Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |   ...   | 42 |

Упражнение 2. Доказать, что радиус кривизны в эллипсе максимален в вершинах малой полуоси.

7.5. Координаты центра кривизны. Эволюта Пусть в некоторой точке на кривой с координатами {x, y} радиус кривизны кривой R. Тогда, рассматривая нормаль как ориентированную прямую и двигаясь от этой точки {x, y} по направлению вектора нормали на расстояние R, получим координаты центра кривизны { = x + Rnx, = y + Rny}. (1) p Подставляя из (3.1.-2) полярные координаты {x, y} = {cos,sin}, из 1+ ecos p((cos + e)2 + sin2 )(7.5.-1) R =, из (7.1.-3) направляющие нормали, получим (1+ ecos)Глава 7. Нормаль = p cos p((cos + e)2 + sin2 )2 ( cos + e ) 1+ ecos (1+ ecos)(cos + e)2 + sin p sin p((cos + e)2 + sin2 )2 sin = 1+ e cos (1+ e cos) (cos + e)2 + sin p (1+ 2ecos + e2)(cos + e) ) = 1+ ecos (cos (1+ ecos)или.

= p sin (1- 1+ 2ecos + e2 ) 1+ ecos (1+ ecos) Далее, преобразуем каждую компоненту центра кривизны отдельно p = (cos + 2ecos2 + e2 cos3 - cos - e - 2ecos2 - 2e2 cos - e2 cos - e3) = (1+ ecos)p = (cos(1+ ecos)2 - (1+ 2ecos + e2)(cos + e)) = (1+ ecos)p = (e2 cos3 - e - 3e2 cos - e3), (1+ ecos)p sin 1+ 2ecos + e2 pe2 sin pe2 sin = (1- ) = (cos2 -1) = -.

1+ ecos (1+ ecos)2 (1+ ecos)3 (1+ ecos)Окончательно p { (),()} = {(e2 cos3 - e - 3e2 cos - e3),-e2 sin3 }. (2) (1+ ecos)Геометрическое место центров кривизны называется эволютой [24,стр.578] (см. рис.1). Формула (1) дает возможность построить эволюты эллипса, гиперболы, или параболы на основе однозначной зависимости декартовых координат центра кривизны от полярного угла, проводимого из фокуса.

Глава 7. Нормаль 7.6. Определение и уравнение параллельных дуг В данной работе ограничимся определением и очень кратким изучением параллельных дуг только для дуг коник. Отметим при этом, что изучаемые нами дуги конических кривых непрерывны (за исключением гиперболы), гладки и не самопересекаются.

Назовем || дугой (п.д.) геометрическое место точек, полученных путем движения точек исходной дуги вдоль вектора нормали на некоторое постоянное число со знаком h. Векторное уравнение для || дуг будет следующим v = r + hn. В декартовых координатах, выраженных через полярные коэффициенты, оно выглядит так p cos h(cos + e) = 1+ ecos 1+ 2ecos + e, (1) psin hsin = 1+ ecos 1+ 2ecos + e где - абсцисса в.п.д., а - ее ордината.

На рис.1 изображен более жирной линией эллипс. Внутри него расположена параллельная дуга с параметром h > 0, а снаружи находится дуга с параметром h < 0.

Из (1) следует, что при h 0, п.д. стремится к исходной кривой.

Напомним, что эллипс, гипербола и парабола симметричны относительно фокальной оси. Чисто геометрически из построения видно, что и дуга в.п.д. также симметрична относительно этой оси.

Аналитически это следует из следующего. Знаменатель в (1) из-за четной функции cos и для, и для, как у первого слагаемого 1+ ecos четный, так и у второго слагаемого 1+ 2ecos + e2, также четный.

Глава 7. Нормаль Числитель h(cos + e) для также четный. При делении четной функции на четную, получается четная функция, т.е. абсцисса (-) = () является четной функцией. Числитель пропорционален sin, и, следовательно, он нечетный, а знаменатель, как мы говорили выше, четный. При делении нечетной функции на четную, получается нечетная функция. Поэтому ордината (-) = -() нечетная.

Отсюда следует зеркальная симметрия п.д. относительно вертикальной оси симметрии (на рис.1 не показано).

Задачи на || дуги встречаются в производстве одежды - технологические припуски на швы, в механике при изучении траектории режущего инструмента, в картографии при определении || зон и в других областях.

Глава 8. Некоторые интегральные свойства 8. Некоторые интегральные свойства Прежде чем приступить к изложению данного материала, заметим следующее.

Для облегчения сверки ответов с таблицами интегралов в данной главе использованы классические обратные тригонометрические функции. Мы предлагаем читателю самостоятельно перевести соответствующие результаты данной главы на основе функции ang().

8.1. Длина дуги Известна формула дуги [25,гл.10,з1,(56)], т.н. спрямляемой кривой L = r2 +(r ') d. (1) (Для более полной информации о спрямляемых кривых см. [25,гл.10,з1]. Там же все остальные необходимые ссылки.) Подставим в (1) формулу полярного радиуса Лаланда-Лапласа p r =. Тогда 1+ ecos 2 1 e2 sin2 1+ 2ecos + e L = p + d = p d. (2) (1+ ecos)2 (1+ ecos)4 (1+ ecos)1 Формула (2) после нескольких несложных преобразований, выражается через эллиптические интегралы (они подразделяются на 3 рода), которые в общем случае не выражаются через элементарные функции [4, стр. 176 - 177].

Таким образом, невозможно привести УпростуюФ формулу длины дуги эллипса, гиперболы, а также и длины одной волны синусоиды, где те же проблемы.

С другой стороны, знание значений длин дуг крайне важно для целого ряда технических задач. Поэтому мы приняли компромиссный вариант и в приложении П2. привели текст программы, вычисляющий данный интеграл численно, на одном из Паскале-подобных языков. Мы надеемся, что читатель легко разберется в тексте программы и трансформирует ее под свои нужды.

Глава 8. Некоторые интегральные свойства Прилагаемая программа позволяет вычислять интегралы численно на основе алгоритма Гаусса с 12 узлами (количество узлов выбирает пользователь для достижения необходимой точности). Алгоритм Гаусса, является для технических задач, по нашему мнению, самым простым, точным, и быстродействующим. С другой стороны, мы хотим предупредить читателя, что полное обоснование алгоритма Гаусса не является тривиальным.

Вернемся к (2). Частные случаи (2), а именно: длину дуги окружности при e = 0 и длину дуги параболы при e = 1 можно вычислить УтрадиционнымФ интегрированием, чем мы сейчас и займемся.

8.1.1. Длина дуги окружности 2 1+ 2ecos + eL = lim p d = p = 2 -1. (1) d e(1+ ecos)1 Мы осуществили предельный переход в 1-м интеграле (1), потому что подинтегральная функция равномерно зависит от параметра e. Вычислим L, если дуга опирается на фокальную хорду при p =1, 2 = и 1 = -.

2 В этом случае (1) дает, программа П2. - 3.141592653589790.

(Ошибочной является только последняя цифра - 0. Удивительный результат !) 8.1.2. Длина дуги параболы 2 1+ 2ecos + ed L = lim p d = 2 p. (1) e(1+ ecos)1 (1+ cos)Рассмотрим последний неопределенный интеграл Глава 8. Некоторые интегральные свойства d d d = = 2 = 3 3 (1+ cos) sin + cos2 + cos2 - sin2 2 cos2 2 2 2 2 1 d - dt 2 2 = 2 = 2. (2) cos3 t cos (Мы уже обосновывали выше, почему допустим предельный переход. Кроме того, t =.) Последний интеграл возьмем по частям и выведем при этом рекуррентную формулу. (Заметим, что переменная x выглядит привычнее, чем переменные и t. Мы и в дальнейшем будем сводить интегралы к привычному для читателя виду, чтобы, при желании, можно было сверять их с таблицами неопределенных интегралов).

1 1 1 dx tgx sin2 x dx Итак, пусть u =, v =. Тогда = - = cos x cos2 x cos x cos2 x cos x cos x cos2 x sin x (1- cos2 x)dx sin x dx dx - = - +. (3) cos2 x cos3 x cos2 x cos3 x cos x dx x Т.к. = ln tg + + C. (Этот интеграл также вычисляется рекуррентно [25, cos x 4 стр. 78]. Попробуйте вычислить его самостоятельно.) Обозначим неизвестный интеграл - I. Следовательно Глава 8. Некоторые интегральные свойства sin x x sin x 1 x I = - I + ln tg + + C. Или I = + ln tg + + C. (4) cos2 x 4 2 2cos2 x 2 4 x2= sin x 1 x Отсюда L = p + ln tg +. (5) 2cos2 x 2 4 x1= Пусть p = 20, 1 = -, 2 =. Вычислим (5) 2 x2= sin x 1 x L = 20 + ln tg + = x1= 2cos2 x 2 4 1 1 1 = 20 2 + ln tg + - + ln tg - = 20 2 + ln tg 1 2 4 8 2 4 8 2 2 2 tg - ln tg = 20 2 + ln. (6) 8 tg Выражение (6) 45.9117429878.

Длина дуги на основе П2 45.9117429876.

8.2. Площадь сектора Известно [25,194,9], что площадь сектора в полярных координатах 2 1 1 p p2 S = d = (1) r 2 1+ ecos d = 2 1 (1+ ecos)2 d.

1 dx Рассмотрим неопределенный интеграл. (2) (1+ ecos x)Заметим, что в предыдущих разделах выведенные формулы с некоторыми ограничениями годились сразу и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Однако, по современной методологии интеграл (2) нужно вычислять тремя различными способами, в зависимости от эксцентриситета: 1) e < 1(эллипс); 2) e = 1(парабола); 3) e > 1(гипербола).

Глава 8. Некоторые интегральные свойства 8.2.1. Площадь сектора, ограниченного дугой параболы Вначале рассмотрим вариант 2) e = 1(парабола), как самый простой.

x Делаем классическую [25,стр.74] замену переменной t = tg, x (-, ). Отсюда 2dt x x = 2arctgt, dx =. Далее выразим cos x через tg. Замечая, что 1+ t2 x x x cos x = cos 2 = cos2 - sin2, (*) 2 2 x x x x мы свели нашу задачу к поиску функций sin2 = f1(tg2 ) и cos2 = f2(tg2 ).

2 2 2 x x x sin sin2 1- cosx x 2 2 Найдем их tg =, tg2 = = (**) x x x 2 cos cos2 cos2 2 x x sin2 sinx 2 и tg2 = =. (***) x x cos2 1- sin2 x Для упрощения записи в уравнениях (**) и (***), сделаем замены tg2 = T, x x cos2 = C, sin2 = S. Решим (**) относительно C 2 1- C T =, TC = 1- C, TC + C = 1, C =.

C T +И, аналогично, решим (***) относительно S S T T =, T -TS = S, T = S(1+ T ), S =.

1- S 1+ T Подставим найденные значения в (*) x 1- tg2 1- t1 T 1-T cos x = - = = =.

x T +1 T +1 T +1+ tg2 1+ tГлава 8. Некоторые интегральные свойства dx Теперь мы имеем возможность собрать все части интеграла (1+ cos x)2dt dt (1+ t2)2 dt = 2 = 2 = 2 (1+ t2)dt = 4(1+ t2) 1- t 1+ t2 +1- t(1+ t2)1+ (1+ t2) 1+ t2 1+ t 1 x 1 x = tg + tg + const. (1) 2 2 6 Пренебрегая, временно, нормализацией граничных углов, вычислим, для примера, площадь параболы в системе координат Кеплера при p =1, 1 = -, 2 = p2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 S = tg + tg3 2 = ( + ) - (- - ) = + = =.

2 2 2 6 2 2 2 6 2 2 6 2 6 6 dx 8.2.2. Формула понижения при e (1+ ecos x)dx Метод взятия интеграла при e 1 состоит из 2-х этапов. На 1-м (1+ ecos x)этапе снижают степень выражения под интегралом до 1. Этот этап общий для эллипса и гиперболы, и применяемые формулы называются формулами dx понижения. На 2-м этапе берут 1+ ecos x уже с учетом e > 1 или e < 1.

Мы выведем общую формулу для понижения, приведенную в сборнике задач Демидовича1.

dx bdx (2n - 3)a dx = - + (a + b cos x)n (n -1)(a2 - b2)(a + b cos x)n (n -1)(a2 - b2) (a + b cos x)n-(n - 2) dx -, a b и n - натуральное число. (1) (n -1)(a2 - b2) (a + bcos x)n-Заменив, временно, показатель степени n на m, выведем рекуррентное dx (a + b cos x)dx dx cos xdx соотношение = = a + b. (2) (a + bcos x)m (a + b cos x)m+1 (a + bcos x)m+1 (a + bcos x)m+ Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1972., стр.178, N 2059.

Глава 8. Некоторые интегральные свойства 2-й интеграл из (2) возьмем по частям cos xdx bsin x b2 sin2 xdx b = - (m +1). (3) (a + b cos x)m+1 (a + b cos x)m+1 (a + b cos x)m+Теперь преобразуем 2-й интеграл из (3) (b2 - b2 cos2 x)dx (b2 - a2 + a2 - b2 cos2 x)dx (b2 - a2)dx - (m +1) = -(m +1) = - (m +1) (a + b cos x)m+2 (a + b cos x)m+2 (a + bcos x)m+(a - b cos x)dx dx (a + a - a - b cos x)dx - (m +1) = (m +1)(a2 - b2) - (m +1) = (a + bcos x)m+1 (a + bcos x)m+2 (a + bcos x)m+dx dx dx = (m +1)(a2 - b2) - 2(m +1)a + (m +1.

(a + b cos x)m+2 (a + b cos x)m+1 (a + bcos x)m dx Обозначим Jm = и соберем все слагаемые в рекуррентное (a + bcos x)m bsin x выражение Jm = aJm+1 + + (m +1)(a2 - b2)Jm+2 - 2(m +1)aJm+1 + (m +1)Jm.

(a + b cos x)m+Приведем подобные члены и перенесем член, содержащий наибольший показатель Jm+2 в левую часть равенства, а остальные в правую bsin x - (m +1)(a2 - b2)Jm+2 = - (2m +1)aJm+1 + mJm или (a + bcos x)m+bsin x (2m +1)a m Jm+2 = - + Jm+1 - Jm.

(m +1)(a2 - b2)(a + bcos x)m+1 (m +1)(a2 - b2) (m +1)(a2 - b2) Делая теперь замену m + 2 = n, откуда m = n - 2, получим bsin x (2n - 3)a (n - 2) Jn = - + Jn-1 - Jn-2 (n -1)(a2 - b2)(a + b cos x)n-1 (n -1)(a2 - b2) (n -1)(a2 - b2) Т.к. в нашем частном случае показатель степени подинтегрального выражения n = 2, то в последней формуле остаются только два члена bsin x a J2 = - + J1 или (a2 - b2)(a + bcos x) (a2 - b2) dx bsin x a dx = - + + C. (4) (a + bcos x)2 (a2 - b2)(a + b cos x) (a2 - b2) a + b cos x (Константы a = 1, b = e мы подставим только в окончательную формулу.) Глава 8. Некоторые интегральные свойства 8.2.3. Площадь сектора, ограниченного дугой эллипса dx x Возьмем, где a = 1, b = e < 1, с помощью подстановок t = tg, a + bcos x 2dt 1- t x (-, ), x = 2arctgt, dx =, cos x =.

1+ t2 1+ t dx 2dt dt = = 2 = a + b cos x 1- t2 a + at2 + b - bt(1+ t2)(a + b ) (1+ t2)( ) 1+ t2 1+ tdt 2 dt 2 dt 2 = = 1+ (a - b) t2 = (a + b) (a + b) + (a - b)t2 (a + b) a - b 1+ t (a + b) a + b a - b d t 2 2 a - b x a + b = = arctg tg + const.

a + b a - b (a2 - b2) a - b (a + b) 1+ t a + b a + b Теперь все отдельные компоненты формулы готовы, и мы можем собрать их в окончательную формулу площади сектора эллипса p2 esin 2 1- e S = - + arctg tg. (1) 2 (1- e2)(1+ ecos) (1- e2)3 1+ e 2 В качестве примера, вычислим теперь полную площадь эллипса. Так как первообразная функция S содержит разрывную функцию тангенс, то мы не можем применить формулу (1) к интервалу ( 0,2 ). Но, учитывая симметрию эллипса относительно фокальной оси, найдем S на интервале ( 0, - ), где малое число. Затем, устремляя 0, найдем предел S на интервале ( 0, ), если он существует. Предположим, что это так (мы докажем это), то увеличив в 2 раза найденный предел S, мы получим искомую площадь эллипса. Реализуем этот план.

esin Исследуем 1-е слагаемое S1 =. Т.к. e2 < e < 1 и ecos e <1, (1- e2)(1+ ecos) то знаменатель S1 > 0. Но esin 0 = esin = 0. Поэтому S1 = 0.

Глава 8. Некоторые интегральные свойства 2 1- e 2-е слагаемое S2 = arctg tg.

(1- e2)3 1+ e 2 1- e 0 S2(0) = arctg tg = arctg0 = 0.

(1- e2)3 1+ e 2 (1- e2) 2 1- e lim S2() = arctg tg lim (1- e2)3 1+ e 2 1 - e 2 = arctg tg lim = arctg() = 1 + e (1 - e2 )(1- e2)3 (1- e2)3 - =.

(1- e2) p2 pS = и окончательно площадь эллипса S =. (2) (1- e2)3 (1- e2)Сравним (2) с известной формулой в декартовых координатах S = ab.

Действительно, учитывая (3.5.1.-2), (3.5.1.-8) p2 p p S = = = ab. (3) (1- e2)3 (1- e2 ) (1- e2 ) Выполним теперь численные расчеты с помощью алгоритма Гаусса - программы П2. Выпишем для этого два числа 2454.3507651430 - П2 и 2454.3692606170 - (2).

Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |   ...   | 42 |    Книги по разным темам