Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |   ...   | 35 |

(1) Применяя первый подход, получаем оцененную модель Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.548392 0.377080 1.454312 0.X 0.718479 0.079943 8.987361 0.Y(-1) 0.913556 0.067811 13.47210 0.X(-1) -0.641522 0.088805 -7.223976 0.R-squared 0.987574 Mean dependent var -0.По сравнению с ранее рассмотренным случаем, в котором ряды 1t и 2t были между собой статистически не связанными, теперь оказываются статистически значимыми и www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru коэффициенты при переменных xt и xt - 1. Исключая из правой части модели константу, получаем:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

X 0.695862 0.079341 8.770553 0.Y(-1) 1.005257 0.025245 39.82053 0.X(-1) -0.707002 0.077447 -9.128837 0.R-squared 0.987003 Mean dependent var -0.т.е. yt = 1.005 yt - 1 + 0.695 xt - 0.707 xt - 1 + et. Оценка коэффициента при yt - 1 близка к 1; оцененные коэффициенты при xt и xt - 1 близки по абсолютной величине и противоположны по знаку, что вполне согласуется с реализованной моделью DGP.

(2) Применяя второй подход, получаем оцененную модель Dependent Variable: D(Y) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.100915 0.083851 1.203508 0.D(X) 0.694000 0.077274 8.981039 0.R-squared 0.626921 Mean dependent var 0.И здесь, в отличие от ранее использовавшегося DGP, становится значимым коэффициент при переменной xt, что отражает коррелированность случайных величин 1t и 2t, т.е. коррелированность xt и yt. Исключая из правой части уравнения статистически незначимую константу, получаем:

Dependent Variable: D(Y) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D(X) 0.709553 0.076533 9.271155 0.т.е. yt = 0.710 xt + et, или yt = yt - 1 + 0.710 xt - 0.710 xt - 1 + et.

(3) Наконец, применяя третий подход, оцениваем модель yt = * + yt - 1 + (xt - xt - 1) + t ;

при этом получаем:

Dependent Variable: Y Convergence achieved after 8 iterations Y=C(1)+C(2)*Y(-1)+C(3)*(X-C(2)*X(-1)) Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(1) 0.329205 0.250398 1.314726 0.C(2) 0.941984 0.056946 16.54170 0.C(3) 0.723593 0.079341 9.119982 0.R-squared 0.987410 Mean dependent var -0.Здесь становится статистически значимым коэффициент.

Исключение из правой части константы дает:

Dependent Variable: Y Convergence achieved after 4 iterations Y=C(2)*Y(-1)+C(3)*(X-C(2)*X(-1)) www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(2) 1.014411 0.020750 48.88608 0.C(3) 0.702102 0.078268 8.970448 0.т.е. yt = 1.014 yt - 1 + 0.702 (xt - 1.014 xt - 1) + e t, или yt = 1.014 yt - 1 + 0.702 xt - 0.712 xt - 1 + e t Отметим близость результатов, полученных тремя методами:

yt = 1.005 yt - 1 + 0.695 xt - 0.707 xt - 1 + et (метод 1), yt = yt - 1 + 0.710 xt - 0.710 xt - 1 + et (метод 2), yt = 1.014 yt - 1 + 0.702 xt - 0.712 xt - 1 + e t (метод 3).

Фактически, во всех трех случаях воспроизводится одна и та же линейная модель связи между рядами разностей:

yt = 0.7 xt + et.

Эта регрессионная связь между продифференцированными рядами не является ложной (в отличие от регрессионной связи между рядами уровней): статистика Дарбина - Уотсона принимает значение 1.985; P-значение критерия Jarque - Bera равно 0.344.

Замечание В связи с результатами, полученными при рассмотрении последних примеров, естественно возникает следующий вопрос, который поднимался в свое время различными исследователями. Не будет ли разумным, имея дело с рядами, траектории которых обнаруживают выраженный тренд, сразу приступать к оцениванию связей между рядами разностей (между продифференцированными рядами) Против некритичного использования такого подхода говорят два обстоятельства:

(a) Если ряды в действительности стационарны относительно детерминированного тренда, то тогда дифференцирование приводит к передифференцированным рядам, имеющим необратимую MA составляющую.

(b) Если ряды являются интегрированными порядка 1 и при этом коинтегрированы, то при переходе к продифференцированным рядам теряется информация о долговременной связи между уровнями этих рядов.

Дифференцирование рядов оправданно и полезно, если ряды являются интегрированными, но при этом между ними отсутствует коинтеграционная связь.

7.2. Коинтегрированные временные ряды. Модели коррекции ошибок Пусть yt ~ I(1), xt ~ I(0). Строить регрессию yt на xt в этом случае бессмысленно, т.к.

для любых a и b в такой ситуации yt - a - b xt ~ I(1).

Пусть, наоборот, yt ~ I(0), xt ~ I(1). Для любых a и b 0 здесь опять yt - a - b xt ~ I(1), и только при b = 0 получаем yt - a - b xt ~ I(0), так что и в таком сочетании строить регрессию одного ряда на другой не имеет смысла.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Пусть теперь yt ~ I(1), xt ~ I(1) - два интегрированных ряда.

Если для любого b yt - b xt ~ I(1), то регрессия yt на xt является фиктивной, и мы уже выяснили, как следует действовать в такой ситуации.

Обратимся теперь к случаю, когда при некотором b yt - b xt ~ I(0) - стационарный ряд.

Если это так, то ряды yt и xt называют коинтегрированными рядами, а вектор (1, - b)T - коинтегрирующим вектором.

Вообще, ряды yt ~ I(1), xt ~ I(1) называют коинтегрированными (в узком смысле - детерминистская коинтеграция), если существует ненулевой (коинтегрирующий) вектор = (1, 2)T 0, для которого 1 xt + 2 yt ~ I(0) - стационарный ряд.

Заметим, что если вектор = (1, 2)T является коинтегрирующим вектором для рядов xt и yt, то тогда коинтегрирующим для этих рядов будет и любой вектор вида с = (с1, с2)T, где с 0 - постоянная величина. Чтобы выделить какой-то определенный вектор, приходится вводить условие нормировки, например, рассматривать только векторы вида (1, - b)T (или только векторы ( - a, 1)T ).

Поскольку мы предполагаем сейчас, что xt, yt ~ I(1), то ряды разностей xt, yt стационарны. Будем предполагать в дополнение, что стационарен векторный ряд (xt, yt)T, так что для него существует разложение Вольда в виде скользящего среднего (xt, yt)T = + B(L) t, где = ( 1, 2 )T, 1 = E(xt ), 2 = E(yt) ;

t = (1t, 2t )T - векторный белый шум, т.е.

1, 2, Е - последовательность не коррелированных между собой, одинаково распределенных случайных векторов, для которых E( t) = (0, 0)T, D(1t) = 12, D(2t) = 22, Cov(1t, 2t ) = 12 - постоянные величины;

(k (k 1 b11 ) b12 ) k B(L) = b b22 L.

0 1 + (k ) (k ) k = Знаменитый результат Гренджера ([Granger (1983)], см. также [Engle, Granger (1987)]) состоит в том, что в случае коинтегрированности I(1) рядов xt и yt (в узком смысле) (I) В разложении Вольда (xt, yt)T = + B(L) t матрица B(1) имеет ранг 1.

(II) Система рядов xt и yt допускает векторное ARMA представление A(L) (xt, yt )T = c + d(L) t, в котором t - тот же векторный белый шум, что и в (I), c = (c1, c2)T, c1 и c2 - постоянные, A(L) - матричный полином от оператора запаздывания, d(L) - скалярный полином от оператора запаздывания, причем www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru A(0) = I2 (единичная матрица размера 22), rank A(1) = 1 (ранг 22-матрицы A(1) равен 1), значение d(1) конечно.

В связи с тем, что в последнем представлении ранг (22)-матрицы A(1) меньше двух, об этом представлении часто говорят как о векторной авторегрессии пониженного ранга (reduced rank VAR).

В развернутой форме представление (II) имеет вид p q (a1 ) t j j j j k x = c1 + xt - + b1 yt - + 1,t - k, j = 1 k = p q y = c2 + xt - + b2 yt - (a2 )+ 2,t - k t j j j j k j = 1 k = При этом верхние пределы p и q у сумм в правых частях могут быть бесконечными.

Если возможно векторное AR представление, то в нем d(L) 1, p <.

(III) Система рядов xt и yt допускает представление в форме модели коррекции ошибок (error correction model - ECM) xt = 1 + 1zt - 1 + (1 jxt - j + 1 jyt - j) + 1,t - k, k j = 1 k = yt = 2 + 2zt - 1 + ( xt - j + yt - j) + 2,t - k, 2 j 2 j k j = 1 k = где zt = yt - xt - E(yt - xt) - стационарный ряд с нулевым математическим ожиданием, zt ~ I(0), и 12 + 22 > 0.

Если в (II) возможно векторное AR(p) представление (p < ), то тогда ECM принимает вид p - xt = 1 + 1zt - 1 + ( xt - j + 1 jyt - j) + 1,t, 1 j j = p - yt = 2 + 2zt - 1 + ( xt - j + yt - j ) + 2,t, 2 j 2 j j = Здесь важно отметить следующее:

Х Если ряды xt, yt ~ I(1) коинтегрированы, то все составляющие в ECM стационарны.

Х Если векторный ряд (xt, yt)T ~ I(1) (так что векторный ряд (xt, yt)T стационарен) и порождается ECM моделью, то ряды xt и yt коинтегрированы.

(Действительно, в этом случае все составляющие ECM, отличные от ztЦ1, стационарны; но тогда стационарна и zt - 1.) www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Х Если ряды xt, yt ~ I(1) коинтегрированы, то тогда VAR в разностях не может иметь конечный порядок. (В отличие от случая, когда ряды xt и yt не коинтегрированы.) Абсолютную величину zt = yt - - xt, где = E(yt - xt), можно рассматривать как расстояние, отделяющее систему в момент t от равновесия, задаваемого соотношением yt - - xt = 0. Величины и направления изменений xt и yt принимают во внимание величину и знак предыдущего отклонения от равновесия zt - 1.

Ряд zt, конечно, вовсе не обязательно убывает по абсолютной величине при переходе от одного периода времени к другому, но он является стационарным рядом, и поэтому расположен к движению по направлению к своему среднему.

Замечание Переменная xt не является причиной по Гренджеру для переменной yt, если неучет прошлых значений переменной xt не приводит к ухудшению качества прогноза значения yt по совокупности прошлых значений этих двух переменных. Переменная yt не является причиной по Гренджеру для переменной xt, если неучет прошлых значений переменной yt не приводит к ухудшению качества прогноза значения xt по совокупности прошлых значений этих двух переменных. (Качество прогноза измеряется среднеквадратичной ошибкой прогноза.) Если xt, yt ~ I(1) и коинтегрированы, то должна иметь место причинность по Гренджеру, по крайней мере, в одном направлении. Этот факт вытекает из представления такой системы рядов в форме ECM, в которой 12 + 22 > 0. Значение xt через посредство zt - 1 помогает в прогнозировании значения yt (т.е. переменная xt - является причиной по Гренджеру для переменной yt), если 2 0. Значение yt - 1 через посредство zt - 1 помогает в прогнозировании значения xt (т.е. переменная yt является причиной по Гренджеру для переменной xt), если 1 0.

Замечание Пусть xt, yt ~ I(1) коинтегрированы и wt ~ I(0). Тогда для любого k коинтегрированы ряды xt и yt - k + wt, 0. Формально, если xt ~ I(1), то коинтегрированы ряды xt и xt - k. (Действительно, тогда xt - xt - k = xt + xt - 1 + Е + xt - k - сумма I(0)переменных, которая также является I(0)-переменной.) Итак, при коинтегрированности рядов xt, yt ~ I(1) мы имеем Х модель долговременной (равновесной) связи yt = + xt ;

Х модель краткосрочной динамики в форме ECM, и эти модели согласуются друг с другом.

Проблема, однако, состоит в том, что для построения ECM по реальным статистическим данным нам надо знать коинтегрирующий вектор (в данном случае, знать значение ). Хорошо, если этот вектор определяется экономической теорией. К сожалению, чаще его приходится оценивать по имеющимся данным.

Энгл и Гренджер [Engle, Granger (1987)] рассмотрели двухшаговую процедуру, в которой на первом шаге значения и оцениваются в рамках модели регрессии yt на xt yt = + xt + ut.

Получив методом наименьших квадратов оценки и (НK-оценки), мы тем самым находим оцененные значения отклонений от положения равновесия www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru t = yt - - xt - это просто остатки от оцененной регрессии.

После этого, на втором шаге, методом наименьших квадратов раздельно (не как система!) оцениваются уравнения p - xt = 1 + 1t - 1 + ( xt - j + 1 jyt - j) +t, 1 j j = p - yt = 2 + 2t - 1 + ( xt - j + yt - j) + wt, 2 j 2 j j = (т.е. предполагается модель VAR(p) для xt, yt).

Определяющим в этой процедуре является то обстоятельство, что получаемая на первом шаге оценка быстрее обычного приближается (по вероятности) к истинному значению - второй компоненте коинтегрирующего вектора (1, )T. ( является суперсостоятельной оценкой для.) Это, в конечном счете, приводит к тому, что оценки в отдельном уравнении ECM, использующие оцененные значения zt-1, имеют то же самое асимптотическое распределение, что и оценка максимального правдоподобия, использующая истинные значения zt-1. (Обычно это асимптотически нормальное распределение.) При этом НК-оценки стандартных ошибок всех коэффициентов являются состоятельными оценками истинных стандартных ошибок.

Заметим, что последние результаты справедливы несмотря на то, что ряд оцененных значений t формально не является стационарным, поскольку.

Отметим также, что если мы хотим использовать другую нормировку коинтегрирующего вектора в виде (, 1)T, то нам придется оценивать регрессию xt на константу и yt, и это приведет к вектору, не пропорциональному вектору, оцененному в первом случае.

Замечание Тот факт, что быстрее обычного сходится (по вероятности) к, вовсе не означает,что мы можем пользоваться на первом шаге процедуры Энгла - Гренджера обычными регрессионными критериями. Дело в том, что получаемые на первом шаге оценки и статистики, вообще говоря, имеют нестандартные асимптотические распределения.

Однако первый шаг является в данном контексте вспомогательным, и на этом шаге нет необходимости обращать внимание на сообщаемые в протоколах соответствующих пакетов программ значения статистик.

Напротив, на втором шаге мы можем использовать обычные статистические процедуры (разумеется, если количество наблюдений не мало и если коинтеграция имеется).

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |   ...   | 35 |    Книги по разным темам