерный случайный процесс {i1(t),i2(t)} изменения во времени состояний системы не является марковским [1].

Для исследования немарковских систем массового обслуживания рассмотрим метод просеянного потока [3]. Предлагаемый метод позволяет проблему исследования немарковской системы обслуживания с неограниченным числом приборов свести к задаче анализа нестационарного марковизируемого потока.

Метод просеянного потока Пусть на вход системы с неограниченным числом приборов поступает некоторый поток заявок.

На оси времени t отметим моменты наступления событий этого потока. Выделим некоторый момент времени T. Не нарушая общности, можно считать, что T = 0. Будем полагать, что заявки входящего потока, поступившие в систему в момент времени t < T = 0, формируют события...

...

двумерного просеянного потока, с вероятностями S1(t) = 1- B1(-t), S2(t) = 1- B2(-t), а с вероятностью 1- S1(t) и 1- S2(t) не рассматриваются.

Очевидно, что заявки, не попавшие в просеянный поток, завершат обслуживание и покинут систему до момента T, в то время как все заявки просеянного потока в момент T будут находиться в системе, занимая её приборы.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |   ...   | 27 |    Книги по разным темам