Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 |

(n + 1) m (cos - cos j)j (55) Воспользовавшись неравенством (1 - cos j)/2+1/4 (1 - cos )/2+1/4 + (cos - cos j)/2+1/4 (56) и оценками (44), (45), из (55) выводим, что 21c2(, ) sin j (1) U20 (1 - cos )1/2 j (n + 1) (cos - cos j)j 21c2(, ) sin j + (1 - cos )-/2+1/4 j (n + 1) (cos - cos j)-/2+7/j 21c2(, ) 3a 1 + c2() + ( + 1). (57) 2b Аппроксимативные свойства Далее, принимая во внимание оценки (12), (44), (46), равенства (19)Ц(23), из (54) имеем 3c2(, ) 5 (1 - cos j)/2-1/(2) U20 2 + (1 - cos )-/2+3/4 sin j j 2(n + 1) m (cos - cos j)j 21c2(, ) sin j (1 - cos )1/2 j (n + 1) (cos - cos j)j 21c2(, ) 3a 1 + ( + 1), (58) 2b 6c2(, ) 2 + b (1 - cos j)/2-1/(3) U20 (1 - cos )-/2+1/4 sin j j m(n + 1) 1 + b (cos - cos j)j 12c2(, ) sin j 3c2(, ) 3a j 1 + ( + 1), (59) m(n + 1) (cos - cos j)2 b j m+n 6c2(, ) (1 - cos j)/2-1/4 (4) U20 (1-cos )-/2+1/4 sin j j (n + 1) (cos - cos j)2 kj 2 k=m 6c2(, ) 3a 3c2(, ) 3a 1 + ( + 1) (1-cos )-1/2 1 + ( + 1), m 2 4 2 (60) m+n 9c2(, ) (1 - cos j)/2-1/4 (5) U20 (1 - cos )-/2+1/4 sin j j (n + 1) cos - cos j k=m k j 9c2(, ) sin j j m cos - cos j j 9c2(, ) 1 3 3a ln m2 + ( + 1) 9c2(, )(m), m 8 4m 1 3 3a где (m) = ln m2 + ( + 1).

m 8 4m Нетрудно видеть, что ln m 2 8 3a 2 2 3a 4 3a (m) = + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1).

m 4m 5 4 5 Поэтому 4 3a (5) U20 9c2(, ) + ( + 1). (61) 5 Далее, m+n 9c2(, ) (1 - cos j)/2-1/4 (6) U20 (1-cos )-/2+1/4 sin j j 2(n + 1) (cos - cos j)2 kj 2 k=m 9c2(, ) sin j 9c2(, ) 3a j 1 + ( + 1). (62) 2m2 (cos - cos j)2 8 j 344 Ф. М. Коркмасов Собирая оценки (57)Ц(62) и сравнивая с (53), заключаем, что 8 7 3a U20 3c2(, ) + 1 + ( + 1) b 8 7 3a 12 9a + c2() + ( + 1) + + ( + 1). (63) 2b 4 5 Из (29) и (49)Ц(52), (63) выводим U2 3H1(, a, b)c2(, ), (64) где 2 3a H1(, a, b) = c1() + ( + 1) 4q1 + q2 + 4 b 8 7 3a 7 3a 12 9a + + 1 + ( + 1) + c2() + ( + 1) + + ( + 1).

b 8 4 2b 4 5 (65) Оценим величину U4. Докажем предварительно следующее Утверждение 2. Если m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm, то (1 - cos j)/2-1/sin j(1 - cos )-/2-1/4 j cos j - cos j 3a 2 + c1()( + 1) + 1 + m, (66) 3 sin j 2 32a j 1 + m(1 - cos )-1/2, (67) (cos j - cos )2 2 j (1 - cos j)/2+1/4 (2 + 1)+1/2 37a j + m-3/2. (68) (cos j - cos )2 16(3 - 2)-3/2 j Доказательство. Докажем первое неравенство. Разобьем интервал сум 1 мирования 4 = (0, - ] на три, m m промежутка: (1) = 0, arccos 1 1 1+cos 1+cos (2) = arccos 1 -, arccos, (3) = arccos, -.

m2 2 2 m Тогда (sin j 2(1 - cos j)1/2) (1 - cos j)/2-1/sin j(1 - cos )-/2-1/4 j cos j - cos j (1) 2 1 - cos j + 2 j j 1 - cos cos j - cos cos j - cos j (1) j (1) 1 2m2 2 j arccos 1 -. (69) 1 3 m1 - - 1 mj (1) m 1 Обозначим arccos 1 - =. Тогда 1 - cos = или = sin m2 m2 2m =. Отсюда Аппроксимативные свойства. (70) 2m Учитывая (70), из (69) получим (1 - cos j)/2-1/sin j(1 - cos )-/2-1/4 j m. (71) cos j - cos j (1) Для промежутка (2) имеем оценку (1 - cos j)/2-1/sin j(1 - cos )-/2-1/4 j cos j - cos j (2) sin j (1 - cos )-/2-1/4 j. (72) (1 - cos j)-/2+5/j (2) sin Так как функция g() = монотонно убывает на (0, ), ис(1-cos )-/2+5/пользуя (8), (15), получаем sin j j (1 - cos j)-/2+5/j (2) 1+cos arccos sin arccos 1 sin m d + -/2+5/(1 - cos )-/2+5/4 1 - cos arccos 1 - marccos 1- ) ( m /2-1/4 2 1/1 1 - cos arccos 1 - 1 - 1 3a m2 m + - + m-5/2 2m 2 3a c1() + m-+1/2. (73) Подставляя (73) в (72), имеем (1 - cos j)/2-1/4 3a sin j(1 - cos )-/2-1/4 j c1() + m. (74) cos j - cos j (2) Наконец, (1 - cos j)/2-1/sin j(1 - cos )-/2-1/4 j cos j - cos j (3) sin j (1 - cos )-/2-1/4 j. (75) (cos j - cos )-/2+5/j (3) sin В силу монотонного возрастания функции g() =, усло(cos -cos )-/2+5/вия (7) леммы 1 и очевидных соотношений (m ) 1 1 1 1 1 1 2 sin - sin = 2 sin - + sin sin - sin, 2m 2m m 2m 2m m m (76) 346 Ф. М. Коркмасов 1 2 1 2 sin - - sin, (77) m m 1 2 получим (sin ) m m sin j j (cos j - cos )-/2+5/j (3) m sin sin m d + -/2+5/(cos - cos )-/2+5/4 cos - - cos 1+cos m arccos /2-1/4 1 cos - - cos sin 3a m m + -/2+5/4 1 2m - + 2 sin - sin 2 2m 2m c1() + 3a m-+1/2. (78) Подставляя (78) в (75), имеем (1 - cos j)/2-1/4 32a sin j(1 - cos )-/2-1/4 j c1() + m.

cos j - cos j (3) (79) Объединяя оценки (71), (74), (79), приходим к оценке (66).

sin Для доказательства оценки (67) заметим, что функция g() = (cos -cos )монотонно возрастает на (0, ). Поэтому, используя оценку (7) леммы 1, неравенства (15), (76), (77), получаем m sin sin j sin m j d + (cos j - cos )2 (cos - cos )2 cos - 1 - cos j m sin 1 3a + m 2 1 2m cos - - cos 2 sin - sin m 2m 2m 2 32a 1 + m(1 - cos )-1/2.

2 (1-cos )/2+1/Наконец, применим к функции g() = на промежутке (cos -cos )(2-2)оценку (7) леммы 1. Так как | cos - cos | для, (0, /2], учитывая (76), (77), находим (1 - cos j)/2+1/ j (cos j - cos )j /2+1/m 1 - cos (1 - cos )/2+1/ d + m (cos - cos )cos - - cos m +1/m sin (sin )+1/2 3a m d + (cos - cos )2 2 sin - 1 sin 1 2 2m 2m 2m Аппроксимативные свойства m +1/2 1 3a 4 d + . (80) ( - )2( + )2 sin -+3/sin2 1 2m m 1 +1/2 2+На промежутке 0, - функция f() = в точке = достигает m (+)2 3-(2+1)+1/своего максимального значения fmax = c3()-3/2, где c3() =.

16(3-2)-3/Поэтому ввиду (80) m (1 - cos j)/2+1/4 d 35a j c3()-3/2 + m(sin )-3/(cos j - cos )2 ( - )2 j 1 37a 37a c3()-3/2 m - + m-3/2 c3() + m-3/2.

16 Утверждение 2 доказано.

Принимая во внимание, что для j 4 будет (1 + cos j)-/2-1/4 1, (1 + cos j)-/2+1/4 2, (sin j)2+1 = (1 - cos j)(1 + cos j) sin j 2(1 - cos j) sin j, (sin j)2+1 = (1 - cos j)+1/2(1 + cos j)+1/2 2(1 - cos j)+1/2, а также (1 + cos )-/2-1/4 1, из (31) с учетом (9), (12), (66) получим 3 2c2(, ) U41 q(n + 1) m+n (1 - cos j)/2-1/4 sin j(1 - cos )-/2-1/4 j cos j - cos k j 4 k=m 3 2q1c2(, ) 3a 2 + c1()( + 1) + 1 +. (81) 3 Совершенно аналогично можно доказать, что 3 2q1c2(, ) 3a 2 U4i + c1()( + 1) + 1 + (i = 2, 3, 4), 3 (82) а из (35) и (36) с учетом (9), (12) и (66), следует, что 3 2c2(, ) 3a 2 U45 + c1()( + 1) + 1 +, (83) b 3 6q2c2(, ) 3a 2 U46 + c1()( + 1) + 1 +. (84) 3 При оценивании величины U40 поступим так же, как и при оценивании U20.

Из (30), с учетом (9) и (17)Ц(23) вытекает, что 6 (i) U40 (sin j)2+1 |gi(cos, cos j)| j = U40, (85) (n + 1) j 4 i=1 i=348 Ф. М. Коркмасов где (i) U40 = (sin j)2+1|gi(cos, cos j)| j (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). (86) (n + 1) j (i) (i) Величины U40 оцениваем так же, как U20, используя вместо оценок (44) - (46) оценки (66)Ц(68):

21c2(, ) 32a (1) U40 1 +, (87) b 2 21 2c2(, ) (2 + 1)+1/2 37a (2) U40 +, (88) b 16(3 - 2)-3/2 6 2c2(, ) (2 + 1)+1/2 37a (3) U40 +, (89) b 16(3 - 2)-3/2 3 2c2(, ) (2 + 1)+1/2 37a (4) U40 +, (90) 16(3 - 2)-3/2 9c2(, ) 3a 2 (5) U40 + c1()( + 1) + 1 +, (91) 3 9c2(, ) (2 + 1)+1/2 37a (6) U40 +. (92) 16(3 - 2)-3/2 2 Собирая оценки (87)Ц(92) и подставляя их в (85), получим 3c2(, ) 72 32a 9 2 7 37a U40 1 + + + c3() + 2b 4 b 2 9a 2 + + 3c1()( + 1) + 1 +, (93) (2+1)+1/где c3() =.

16(3-2)-3/Из (81)Ц(84), (93) следует, что U4 3H2(, a, b)c2(, ), (94) где 1 72 32a 9 2 7 37a H2(, a, b) = 1 + + + c3() + 2b 4 b 2 1 3a 2 + 2 4q1 + 2q2 + + 3 + c1()( + 1) + 1 +. (95) b 3 Оценим величину U3. Из (28), учитывая оценки (9), (16), имеем m+n 3N, U3 j Kk (cos, cos j) j (n + 1) k=m j m+n k - Pi,(cos ) Pi,(cos j) j (sin j)2+1 h, i (n + 1) j 3 k=m i=Аппроксимативные свойства m+n -= (sin j)2+1 j h, (n + 1) j 3 k=m m+n k - Pi,(cos ) Pi,(cos j) j + (sin j)2+1 h, i (n + 1) j 3 k=m i=(1) (2) = U3 + U3. (96) (1) Оценим сумму U3. Учитывая, что для -1/2 <, < 1/2 (см. (3)) -1 + + 1 ( + + 1) h, = 2++1 ( + 1) ( + 1) ( + + 2) (3) = 2.56, 2++1 ( + 1) ( + 1) [ (1.462)]получаем 7.68 7.68 15.(1) U3 (n + 1) (sin j)2+1 j j. (97) (n + 1) j 3 j (2) Для оценки U3 нам понадобится Утверждение 3 [3]. При фиксированном p имеет место равенство (N + p) = Np 1 + O, N, (98) (N) N основанное на хорошо известной формуле Стирлинга.

-В силу этого утверждения величина h, имеет порядок O(i), так i -что h, c4i. Учитывая, что для j 3 будет (1 + cos j)-/2-1/i 2, (sin j)2+1 = (1 - cos j)+1/2(1 + cos j)+1/2 2(1 - cos j)+1/2 и (1 + cos )-/2-1/4 1, из (96) получаем m+n k 6c4c2(, ) (2) U3 (1 - cos )-/2-1/4 (1 - cos j)/2+1/4 j (n + 1) k=m i=1 j m+n k 6c4c2(, ) (1 - cos )-/2-1/(n + 1) k=m i= /2+1/4 /2+1/1 1 1 1 - cos - + cos - - cos + m m m m m+n k 12c4c2(, ) (1 - cos )-/2-1/m(n + 1) k=m i= /2+1/4 /2+1/1 1 - cos - + 2 sin sin m m m+n k 1 - cos - 1 /2+1/12c4c2(, ) m m(n + 1) 1 - cos k=m i= (1 - cos )/4+1/+ 23/4 m-/2-1/(1 - cos )/2+1/350 Ф. М. Коркмасов m+n k 12c4c2(, ) 23/4m-/2-1/ 1 + m(n + 1) (1 - cos )/4+1/k=m i=m+n k 12(1 + 23/4)c4c2(, ) 12(1 + 23/4)c4c2(, ) 1 (m + n)(n + 1) m(n + 1) m(n + 1) k=m i=12(1 + 23/4)(d + 1)c c2(, ). (99) Объединяя (97), (99), получим (d + 1) 15.U3 [12(1 + 23/4)c4c2(, )] +. (100) Собирая оценки (42), (64), (94), (100) и сопоставляя их с (28), при -1/2 <, < 1/2, m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm приходим к оценке, Vm,n,N (t) c2(, )H3(, a, b, d) + 15.36 0 t 1 -, (101) mгде H3(, a, b, d) = 2(8q1 + q2 + 2/b + 1) + 3H1(, a, b) 12(1 + 23/4) + 3H2(, a, b) + c4(d + 1), (102) а H1(, a, b) и H2(, a, b) определяются из соотношений (65) и (95).

2. Неравенство (27) запишем в следующем виде:

m+n N 2N +,, Vm,n,N (cos ) j Kk (cos, cos j) j (n + 1) k=m j= 3N + + = W1 + W2 + W3, (103) (n + 1) j 1 j 2 j 2 8 2 где 1 =,, 2 = arccos 1 -,, 3 = 0, arccos 1 -, а суммы 3 m2 3 mWi (i = 1, 2) оцениваются с помощью равенства (16) аналогично суммам Ui:

Wi Wil. (104) l=Суммы Wil имеют тот же смысл, что и Uil. Поэтому всюду далее при оценке Wil будем пользоваться равенствами (30)Ц(36).

При оценивании величин W1 и W2 вместо оценки (см. (12)), Pk (t) c(, )k-1/2(1 - t)-/2-1/следует воспользоваться оценкой, Pk (t) c(, )k (1 - 4/m2 t 1).

(105) Оценим величину W1. Учитывая, что для j 1 будет cos - cos j 1/2, (1 - cos j)-/2-1/4 1, (sin j)2+1 = (1 - cos j)+1/2(1 + cos j)+1/Аппроксимативные свойства 2(1+ cos j)+1/2, и используя равенство (16) и оценки (10), (12), (105), получим (1 - 4/m2 cos 1) 12c2(, ) W10 (1 - cos ) (1 + cos j)/2+3/(n + 1) j m+n k+1/2 j 16(d + 1)c2(, ), (106) k=m 12c2(, ) W11 q1 (1 + cos j)/2+1/(n + 1) j 1 m+n 2 (k + 1)-1/2 j 8q1c2(, ). (107) k=m Аналогично можно показать, что W1i 8q1c2(, ) (i = 2, 3, 4). (108) Далее, 12c2(, ) W15 (1 + cos j)/2+1/4((m + n + 1)+1/2 + m+1/2) j (n + 1) j 4(d + 3) c2(, ), (109) b m+n 12c2(, ) W16 q2(1 - cos ) (1 + cos j)/2+3/4 k+1/2 j (n + 1) k=m j 16(d + 1)q2c2(, ). (110) Собирая оценки (106)Ц(110) и подставляя их в (104), выводим, что d + W1 16c(, ) 2q1 + (q2 + 1)(d + 1) +. (111) 4b Для оценки W2i (i = 1, 6) докажем предварительно следующее Утверждение 4. Если m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm, то sin j 3a j c1() + m-+1/2. (112) (cos - cos j)-/2+5/4 j sin Доказательство. Ясно, что функция g() = монотон(cos -cos )-/2+5/но убывает на промежутке (, ]. Поэтому, воспользовавшись оценками (8) и (15), получим sin j j (cos - cos j)-/2+5/j 2/ sin arccos 1 sin m d + -/2+5/(cos - cos )-/2+5/4 cos - 1 - marccos 1- ) ( m 1/ /2-1/4 m-+5/2 1 - 1 - cos - 1 - m2 3a m + -/2 + 1/4 4 2m 3a c1() + m-+1/2.

352 Ф. М. Коркмасов Утверждение 4 доказано.

Для W21 с учетом оценок (9) и (112) и неравенств (sin j)2 2(1-cos j), (1 + cos j)-/2-1/4 2, (1 + cos j)-/2+1/4 2 имеем m+n 6c2(, ) (1 - cos j)/2-1/W21 q1 sin j 2 (k + 1)-1/2 j (n + 1) cos - cos j k=m j 12q1 sin j c2(, )m-1/2 j (cos - cos j)-/2+5/j 12q1 3a c1() + c2(, ). (113) Аналогично доказывается, что 12q1 3a W2i c1() + c2(, ) (i = 2, 3, 4). (114) Далее, используя равенства (35), (36) и оценки (9), (112), получим 6(d + 3) (1 - cos j)/2-1/W25 c2(, )m+1/2 sin j j (n + 1) cos - cos j j 6(d + 3) sin j c2(, )m+1/2 j (n + 1) (cos - cos j)-/2+5/j 6(d + 3) 3a c1() + c2(, ), (115) b m+n 48c2(, ) (1 - cos j)/2-1/W26 q2 sin j k+1/2 j m2(n + 1) cos - cos j k=m j 48q2c2(, ) sin j (m + n)+1/2 j m2 (cos - cos j)-/2+5/j 48(d + 1)q2 3a c1() + c2(, ). (116) Наконец, оценим W20. Для этого приведем без доказательства Утверждение 5. Если m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm, то sin j m2 3a j 1 +, (117) (cos - cos j)2 4 j sin j m-+3/2 3a j c2() +, (118) (cos - cos j)-/2+7/4 2 j sin j 3 3a j ln m2 +. (119) cos - cos j 8 j Аппроксимативные свойства Величину W20 оцениваем точно таким же способом, что U20, используя везде оценку (105), а вместо оценок (44)Ц(46) оценки (116)Ц(118). В конечном итоге получаем W20 3H4(, a, b, d)c2(, ), (120) где 4(d + 4)2 3a H4(, a, b, d) = 1 + c2() + b 1 3a 7 2 + 1 + + 12(d + 1) + 4(d + 4)3/2 + (d + 2) - (d + 1).

2 2 b (121) Собирая оценки (113)Ц(116), (120), приходим к неравенству W2 H5(, a, b, d)c2(, ), (122) где 6 3a d + H5(, a, b, d) = c1() + 8(q1 + (d + 1)q2) + + 3H4(, a, b, d).

2 b (123) Оценим величину W3. Из (103) с учетом (9), (16) и (105) имеем m+n k - Pi,(cos ) Pi,(cos j) j W3 (sin j)2+1 h, i (n + 1) k=m i=j m+n -= (sin j)2+1 j h, (n + 1) k=m j m+n k - Pi,(cos ) Pi,(cos j) j + (sin j)2+1 h, i (n + 1) k=m i=j (1) (2) = W3 + W3. (124) (1) (1) Величина W3 оценивается аналогично U3 (см. (97)):

m+n 7.68 7.(1) W3 (sin j)2+1 1 j (sin j)2+1 j (n + 1) k=m j 3 j 7.68 8 7.68 arccos 1 - 15.36. (125) m2 m -(2) Как показано при оценке величины U3, в силу утверждения 3 будет h, i c4i. Кроме того, для j 3 имеем (1 + cos j)-/2-1/4 1, (sin j)2+1/ 2(1 - cos j)+1/2. Поэтому m+n k 3 2c2(, ) (2) W3 c4 (1 - cos j)/2+1/4 i+1/2 j (n + 1) k=m i=j m+n 3 2c2(, ) c4 (1 - cos j)/2+1/4 k+3/2 j (n + 1) k=m j 354 Ф. М. Коркмасов /2+1/4 3 2c2(, ) 8 c4 (m + n + 1)+3/2(n + 1) arccos 1 (n + 1) m2 m24(d + 2)2c4c2(, ) m 24(d + 2)2c4c2(, ). (126) m Окончательно из (124)Ц(126) следует, что W3 24(d + 2)2c4c2(, ) + 15.36. (127) Объединяя оценки (111), (122), (127) и сопоставляя их с (103), при -1/2 <, < 1/2, m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm получаем, Vm,n,N (t) c2(, )H6(, a, b, d) + 15.36 (1 - 4/m2 t 1), (128) где d + H6(, a, b, d) = 16 2q1 + (q2 + 1)(d + 1) + + H5(, a, b, d) + 24(d + 2)2c4.

4b (129) Из (101) и (128), в свою очередь, при -1/2 <, < 1/2, m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm выводим, что +, Vm,n,N (t) c2(, )H7(, a, b, d) + 15.36 (0 t 1), (130) где H7(, a, b, d) = H3(, a, b, d) + H6(, a, b, d).

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам