Книги по разным темам
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 7 | Необходимым и достаточным условием устойчивости корней этого уравнения является следующее: e-T/T + kT < 1.
Видно, что с увеличением Т условие может быть нарушено.
В то же время исходная непрерывная система имеет передаточную функцию:
k W ( p) T1 p +1 kp Wз.с.( p) = = = ;
k 1+W ( p)Woc ( p) T1 p2 + p + k 1+ (T1 p +1) p Ясно, что эта система устойчива всегда при Т1 >0 и К>0.
Необходимым и достаточным условием устойчивости в терминах Zпреобразования является следующее вытекающее из формулы pT z = e требование к корням характеристического уравнения P(z)=0:
Необходимое и достаточное условие устойчивости:
|zi| < 1 (все корни характеристического уравнения P(z)=0 лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости Z ).
Практическое значение имеют критерии устойчивости, то есть способы проверки факта устойчивости без непосредственного решения характеристического уравнения. Также, как и в случае непрерывных систем, их можно разделить на алгебраические и частотные.
Х Прежде всего отметим, что вообще классические критерии устойчивости предназначены для проверки факта расположения корней в левой полуплоскости, значит, в принципе не подходят для Z преобразования Х Алгебраические критерии устойчивости непосредственно неприменимы, так как характеристическое уравнение в терминах дискретного преобразования Лапласа вообще не полиномиально. Критерий Гурвица, например, неприменим.
Х Частотные критерии применимы для импульсных систем, если пользоваться дискретным преобразованием Лапласа. При этом, например, эффективно применим критерий Найквиста.
Чтобы использовать одновременно известные критерии устойчивости и преимущества Z - преобразования (полиномиальность всех выражений) применим следующий приём из теории функций комплексного переменного: с помощью дробнорациональной функции отобразим внутренность единичного круга в левую полуплоскость. Пользуемся здесь известным свойством такого отображения - сохранять вид дробно-рациональной функции.
-преобразование - обладает требуемыми свойствами:
2 z -1 2 + T = z = T z +1 2 - T В плоскости для проверки устойчивости можем пользоваться всеми обычными критериями.
Покажем, более того, что при достаточно малых значениях частоты j в плоскости p мы получаем практически совпадающие с ним значение j* в плоскости, т.е. частотные настоящие характеристики мало отличаются от частотных характеристик в плоскости. По крайней мере, они практически не отличаются при условии: < p.
< j T } 2 e - 1 2 * = = j tg j j T T T 2 T e + * * j = j T T j j T z = e = e 2 +T Im p pT Im z Im z = e z = 2 -T j j j* ejT Re pi<0 Re p |z i| <1 Re z Re i<0 Re Рис. 6.Заштрихованные области соответствуют устойчивости Вывод: после - преобразования получается частотная * характеристика (при подстановки = j ), с которой можно обращаться как с обычной частотной характеристикой, только помнить, что рассматриваемая частота должна быть достаточно мала. В частности, в инженерной практике после - преобразования применяются те же методы частотного синтеза для импульсных систем, что и для непрерывных.
Ещё раз отметим, что нужно помнить: * < p Также - преобразование можно применять и для использования алгебраических критериев устойчивости.
Пример: система 2-го порядка с характеристическим полиномом:
Так как использовано zP(z) = z2 + az + b = преобразование, то нужно, чтобы z1,2 < 1 - требование устойчивости корни этого характеристического уравнения находились внутри единичного круга. Для этого сделаем - преобразование:
2 + T 2 + T 2 + T z = ; P(w) = ( )2 + a + b = 0;
2 - T 2 - T 2 - T Подставляем:
(2 + T)2 + a(2 + T)(2 - T) + b(2 - T)2 Q1() P() = = = P1() (2 - T)Получаем полином:
2 2 2 Q1() = (T - aT + bT )+ (4T - 2bT )+ (4 + 4a + 4b) = К этому полиному 2го порядка применим критерий Гурвица:
коэффициенты полинома должны быть одного знака:
1- a + b > Решая эти неравенства, видим: -1
Также можно исследовать устойчивость с помощью частотных критериев Михайлова и Найквиста, если после - преобразования построить АФЧХ или ЛАЧХ для "псевдочастоты" при подстановке =j*. Надо лишь учитывать, что корректные результаты получатся при выполнении ограничения * < p.
Для рассмотренного выше примера соответствующий годограф Михайлова будет иметь вид:
P(j*)= -*2(T2-aT2+bT2)+ j*(4T-2bT) +(4+4a+4b)= Re P(*)+ jIm P(*) Точно так же строятся и логарифмические частотные характеристики ЛАЧХ и ФЧХ: L(*) и (*).
Х Лекция 7.
Точность импульсных систем автоматического управления.
Для оценки точности импульсных автоматических систем используются те же методы, что и для непрерывных. Так же рассматривается статическая точность и точность в переходном режиме. Вводятся коэффициенты ошибок и типовые показатели качества.
В установившемся режиме используют величину установившейся ошибки при различных типовых воздействиях, наиболее характерных для рассматриваемой системы. Основной метод исследования при этом - предельные теоремы операторного исчисления. В непрерывном случае (непрерывное преобразование Лапласа) имеет место теорема:
Здесь x(t) и X(p) - оригинал непрерывной l i m x(t) = l i m p X ( p);
t p функции и её преобразование Лапласа.
В случае Z - преобразования эта теорема преобразуется следующим образом (учитывая, что z=epT):
z -(7.1) l i m x(kT ) = l i m X (z);
k Z 1 z В замкнутой импульсной системе ошибка е(z), задающее воздействие Uзад(z) и возмущающее воздействие f(z) связаны следующим образом:
Uзад(z) e(z) f(z) Y(z) W(z) (-) Рис. 7.Yoc(z) Woc(z) e(z) = Wзс(z) Uзад (z) + We(z) f(z);
Это выражение содержит две составляющие ошибки, первая из которых обусловлена задающим воздействием, а вторая возмущающим.
Установившаяся ошибка импульсной системы может быть вычислена с помощью теоремы о предельном значении:
z -1 z -l i m e(kT) = l i m ( Wзс (z) Uзад (z) + We(z) f(z)X (z));
k Z 1 z z Определим установившуюся ошибку системы по задающему воздействию, положив f(t) = 0. Получим:
z -1 l i m e(kT ) = l i m Uзад (z);
k Z 1 z 1+W (z)Woc (z) (7.2) Если на вход подается постоянное воздействие, изображение которого Uзад(z) =Uo z /(z -1), то в соответствии с (7.2) установившаяся l i m e(kT) = eуст = e = U0;
ошибка системы:
k 1+W (1)Woc (1) Для импульсных систем имеется понятие астатизма по задающему и возмущающему воздействиям. Так же, как и для непрерывных систем, эти понятия не обязательно совпадают. Как обычно, порядок астатизма определяется "числом интеграторов" в контуре. Точнее, z -1 1 поскольку для интегратора справедливо: Z(1/ p) = Z( ) =, z p2 z -то имеется следующее определение порядка астатизма:
W (z) = W1(z); где k - порядок астатизма системы, a W1(z) не (z -1)k имеет нулей и полюсов, равных единице. То есть в явном виде выделяется к интеграторов и больше их в разомкнутой системе нет.
Для того чтобы импульсная система имела нулевую установившуюся ошибку по задающему воздействию, необходимо, чтобы порядок ее астатизма по задающему воздействию превышал степень входного воздействия. Аналогично определяется и астатизм по возмущающему воздействию.
Определение коэффициентов ошибок для импульсной системы.
Разложив передаточную функцию системы по ошибке для задающего воздействия в степенной ряд по (1 -z -1), получим:
1 C1 -1 C2 -1 Ck -z z z We (z) = = C0 + ( )1 + ( )2 +.... +. ( )k +....;
2 k 1+ W (z)Woc (z) T z z z 2!T k!T Коэффициенты С0, С1,..... называют коэффициентами ошибок.
Таким образом, отличий от непрерывного случая практически нет.
Коэффициент ошибки Ск показывают величину ошибки в установившимся режиме при подаче на вход сигнала (полинома)степени к.
Для исследования точности САУ в динамическом режиме можно пользоваться прямым моделированием на ЦВМ или диаграммами Солодовникова, подобно непрерывному случаю.
Синтез корректирующих устройств также принципиально не отличается от непрерывного случая.
Удобно использовать ЛАЧХ и ФЧХ для псевдочастоты * при синтезе последовательного корректирующего устройства в области частот *< p.
L(w*)корректора = L(w)желаемая - L(w*)имеющаяся (w*)корректора = (w)желаемая - (w*)имеющаяся Заметим, что в этих формулах получается корректирующее устройство в терминах W(w*). Следовательно, чтобы перейти к переменному Z, надо сделать преобразование:
2 z -W (z)корректора = W ( )корректора T z +Х Лекция 8.
Описание импульсной системы в пространстве состояний Реализация импульсной передаточной функции.
Так же, как имеется переход от передаточной функции или дифференциального уравнения высокого порядка к системе или дифференциальных уравнений первого порядка для непрерывной системы, имеется такая же процедура и для импульсных систем, то есть для разностных уравнений, определённых для функций со значениями в разные моменты времени кТ.
pT Пусть имеется импульсная b0empT +L+ bm-1e + bm pT W (e ) = передаточная функция либо в терминах pT a0enpT +L+ an-1e + an дискретного преобразования Лапласа, либо в терминах Z - преобразования:
Импульсные функции на входе и выхоb0zm + L + bm-1z + bm W (z) = де блока, описываемого такой передаa0zn +L + an-1z + an точной функцией, обозначим u(kT) и и y(kT) соответственно.
u(z) = z-k u(kT ); y(z) = z-k y(kT ) k=0 k=Заметим, что умножение на z -1 соответствует сдвигу на один момент квантования назад, то есть, к предыдущему по времени значению.
z-1y(z) = z-k-1 y(kT ) k=Замечание: мы работаем в реальном времени. Поэтому текущее значение выхода системы может быть связано только с прошлыми, а не с будущими значениями функций.
Поэтому передаточную функцию W(z) нужно переписать с использованием отрицательных степеней z.
Разделим числитель и знаменатель W(z) на: z -n z-n b0 zm +L + bm-1z + bm b0 zm-n +L+ bm-1z1-n + bm z-n W (z) = = z-n a0 zn +L + an-1z + an a0 + L+ an-1z1-n + an z-n m n a0 y(kT ) + a1y((k -1)T ) + an y((k - n)T ) = b0u((k - n + m)T ) +K+ bmu((k - n)T ) y(kT) = ((-a1y((k -1)T ) +K + bmu((k - n)T ))) aЭто все можно свести к векторно-матричным операциям. Рассмотрим для простоты случай, когда передаточная функция в числителе имеет один коэффициент k.
kz-n W (z) = a0 + K + an z-n a0 y(kT ) + a1y((k -1)T ) +K + an y((k - n)T ) = ku((k - n)T ) (8.1) x1(k) = y(kT ) x (k -1) = y((k -1)T ) = x2 (k) MLLL xn (k -1) = y((k -1- n)T ) Выразим последнюю переменную xn через правую часть (11) и остальные переменные и получим систему уравнений:
x1(k) x2(k) x((k +1)) = = Ax(k) + Bu(k - n); A - квадратная матрица; В - вектор;
M xn (k) y(kT) = x1(k) Если импульсные системы имеют много входов и много выходов, т.е. описываются не передаточной функцией, а передаточной матрицей (по этой причине мало пригодны частотные характеристики), вычисления особенно выгодно вести такими векторно-матричными методами. Все-таки в подавляющем большинстве случаев имеется потребность в реализации на специализированных вычислителях простейших систем с одним входом и выходом. Поэтому уравнение (8.1) - это основа для написания подобных программ без применения матричных методов.
Пример: реализация фильтра нижних частот:
W ( p) = (8.2) Tф p + Это-фильтр первого порядка с крутизной -20дб./дек.
Пусть постоянная времени фильтра: Tф = 1мс (частота среза 1 кГц.) Период квантования T = 0,2мс. Импульсная передаточная функция, записанная с учётом фиксатора, (см. пример из лекции 5) и домножения числителя и знаменателя на z -1 будет иметь вид:
T Формула с использованием ZTф -1- e z (1- e-0.2 ) преобразования будет являться W (z) = = -T 1- z-1e-0,точной, т.к. в моменты квантования kT Tф z - e она дает истинные значения сигнала.
Приведём её к виду (11): y(kT) = 0.8187y((k-1)T)+0.1813u((k-1)T); (8.3) Получилась вычислительная формула, позволяющая вычислить текущее значение выхода через текущее значение входа и одно предыдущее (взятое из памяти) значение выхода.
Таким образом, необходимо иметь память на одно значение.
Отметим, что (8.3) является точной формулой, так как аппарат z - преобразования гарантирует истинные значения функций в моменты квантования.
Покажем теперь, что вычислительная схема, которая может быть получена путём простой аппроксимации производной Х y(t + dt) - y(t) y(t + T ) - y(t) непрерывного сигнала y(t): y(t) = (8.4) dt T в дифференциальном уравнении, соответствующем передаточной функции непрерывного фильтра (12):
Х y((k +1)T ) - y(kT ) Tф y(t) + y(t) +1 = u(t) Tф + y(kT ) +1, T является приближением, получающимся из (8.3) при разложении экспонент в ряд с оставлением линейных членов.
Получим схему вычисления: y(kT) =(1-Т/Тф)y((k-1)T) + Т/Тфu((k-1)T);
В числах: y(kT) =0.8y((k-1)T) + 0.2u((k-1)T); (8.5) Сравним (8.3) и (8.5) и видим, что ошибка в коэффициентах в (8.5) по сравнению с точной формулой (8.3) составляет около 20% и зависит от шага квантования Т, уменьшаясь вместе с ним. Это, впрочем, неудивительно, так как с уменьшением Т повышается и точность формулы (8.4).
Использование Z-преобразования и импульсной передаточной функции позволяет повысить точность цифровой реализации по сравнению с численными разностными методами.
В заключение приведём вычисление импульсной передаточной функции цифрового ПИД - регулятора, широко использующегося на практике в локальных системах автоматики и управления.
Непрерывная (исходная) передаточная функция ПИД - регулятора c учётом фиксатора:
Ки Wпид ( p) = Кп + + Кд р ;
р (8.6) 1 z -1 z-1 1- z-Wпид (z) = Кп + КиT + Кд = Кп + КиT + Кд z -1 T T 1- z-Обозначим входной сигнал регулятора - е(кТ), выходной сигнал - у(кТ), тогда из (8.6) получим:
u(kT)=u((k-1)T)+ Кпе(кТ)- Кпе((к-1)Т)- КиТе((к-1)Т)+ (Кд/Т)(е(кТ)- е((к-1)Т));
Перегруппируем члены и получим схему вычислений:
u(k)=u(k-1) + (Кп+ Кд/Т)е(к) - (Кп - КиТ - Кд/Т)е(к-1); (8.7) Окончательно, чтобы программно реализовать цифровой регулятор, необходимо на цифровом контроллере (управляющей ЦВМ) выполнять следующие жёстко привязанные к таймеру операции:
1. ввести через АЦП текущее значение входного сигнала;
2. с использованием данных из памяти вычислить u(k) по (17);
3. вывести через ЦАП вычисленное значение управления u(k);
4. пересохранить переменные: u(k-1)= u(k); e(k-1)= e(k);
5. перейти к пункту 1.
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 7 | Книги по разным темам