Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |   ...   | 76 |

1 2) Покажите, что функция arctg разрывна при x = 0, что функция x arctg x x непрерывна в этой точке, но не имеет в ней производной, и что функция x2 arctg дифференцируема при x = 0. (В двух последних примерах x следует положить значение функций при x = 0 равным нулю.) 2. Интеграл. Аналогично и положение с интегралом от непрерывной функции f(x). Вместо того чтобы площадь под кривой принимать как величину, объективно существующую и которую a posteriori можно выразить с помощью предела последовательности конечных сумм, этот предел в анализе принимают в качестве определения интеграла.

Эта концепция интеграла образует первичную основу, из которой затем выводится понятие площади. Мы вынуждены стать на эту точку зрения вследствие сознания того, что геометрическая интуиция обладает известной расплывчатостью, когда она применяется к таким общим аналитическим понятиям, как непрерывная функция. Мы начнем с по496 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII строения суммы n n Sn = f(vj)(xj - xj-1) = f(vj)xj, (1) j=1 j=где x0 = a, x1,..., xn = b Ч точки деления промежутка интегрирования, xj = xj - xj-1 Ч приращение переменной x, или длина j-го частного промежутка, а vj Ч произвольное значение переменного x в этом частном промежутке, т. е. xj-1 vj xj (мы можем взять, например, vj = xj или vj = xj-1.) Далее, мы образуем последовательность подобных сумм, в которых число n частных промежутков возрастает, причем длина максимального частного промежутка стремится к нулю. Тогда справедливо следующее основное положение: сумма Sn, составленная для данной непрерывной функции f(x), стремится к некоторому определенному пределу A, не зависящему от способа разбиения промежутка интегрирования и от вы b бора точек vj. По определению, этот предел есть интеграл A = f(x)dx.

a Конечно, существование этого предела должно быть аналитически доказано, если мы не хотим ссылаться на интуитивное геометрическое представление площади. Это доказательство приводится в каждом руководстве анализа, учитывающем требования математической строгости.

Сравнение дифференцирования и интегрирования приводит нас к следующему противопоставлению. Свойство дифференцируемости, несомненно, налагает ограничительное условие на класс всех непрерывных функций; вместе с тем фактическое выполнение операции дифференцирования сводится на практике к процедурам, основанным лишь на нескольких простых правилах. В противоположность этому каждая непрерывная функция без исключения интегрируема, так как обладает интегралом между любыми двумя данными пределами. Однако прямое вычисление интегралов, понимаемых как пределы сумм, даже в случае самых простых функций, вообще говоря, дело очень трудное. Но тут-то и оказывается, что основная теорема анализа во многих случаях становится решающим орудием при осуществлении интегрирования. И все же для большей части функций, в том числе даже для некоторых совершенно элементарных, интегрирование не дает простых явных выражений, и числовые выкладки для интегралов требуют более продвинутых методов.

3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой. Оторвав аналитическое представление интеграла от его первоначальной геометрической интерпретации, мы встречаемся с целым рядом других, не менее важных интерпретаций и приложений этого основного понятия. Например, в механике интеграл может быть интерз 1 ВОПРОСЫ ПРИНЦИПИАЛЬНОГО ПОРЯДКА претирован как выражение работы. Достаточно будет разъяснить это на следующем простом примере. Предположим, что некоторая масса движется по оси x под влиянием силы, направленной вдоль этой оси.

Будем считать, что вся масса сосредоточена в одной точке с координатой x и что сила задана как функция этой точки f(x), причем знак функции f(x) указывает на направление силы. Если сила постоянна и передвигает массу из точки a в точку b, то работа, произведенная ею, равна произведению величины силы f на пройденный массой путь:

(b - a)f. Но если сила меняется вместе с изменением x, то придется определять общую произведенную работу с помощью предельного процесса (подобно тому, как мы прежде определяли скорость). Для этой цели мы разобьем промежуток от a до b, как и прежде, на мелкие частные промежутки точками x0 = a, x1, x2,..., xn = b; затем предположим, что в каждом частном промежутке сила остается постоянной и равной, скажем, величине f(x ), истинному значению силы в конечной точке, и вычислим работу, соответствующую такой ступенчатой силе:

n Sn = f(x )x.

=Если мы теперь, как раньше, станем уменьшать промежутки деления, заставляя n неограниченно расти, мы увидим, что сумма будет стремиться к интегралу b f(x)dx.

a Таким образом, работа, совершаемая непрерывно меняющейся силой, определена с помощью интеграла.

В частности, рассмотрим массу m, связанную с началом координат x = 0 упругой пружиной. Сила f(x), согласно рассуждению на стр. 486, будет пропорциональна x, f(x) = -k2x, где k2 Ч положительная постоянная. Тогда работа, совершенная этой силой при перемещении массы m из начала координат в точку b, выразится интегралом b b(-k2x)dx = -k2, a а работа, которую мы сами должны затратить при растяжении пружины bдо точки b, равна +k2.

Другое приложение общего понятия интеграла Ч это вычисление длины дуги кривой. Предположим, что рассматриваемая часть кривой 498 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII dy представлена функцией y = f(x), производная которой f (x) = также dx непрерывная функция. Для того чтобы определить длину, мы будем действовать точно так, как если бы нам надо было измерить длину кривой для практических целей при помощи линейки с делениями. Впишем в дугу AB ломаную линию с n маленькими сторонами, измерим общую длину (периметр) Ln этой ломаной и станем рассматривать эту длину как некоторое приближение; заставим n возрастать, а наибольшую из сторон ломаной Ч стремиться к нулю; тогда мы получим в качестве длины дуги AB следующий предел:

L = lim Ln.

(В главе VI этим же способом была получена длина окружности как предел периметра вписанного правильного n-угольника.) Можно доказать, что для достаточно гладких кривых этот предел существует и не зависит от того, каким образом выбирается последовательность вписанных ломаных. Те кривые, для которых это имеет место, называются спрямляемыми. Всякая порядочная кривая, встречающаяся в теории или ее приложениях, оказывается спрямляемой, и мы не станем углубляться в исследование патологических случаев.

Достаточно будет показать, что дуга AB для функции y = f(x) с непрерывной производной f (x) имеет длину L в указанном смысле и что длина L может быть выражена с помощью интеграла.

С этой целью обозначим абсx1 x2 x циссы точек A и B соответственно через a и b, затем разобьем проРис. 286. К определению длины дуги межуток от a до b, как и прежде, точками a = x0, x1, x2,..., xn = b с разностями xj = xj - xj-1 и рассмотрим ломаную линию с вершинами (xj, yj = f(xj)), расположенными над точками деления. Длина одной из сторон ломаной выразится формулой yj (xj - xj-1)2 + (yj - yj-1)2 = x2 + yj = xj 1 +.

j xj Отсюда для общей длины ломаной линии получается выражение n yj Ln = 1 + xj.

xj j=Если заставить теперь n стремиться к бесконечности, то разностное отз 1 ВОПРОСЫ ПРИНЦИПИАЛЬНОГО ПОРЯДКА yj dy ношение будет стремиться к производной = f (x), и мы получим xj dx для длины L интегральное выражение b L = 1 + [f (x)]2 dx. (2) a Не вдаваясь в дальнейшие подробности этих теоретических рассуждений, мы сделаем два дополнительных замечания. Во-первых, если точку B считать подвижной точкой на данной кривой с абсциссой x, то L = L(x) становится функцией переменного x, и, согласно основной теореме, мы имеем формулу dL L (x) = = 1 + [f (x)]2, dx которую часто приходится применять. Во-вторых, хотя формула (2) и дает лобщее решение задачи нахождения длины дуги, все же она редко позволяет найти явное выражение этой длины в отдельных частных случаях. В самом деле, чтобы получить числовое значение длины дуги, мы должны подставить данную функцию f(x), или, точнее, f (x), в формулу (2) и тогда осуществить фактическое интегрирование полученного выражения. Но здесь возникают, вообще говоря, непреодолимые трудности, если мы ограничим себя областью элементарных функций, рассмотренных в этой книге. Укажем небольшое число случаев, для которых интегрирование возможно. Функция y = f(x) = 1 - xимеет графиком единичный круг; для нее мы получаем dy x f (x) = = -, откуда 1 + [f (x)]2 = ;

dx 1 - x2 1 - xследовательно, длина дуги окружности выражается интегралом b dx = arcsin b - arcsin a.

1 - xa Для случая параболы y = x2 мы имеем f (x) = 2x, а длина дуги от x = до x = b равна b 1 + 4x2 dx.

a Для кривой y = ln sin x мы имеем f (x) = ctg x, и длина дуги выражается интегралом b 1 + ctg2 x dx.

a 500 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII Мы удовольствуемся лишь простым написанием этих интегральных выражений. Их можно было бы вычислить, применяя несколько более развитую технику интегрирования, чем та, которая имеется в нашем распоряжении, но мы не пойдем дальше в этом направлении.

з 2. Порядки возрастания 1. Показательная функция и степени переменного x. В математике мы постоянно встречаемся с последовательностями чисел an, которые имеют бесконечный предел. Часто бывает нужно сравнить такую последовательность с другой последовательностью, например, чисел bn, тоже стремящихся к бесконечности, но, может быть, быстрее, чем последовательность чисел an. Уточним это понятие: мы скажем, что bn стремится к бесконечности быстрее, чем an, или bn имеет более высокий an порядок возрастания, чем an, если отношение (в котором как числиbn тель, так и знаменатель стремятся к бесконечности) стремится к нулю при возрастании n. Например, последовательность bn = n2 стремится к бесконечности быстрее, чем последовательность an = n, а эта последо вательность, в свою очередь, быстрее, чем последовательность cn = n, так как an n 1 cn n = = 0, = = 0.

bn n2 n an n n Ясно, что ns стремится к бесконечности быстрее чем nr (при s > r > 0), nr так как = 0.

ns ns-r an Если отношение стремится к некоторой конечной постоянной c, bn отличной от нуля, то мы говорим, что обе последовательности an и bn стремятся к бесконечности с одинаковой скоростью или что они имеют одинаковый порядок возрастания. Так, например, an = n2 и bn = 2n2 + n имеют один и тот же порядок возрастания, потому что an n2 1 = =.

bn 2n2 + n 2 + n Могла бы возникнуть мысль, что возрастание любой последовательности an с бесконечным пределом может быть лизмерено с помощью степеней ns так же, как любой отрезок может быть измерен с помощью линейки с делениями. Стоило бы только для этого найти подходящую степень ns с тем же порядком возрастания, что и an, т. е. такую, что an отношение стремится к некоторой конечной, отличной от нуля поns стоянной. Но совершенно замечательным является то обстоятельство, что осуществить это отнюдь не всегда возможно Ч хотя бы потому, что показательная функция an при a > 1 (например, en) стремится к бесконечности быстрее, чем какая бы то ни было степень ns, как бы велик з 2 ПОРЯДКИ ВОЗРАСТАНИЯ ни был показатель s; с другой стороны, функция ln n стремится к бесконечности медленнее, чем какая бы то ни было степень ns, как бы мал ни был положительный показатель s. Другими словами, мы имеем соотношения ns 0 (1) an и ln n 0 (2) ns при n. Заметим, что показатель степени s Ч не обязательно целое число; он может быть любым фиксированным положительным числом.

Для того чтобы доказать соотношение (1), мы упростим наше утверждение тем, что извлечем из соотношения (1) корень степени s;

ясно, что вместе с корнем стремится к нулю и подкоренное выражение.

Итак, нам остается только доказать, что n n s a s при возрастании n. Пусть b = a ; так как по предположению a больше единицы, то и b и b = b также больше 1. Можно написать b = 1 + q, где q положительно. Теперь, в силу неравенства (6) на стр. 34, n b = (1 + q)n 1 + nq > nq, так что n s a = bn > n2q2, и следовательно, n n < =.

n n2q2 nqs a Так как выражение справа стремится к нулю при n, доказательство закончено.

Нужно заметить, что соотношение xs 0 (3) ax остается в силе, когда x стремится к бесконечности любым способом, пробегая последовательность x1, x2,..., которая может и не совпадать с последовательностью 1, 2, 3,... целых положительных чисел. В самом деле, при n - 1 x n мы имеем xs ns ns < = a 0.

ax an-1 an Это замечание можно использовать для доказательства соотношения (3). Если положить x = ln n и es = a, так что ns = (es)x, то дробь в левой части (2) примет вид x, ax 502 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII и мы приходим к выражению, имеющемуся в соотношении (3) при s = 1.

Упражнения. 1) Докажите, что при x функция ln ln x стремится к бесконечности медленней, чем ln x.

x 1 2) Производная от функции равна разности -. Докажите, ln x ln x (ln x)что при возрастании x производная ласимптотически равна первому члену,, т. е. что отношение упомянутых величин при x стремится к 1.

ln x 2. Порядок возрастания функции ln(n!). Во многих приложениях, например в теории вероятностей, важно знать порядок возрастания или ласимптотическое поведение выражеy ния n! при очень больших значениях n. Займемся здесь изучением логарифма от n!, т. е.

выражения Pn = ln 2 + ln 3 +... + ln n.

Мы покажем, что в качестве ласимптотического знаx O 1 2 n 1 n n чения выражения Pn может служить произведение n ln n, т. е. что Рис. 287. Оценка ln(n!) ln(n!) n ln n при n.

Проведем доказательство так, как это обыкновенно делается, когда нужно сравнить сумму с интегралом. На рис. 287 сумма Pn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены сплошными линиями и общая площадь которых не превосходит площади n+ ln x dx = (n + 1) ln(n + 1) - (n + 1) + под логарифмической кривой в пределах от 1 до n + 1 [см. стр. 532, упражнение а)]. Но в то же самое время сумма Pn равна сумме площадей прямоугольников, верхние стороны которых обозначены пунктиром и общая площадь которых превосходит площадь под той же кривой в пределах от 1 до n, n ln x dx = n ln n - n + 1.

Отсюда мы имеем n ln n - n + 1 < Pn < (n + 1) ln(n + 1) - n;

з 3 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ разделив это неравенство на n ln n, получим 1 1 Pn 1 ln(n + 1) 1 - + < 1 + - = ln n n ln n n ln n n ln n ln n ln n + ln 1 + 1 n = 1 + -.

n ln n ln n Очевидно, и верхняя и нижняя границы, между которыми заключено Pn отношение, стремятся к единице, и таким образом наше утвержn ln n дение доказано.

Упражнение. Докажите, что упомянутые выше границы, соответствен1 но, больше чем 1 - и меньше чем 1 +.

Pages:     | 1 |   ...   | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |   ...   | 76 |    Книги по разным темам