Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... | 82 | Действительно, плотность f(x) нормально распределенной с математическим ожиданием x и дисперсией 2 случайной величины x равна (x - x) 1 e.
В Справочнике по математике И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева (М., 1962) на стр. 407 можно найти следующую формулу:
n+xne-ax dx =, при a >0 и n>1, n+2a где Ч гамма-функция, обладающая следующими свойствами:
(x +1) =x(x), (n) =(n - 1)!, при n целом и положительном, (x) x + = (2x).
2 22x-Отсюда легко установить, что при целом и четном q q =1 3 5 ... (q - 1) q =(q - 1)!! q и, в частности, 4 =34.
О свойствах нормального распределения см. Приложение A.3.2.
В практике статистики моменты более высоких порядков используются крайне редко.
2.5. Упражнения и задачи 2.5. Упражнения и задачи Упражнение На основании данных о росте студентов курса построить ряд распределения, дать табличное и графическое его изображение (представив на графике гистограмму, полигон, кумуляту). Какие из графиков соответствуют эмпирической функции плотности распределения вероятности, а какие Ч эмпирической функции распределения вероятности Изобразить на графике гистограммы положение моды, медианы и средней арифметической. Подтвердить их соотношения расчетами характеристик центра распределения. Найти дисперсию, коэффициент вариации, а также показатели асимметрии и эксцесса. Оценить степень однородности элементов совокупности.
Задачи 1. Определить пункты, которые являются выпадающими из общего ряда.
1.1 а) частота, б) плотность, в) гистограмма, г) график;
1.2 а) арифметическое, б) геометрическое, в) алгебраическое, г) квадратическое;
1.3 а) мода, б) медиана, в) квантиль, г) квартиль;
1.4 а) бимодальное, б) нормальное, в) асимметричное, г) U-образное;
1.5 а) математическое ожидание, б) биномиальное, в) нормальное, г) среднее;
1.6 а) момент, б) период, в) дисперсия, г) среднее;
1.7 а) центральный, б) начальный, в) исходный, г) момент.
2. Количественный признак принимает значения 2, 3, 4, 9. Какова плотность относительной частоты 2-го и 3-го элемента 3. Распределение семей по доходам (в условных единицах в месяц) представлено в группированном виде количеством Nl семей, попавших в l полуинтервал (zl-1; zl] (табл. 2.2).
Заполните в таблице недостающие характеристики.
Изобразите графики гистограммы, полигона и кумуляты.
4. Какова средняя хронологическая величин 1, 2, 5, 9, характеризующих последовательность равных промежутков времени 84 Глава 2. Описательная статистика Таблица 2.(zl-1; zl] 500;700 700;900 900;1100 1100;1300 1300;Nl 4 8 5 2 l Fl fl 5. На что нужно поделить y1 - y0, чтобы получить среднюю хронологическую на временном отрезке [0, 1] 6. Чему равны простые средние: геометрическая, арифметическая, гармоническая чисел 1, 2, 4 7. Три объекта характеризуются следующими относительными признаками:
6, 1 3, 4. Веса этих объектов по числителю равны 0.1, 0.2, 0.7, вес первого объекта по знаменателю Ч 0.15. Чему равен вес второго объекта 8. Какая из двух величин (a + b + c), или 1 1 + + a b c больше и почему 9. Капитал за первый год не изменился, за второй Ч вырос на 12%. Средне годовой коэффициент, одинаковый по годам, равен Каков темп роста 8.
среднегодового капитала 10. За первое полугодие капитал вырос на 12.5%, за второе Ч в 2 раза. Какова среднегодовая доходность (в процентах), если позиция инвестора была пассивной, или если он реинвестировал доход в середине года 11. Совокупность предприятий была разделена на группы в зависимости от величины стоимости реализованной продукции. Количество предприятий в каждой группе и среднее значение стоимости реализованной продукции в каждой группе даны в таблице:
2.5. Упражнения и задачи Номер группы 1 2 3 4 Количество предприятий в группе (ед.) 4 4 5 7 Среднее значение стоимости реализован- 15 20 25 30 нойпродукции(ден. ед.) Определить среднюю стоимость реализованной продукции по совокупности предприятий в целом.
12. По металлургическому заводу имеются следующие данные об экспорте продукции:
Вид продукции Доля вида продукции в Удельный вес продукции общей стоимости реали- на экспорт, % зованной продукции, % Чугун 25 Прокат листовой 75 Определить средний удельный вес продукции на экспорт.
13. Совокупность населенных пунктов области была разделена на группы в зависимости от численности безработных. Количество населенных пунктов в каждой группе и средняя численность безработных в каждой группе даны в таблице:
Номер группы 1 2 3 4 Количество населенных пунктов в группе 4 8 2 3 Средняя численность безработных 10 12 15 20 Определить среднюю численность безработных по совокупности населенных пунктов в целом.
14. В таблице даны величины стоимости основных фондов на конец года за ряд лет:
Год 0 1 2 3 Стоимость основных 100 120 125 135 фондов на конец года Предположим, что стоимость фондов на конец года t совпадает со стоимостью на начало года t +1. Среднегодовой коэффициент равен 0.3. Определить:
а) среднегодовую стоимость основных фондов в 1, 2, 3 и 4 году;
86 Глава 2. Описательная статистика б) среднегодовой темп прироста среднегодовой стоимости основных фондов за период с 1 по 4 годы.
15. В первые два года исленность занятых в экономике возрастала в среднем на 4% в год, за следующие три Ч на 5% и в последние три года среднегодовые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности занятых за весь период.
16. В первые три года численность безработных возрастала в среднем на 2% в год, за следующие три Ч на 4% и в последние два года среднегодовые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности безработных за весь период.
17. В таблице даны величины дохода (в %), приносимые капиталом за год:
Год 1 2 3 Доходность 10 12 8 Определить среднегодовую доходность капитала в течение всего периода, если:
а) позиция инвестора пассивна;
б) позиция инвестора активна.
18. В первом квартале капитал возрастает на 20%, во втором Ч на 15%, в третьем Ч на 10%, в четвертом Ч на 20%. Определите среднегодовую доходность капитала, если:
а) позиция инвестора пассивна;
б) позиция инвестора активна, т.е. он ежеквартально реинвестирует доход.
19. Во сколько раз вырастает ваш капитал за год, вложенный в начале года под 20% годовых, если вы а) не реинвестировали проценты;
б) реинвестировали их один раз в середине года;
в) реинвестировали три раза в начале каждого очередного квартала;
г) реинвестировали в каждый последующий момент времени.
В первом квартале капитал возрастает на 12%, во втором Ч на 15%, в третьем Ч на 20%, в четвертом Ч на 15%. Определите среднегодовую доходность капитала, если:
2.5. Упражнения и задачи 20. Объем продукции в 1995 г. составил 107% от объема продукции 1990 г., в течение последующих двух лет он снижался на 1% в год, потом за 4 года вырос на 9% и в течение следующих трех лет возрастал в среднем на 2% в год. На сколько процентов возрос объем продукции за вес период На сколько процентов он возрастал в среднем в год в течение этого периода.
21. Дана функция распределения F (x) = 1/(1 + e-x). Найти медиану и моду данного распределения.
22. В эмпирическом распределении z0 = 0, все дельты = 1, F3 = 0.21, F4 =0.4, F5 =0.7, F6 =0.77. Чему равны медиана и мода 23. Известна гистограмма бимодального ряда наблюдений. На каком отрезке лежит медиана 24. Медиана больше моды, где лежит среднее Какая из трех характеристик центра распределения количественного признака является квантилем и каким Медиана и средняя равны, соответственно, 5 и 6. Каково вероятное значение моды Почему 25. На основе информации о возрасте всех присутствующих на занятиях (включая преподавателя) определить характер асимметрии функции распределения 26. Дать определение 5%-го квантиля и написать интерполяционную формулу расчет 5%-го квантиля для эмпирического распределения. Привести графическое обоснование формулы.
27. В эмпирическом распределении z0 = 0, все дельты = 1, F4 = 0.4, F5 = 0.7, F6 = 0.8, среднее равно 4.3. Какова асимметрия: правая (+) или левая (-) Чему равен 75%-ый квантиль 28. Найти значение 30%-го квантиля, если известно эмпирическое распределение:
Границы интерва- 10Ц15 15Ц20 20Ц25 25Цлов Частоты 1 3 4 29. Для ряда 1, 2, 3, 6 найти медианный и квартильный коэффициент вариации.
30. Чему равна ордината кривой Лоренца при абсциссе для ряда 1, 2, 3 31. Чему равен медианный коэффициент вариации для ряда 1, 2, 3 88 Глава 2. Описательная статистика 32. Как посчитать децильный коэффициент вариации 33. Задан ряд наблюдений за переменной x: 3, 0, 4, 2, 1. Подсчитать основные статистики данного ряда, среднее арифметическое, медиану, дисперсию (смещенную и несмещенную), показатель асимметрии и куртозиса, размах выборки.
34. Для представленных ниже комбинаций значений показателей асимметрии 3 и эксцесса 4 дать графическое изображение совокупности и указать на графике положение моды, медианы и средней арифметической:
а) 3 > 0, 4 > 3;
б) 3 < 0, 4 > 3;
в) 3 < 0, 4 < 3;
г) 3 > 0, 4 =3;
д) 3 =0, 4 > 3;
е) 3 < 0, 4 =3;
ж) 3 =0, 4 < 3.
Рекомендуемая литература 1. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. Ч М.: Статистика, 1979.
(Разд. 1Ц4, 6).
2. Догуерти К. Введение в эконометрику. Ч М.: Инфра-М, 1997. (Гл. 1).
3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Ч М.: Статистика, 1977.
Вып. 1. (Гл. 4, 5, 7).
4. (*) Коррадо Д. Средние величины. Ч М.: Статистика, 1970. (Гл. 1).
5. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).
Глава Индексный анализ До сих пор термин линдекс использовался исключительно как указатель места элемента в совокупности (лмультииндекс Ч в сгруппированной совокупности).
В данном разделе этот термин применяется в основном для обозначения показателей особого рода, хотя в некоторых случаях он используется в прежнем качестве;
его смысл будет понятен из контекста.
3.1. Основные проблемы В экономической статистике индексом называют относительную величину, показывающую, во сколько раз изменяется некоторая другая величина при переходе от одного момента (периода) времени к другому (индекс динамики), от одного региона к другому (территориальный индекс) или в общем случае Ч при изменении условий, в которых данная величина измеряется. Так, например, в советской статистике широкое распространение имел индекс выполнения планового задания, который рассчитывается как отношение фактического значения величины к ее плановому значению.
Значение величины, с которым производится сравнение, часто называют базисным (измеренным в базисных условиях). Значение величины, которое сравнивается с базисным, называют текущим (измеренным в текущих условиях). Эта терминология сложилась в анализе динамики, но применяется и в более общей ситуации. Если y0 и y1 Ч соответственно базисное и текущее значение величины, yто индексом ее изменения является 01 =.
y y90 Глава 3. Индексный анализ В общем случае речь идет о величинах yt, измеренных в условиях t =0,..., T, ys и об индексах rs =, где r и s принимают значения от 0 до T, и, как правило, y yr r При таком определении система индексов обладает свойством транзитивности или, как говорят в экономической статистике, цепным свойством (нижний индексуказатель опущен): rs = rt1t1t2 ... tns, гд е r, s ивсе ti, i =1,..., n также находятся в интервале от 0 до T, и, как следствие, свойством обратимости: rs =, поскольку tt =1. sr Это Ч самое общее определение индексов, не выделяющее их особенности среди других относительных величин. Специфика индексов и сложность проблем, возникающих в процессе индексного анализа, определяется следующими тремя обстоятельствами. 1) Задача индексного анализа состоит в количественной оценке не только самого изменения изучаемой величины, но и причин, вызвавших это изменение. Необходимо разложить общий индекс на частные факторные индексы. Пусть (верхний индекс-указатель опущен) y = xa, (3.1) где y и x Ч объемные величины, a Ч относительная величина. Примерами таких троек являются: (a) объем производства продукта в стоимостном выражении, тот же объем производства в натуральном выражении, цена единицы продукта в натуральном выражении; (b) объем производства, количество занятых, производительность труда; (c) объем производства, основной капитал, отдача на единицу капитала; (d) объем затрат на производство, объем производства, коэффициент удельных затрат. В общем случае формула имеет вид n y = x aj, (3.2) j=где все aj являются относительными величинами. Примером использования этой формулы при n =2 может явиться сочетание приведенных выше примеров (a) и (b). В этом случае y Ч объем производства 3.1. Основные проблемы продукта в стоимостном выражении, x Ч количество занятых, a1 Ч производительность труда, a2 Ч цена единицы продукта. Этот пример можно усложнить на случай n =3 : a1 Ч коэффициент использования труда, a2 Ч технологическая производительность труда, a3 Чцена. Дальнейшие рассуждения будут, в основном, проводиться для исходной ситуации ( n =1, нижний индекс-указатель у a1 опускается). По аналогии с величиной rs, которую можно назвать общим индексом, расy считываются частные или факторные индексы для x и a : xs as rs =, rs =. x xr a ar Первый из них можно назвать индексом количества, второй Ч индексом качества. Оба частных индекса, как и общий индекс, транзитивны и обратимы. Кроме того, вслед за (3.1) выполняется следующее соотношение (верхние индексыуказатели опущены): y = xa, и поэтому говорят, что эти три индекса обладают свойством мультипликативности. Таким образом, факторные индексы количественно выражают влияние факторов на общее изменение изучаемой величины. 2) Пока неявно предполагалось, что величины y, x, a и, соответственно, все рассчитанные индексы характеризуют отдельный объект, отдельный элемент совокупности. Такие индексы называют индивидуальными, и их, а также связанные с ними величины, следует записывать с индексом-указателем i объекта (верхние индексы-указатели t, r, s опущены): yi, xi, ai, yi, xi, ai. До сих пор этот индекс-указатель опускался. Никаких проблем в работе с индивидуальными индексами не возникает, в частности, они по определению обладают свойством транзитивности и мультипликативности. Предметом индексного анализа являются агрегированные величины. Предполагается, что yi аддитивны, т.е. выражены в одинаковых единицах измерения, и их можно складывать. Тогда (верхние индексы-указатели опущены) N N y = yi = xiai. Книги по разным темам