Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... | 43 | Х 1 = - A1A1 A, (108) Х nt 1 = Z A A1A1 E Ы KERR A1A1 Ы;
Х 2 = - AA2 A2, (109) Х tm 2 = Z A E A2 A2Ы KERL A2 A2Ы;
Х = - A1A1 A - AA2 A2 +A1A1 AA2 A2, Х n1m2 (110) = Z A Л A1A1 E A2 A2Ы KERR A1A1 KERL A2 A2Ы.
Кроме того [3], A+ является единственным элементом пересечения множеств правых и левых квазиобратных матриц [18, 55], задаваемых уравнениями типа (99). В общем виде имеем:
mn AR Ы A+ A AE AA Ы (111) - они производят ортопроекторы, указанные в (108);
mn AL Ы A+ A AE AAЫ; (112) - они производят ортопроекторы, указанные в (109);
A+ = AR Ы AL Ы. (113) з 2.5. Сферически ортогональные проекторы и квазиобратная матрица Согласно (108) - (110), имеем:
Х rang A1 = n 1 = Z, Х rang A2 = m 2 = Z, (114) rang A1 = nХ = Z.
rang A2 = mВ частности, исследуем дополнительно классическое уравнение:
Х Х || Ax - a || = min, x = A+a = [A(r) k (AA,r)] a, (115) / Х = - AAa; (116) Х = 0 a ker AAЫ ker K1(AA,r)Ы. (117) Геометрически минимодульная невязка уравнения (115) есть антипроекция (116). Поэтому для её евклидовой нормы справедливо:
Х Х || ||2 = - a, (118) Х || || = sin || a ||, (119) где - скалярный угол между вектором a и подпространством im AЫ.
В заключение исходя из (101) дадим формулу для элементов (pq) Х mn-матрицы A(r) в (115) в эрмитизированной форме:
(qp) (qp) (pq) = det A Adqp A, r r minor (r) minor (r) Cm - 1Cn - где p = 1,m, q = 1,n; p и q - новые индексы элемента aqp в минорах A.
В итоге формула (115) даёт обобщение формул Крамера. В частности, при r = n = m она даёт матричное решение невырожденного линейного Х уравнения, так как A(n) = det AAv, k(AA*, n) = det Adet A.
Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц з 3.1. Минорант матрицы и его применение Если A1 и А2 суть nm-матрицы, то k(A1A2,t) = k(A2A1,t).
Напомним, что скалярные коэффициенты представляют собой сумму детерминантов диагональных миноров одного и того же порядка t.
Представим каждый диагональный минор матрицы A1A2 через мультипликацию tm-субматриц строк:
{D-minor (t)A1A2} = {lig (t)A1}{lig (t)A2}.
Согласно формуле Бине - Коши [30, с.39], его детерминант есть сумма всех парных произведений детерминантов миноров порядка t с одним и тем же набором номеров столбцов. При транспонировании матриц A1 и А2 во всех указанных формулировках строки заменяют на столбцы, а столбцы на строки. Именно так устанавливается взаимнооднозначное cоответствие между двумя совокупностями СntСmt произведений детерминантов миноров, которые в сумме составляют скалярные коэффициенты порядка t для матриц A1A2 и A1A2.
Следовательно, эти коэффициенты равны между собой, что даёт формулу перегруппировки:
k(A1A2,t) = k(A1A2,t) = k(A2A1,t) = k(A2A1,t). (120) В частности, если A1 = А2 = А, то k(AA,t) = det2 {minor (t)A} = k(AA,t) 0. (121) t t Cm Cn Для высшего порядка t = r определим положительную характеристику прямоугольной матрицы - минорант:
Mt (r)A = k(AA,r) = k(AA,r) = Mt (r)A > 0.
Из (121) непосредственно видно, что минорант равен квадратному корню из суммы квадратов детерминантов всех базисных миноров матрицы.
з 3.1. Минорант матрицы и его применение Частные случаи для миноранта.
1) Пусть n > m = r. Тогда Mt 2 (m)A = det AA и квадрат миноранта равен определителю Грама для совокупности m вектор-столбцов A.
2) Пусть m = 1. Тогда минорант есть евклидова норма вектора a.
3) Пусть n = m = r. Тогда минорант есть модуль детерминанта квадратной матрицы.
Используя (67), нетрудно получить минорант гомомультипликации Mt (r){AAA Е} = Mt (r){AAAЕ} = k[(AA)h,r] = kh(AA,r) = h = Mt h(r)A.
Пусть {A|a} - расширенная по столбцам матрица уравнения (115).
С учётом (116), используя известное свойство определителя Грама [14, с. 216], получаем формулу Х Mt (r + 1){A|a} = sin || a ||Mt (r)A = || ||Mt (r)A. (122) В частности, отсюда имеем формульное выражение теоремы Кронекера - Капелли через значение суммы квадратов детерминантов всех миноров порядка (r + 1):
Х Mt 2(r + 1){A|a} = 0 = 0 sin = 0.
Представим формулу (122) тригонометрически 0 sin = Mt (r + 1){A|a} Mt (r)AMt (1) a 1. (123) / В частности, получаем формулу для синуса угла между двумя векторами sin 12 = Mt (2){a1|a2}/Mt (1) a1Mt (1) a2 = = det{[a1|a2][a1|a2]} || а1|||| а2|| 0. (124) / Используя связь миноранта nm-матрицы с определителем Грама для совокупности её вектор-столбцов (m n), нетрудно установить его геометрический смысл. Вначале рассмотрим случай m = r. (Такие специальные матрицы широко используются во втором разделе монографии для представления линейных геометрических объектов.) Запишем матрицу в виде набора вектор-столбцов. Пусть A есть nj-матj рица, образуемая первыми j вектор-столбцами. Каждая последующая A рассматривается как расширенная матрица {A |a }. К ней j + 1 j j + применяются формулы (119) и (122) или известная геометрическая связь с корнем из определителя Грама [14, с. 215Ц219]. В результате последовательного применения этих формул получаем выражение для миноранта в виде 56 Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц Mt (r)A = vr = || a1||sin 1,2|| a2||sin 1,2,3Е|| ar|| || a1|||| a2||Е|| ar||, (125) где vr - обобщённый r-мерный объём косого параллелепипеда, натянутого на вектор-столбцы матрицы А (0 < /2). При n = m = r имеет место синусное неравенство Адамара [27, с.35]. Кроме того, на основании (74) имеем:
q Mt (r)A = isi > 0, i = (i > 0) (126) q АА = (i2 Inn - АА) i2, / i = где i2 - ненулевые собственные значения матрицы АА или АА.
В самом общем случае (n m r t) коэффициенты выражаются либо геометрически как суммы квадратов частных t-мерных объёмов, либо алгебраически как суммы Виета для собственных значений:
k(AA,t) = vt2 = st (i2) = vt2 > 0, (p) t C m (127) m k(AA,l) = l = s1 ( ) = l 2 = || A ||F2 > 0.
(p) i Если используются декартовы координаты, то vt (p) есть ортопроекция объёма vt ранга t. Отношение vt (p) vt = cos р есть р-й направляющий / косинус. Формула (127) выражает теорему Пифагора для линейных объектов, задаваемых, в частности, nr-матрицей. Все вышеуказанные характеристики всегда положительны и инвариантны по отношению к ортогональному преобразованию вектор-столбцов или вектор-строк A и базиса. Например, Mt (r)A = Mt (r){R1AR2} = Mt (r) АА = Mt (r) АА. (128) Здесь, возможно, сингулярные арифметические корни связаны с матрицей через квазиполярное разложение (называемое ещё как QR-разложение):
А = S1Rq = AA {( AA )+А}, (129) А = RqS2 = {A( AA)+} AA, (130) где S1 = RqS2Rq AA = RqAARq, Rq = A( AA)+ = ( AA )+A A AA = AA A, RqRq = AA, RqRq = AA, Rq = Rq+.
з 3.2. Синусные характеристики матриц Нетрудно видеть, что здесь преобразование А Rq тождественно по результату процессу ортогонализации Грама - Шмидта для системы m линейно независимых векторов:
А = {a1, a2, Е, am} {e1, e2, Е, em} = Rq.
Это алгебраическое преобразование есть его некий однозначный вариант (для заданной последовательности). Вообще же в евклидовом пространстве процесс ортогонализации Грама - Шмидта приобретает мнемонически более удобную алгебраическую форму и более очевидную геометрическую интерпретацию в сравнении с классической [27, с. 431], если для его реализации применять ортопроекторы:
i - 1 i - v1 = a1, vi = ai - [ek ek] ai = {I - [ek ek]} ai ;
k = 1 k = et = vt || vt||, t = 1, m ; ei ei = ei ei (в итоге имеем: vi = [ei ei] ai ).
/ з 3.2. Синусные характеристики матриц Если Е = {ei}nn, где || ei|| = 1, то в декартовом базисе матрица Е n задаёт n-рёберный (полигранный) тензорный угол в E Ы, a |det E|, согласно неравенству Адамара (см. выше), определяет его скалярную синусную характеристику. Этому же полигранному углу однозначно соответствует взаимный тензорный угол, задаваемый матрицей = {i}nn = {EiEieisec i}, где Ei получают из исходной Е обнулением i-го столбца. Причём имеем ряд соотношений:
cos i = eii cos2 i = eiEiEiei, eij = 0 (0 < cos i 1).
Внутренние мультипликации этих двух матриц связаны формулами:
E = Dcos = E, EE = Dcos ()-1Dcos, = Dcos (EE)-1Dcos ;
G = Dsec EE Dsec = -1 = [ Dsec Dsec ]-1. (131) Во взаимных базисах {E Dsec } и { Dsec } матрицы G и суть соответствующие взаимные метрические тензоры. Синусные характеристики взаимных тензорных углов связаны формулой n det (EE) det () = det2 Dcos = cos2 i.
i = 58 Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц Откуда следует, что |det E||det | = det Dcos ; |det E, det | 1. Однако в данной монографии изучаются только тензорные углы бинарного типа, то есть углы, образуемые парами линейных подпространств (при r = 1 - прямых) или парами конечных линейных объектов (при r = - векторов).
Вернёмся к специальным прямоугольным матрицам (n > m = r).
Докажем, что для миноранта их внешних мультипликаций имеет место формула расщепления Mt (r){A1A2} = Mt (r)A1Mt (r)A2 = det (A1 A1) det (A2 A2). (132) Используя определение миноранта, квазиполярное разложение типа (130) и формулу (128), последовательно получаем Mt 2(r){A1A2} = k[(A1A2A2A1),r] = k[(Rq1S1S2S2S1Rq1),r] = = k[(S1S2S2S1),r] = det(A1A1)det(A2A2) = Mt 2(r)A1Mt 2(r)A2.
Далее для внешних мультипликаций будут применяться обозначения:
В = А1А2, B = A2A1, где для специальных прямоугольных матриц имеем: Л im ВЫ Л im A1Ы, Л ker BЫ Л ker A2Ы, Л im BЫ Л im A2Ы, Л ker BЫ Л ker A1Ы. С учётом того, что m = rang A, имеем:
BB = {A1A2A2A1} = A1A1, BB = {A2A1A1A2} = A2A2, (133) BB = {A1A2A2A1} = A1A1, BB = {A2A1A1A2} = A2A2.
С учётом формул (61), (62) и (132), (133) имеем:
K1,2[(A1A2A2A1),r] = det (A2A2)K1,2(A1A1,r), (134) K1,2[(A2A1A1A2),r] = det (A1A1)K1,2(A2A2,r).
Пусть теперь ранг обеих прямоугольных матриц может отличаться, но r1 + r2 n. Определим их внешнюю суперпозицию как {A1|A2}.
Обобщая (123), вводим синусное отношение:
|{A1|A2}|sin = Mt (r1 + r2){A1|A2} Mt (r1)A1Mt (r2)A2 = / A1A1 A1A= det det (A1A1) det (A2A2) 0. (135) A2A1 A2Aз 3.3. Косинусные характеристики матриц Оно обобщает классическое соотношение (124) для синуса угла между векторами а1 и а2. Синусное отношение имеет природу полуопредёленной нормы. Отметим также, что с использованием миноранта классическая теорема Кронекера - Капелли естественным образом обобщается на матричные линейные уравнения типа (105) - (107):
A1 A Х Mt 2 (r1 + r2 + 1) = 0 = Z. (136) Z Aз 3.3. Косинусные характеристики матриц Далее определим ещё одну высшую скалярную характеристику, но только для квадратной матрицы - дианаль:
Dl (r) B = k(B,r) = Dl (r) B.
Используя понятия минорант и дианаль, определим другую скалярную тригонометрическую характеристику - косинусное отношение:
| | |{B}|cos = Dl (r) B Mt (r) B 0, (137) / которое имеет природу косинусной полуопределённой нормы. Нетрудно видеть, что это отношение равно 0 для нуль-дефектной матрицы и 1 для нуль-нормальной матрицы. В свою очередь, имеем:
q1 qs2 j {B}cos = Dl (r) B Mt (r) B = is1i. (138) / / j i = 2 j = Если А1 и А2 суть nm-матрицы, то {A1A2}cos = Dl (r) (A1A2) Mt (r) (A1A2) = / = Dl (r) (A2A1) Mt (r) (A2A1). (139) / Если же А1 и А2 - nr-матрицы, то, согласно (120) и (132), имеем:
{A1A2}cos = Dl (r) (A1A2) Mt r A1Mt r A2 = / = det (A1A2) / det (A1A1) det (A2A2). (140) Причём (A1A2) = (A1A2 ), j (A1A2) = j (A1A2 ). Соотно- i i шение (140) обобщает классическую формулу для косинуса угла между векторами а1 и а2:
- 1 соs 12 = tr (а1а2) Mt (1) a1Mt (2) a2 = а1а2 || а1|||| а2|| + 1. (141) / / 60 Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц Тригонометрический смысл косинусного и синусного отношений устанавливается во втором разделе монографии на основе матричного тригонометрического спектра. Заметим, что квадрат формулы (135) можно рассматривать как тождество для координат некоторых линейных геометрических объектов, задаваемых матрицами A1 и A2. При m = 1 оно соответствует тождеству Лагранжа (n = 3) и тождеству Коши (n > 2) применительно к координатам пары центральных векторов в аффинном пространстве. С точки зрения евклидовой геометрии эти тождества для векторов имеют тригонометрический характер:
} ]2 ][Mt (2){a1|a2 Mt (1) a1Mt (2) a2 + [a1 2 Mt (1) a1Mt (2) a2 = 1. (142) / / a Они являются основой для нормирования или измерения угла между векторами в евклидовом пространстве. Все дальнейшие родственные понятия рассматриваются во втором разделе монографии применительно к линейным объектам - более общим, чем векторы.
з 3.4. Предельные методы вычисления проекторов и квазиобратных матриц Согласно (1) и (101), справедливы предельные формулы:
A+ = lim [A (AA + I)-1] = lim [(AA + I)-1 A] = (143) 0 = lim [NA(NAA + I)-1] = lim [(NAA + I)-1NA]. (144) N N Здесь используется то обстоятельство, что из = Z = следует соотношение К1(АА,r)А = Z = АК1(АА,r). Как и общие формулы (71) - (73), частные предельные фомулы (143), (144) получены здесь чисто алгебраическим путём.
Впервые же нормальное решение линейного уравнения типа Ах = а в форме предела получил Тихонов [44], но функциональным способом.
При этом был использован его же метод регуляризации применительно к задаче на условный экстремум частного характера. А именно: найти значение аргумента с минимумом евклидовой нормы на множестве, соответствующем минимуму невязки уравнения:
U(x,) = F1(x) + F2(x) = min, dU dx = 0 (145) / ( 0) ( 0) (F1(x) = x x; F2(x) = (x)(x), (x) = Ax - a).
Аналогичный результат, но в форме (144), мог быть получен ещё раньше методом штрафных функций Куранта [16]:
W(x,N) = F1(x) + NF2(x) = min dx = 0. (146) / (N ) ; dW (N ) з 3.4. Предельные методы вычисления Оба эти метода связаны взаимно-однозначно через умножение или деление на соответствующий скалярный параметр. В свою очередь, метод штрафных функций Куранта решает задачу на условный экстремум F1(x) с градиентной (1n) функцией ограничений h(x) = dF2 dx = 0.
/ Интегрирование позволяет в таком случае перейти от обычной векторной к новой и тождественной ей скалярной форме ограничения:
x h(x) = (147) h(x) dx = 0 = const.
xs Тогда имеем в (146) функцию Лагранжа W(x, N) и единственный в ней скалярный множитель Лагранжа N, так как при этом из дифференциального уравнения в (146) следует, что dh dxN = h(x)N = 0N = -dF1 dx 0.
Pages: | 1 | ... | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... | 43 | Книги по разным темам