Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ... | 43 | |{B}|tt = |k (B,t)| 0. (421) |{B}|rr = |k (B,r)| 0, |{B}|nn = |det B|, |{B}|11 = |tr B|.
В свою очередь, относительная норма того же порядка и степени образуется через отношение полуопределённой и определённой абсолютных геометрических норм. Она применяется также для квадратных матриц и имеет тригонометрическую природу, являясь при этом всегда безразмерной характеристикой. Например, это может быть косинусное и синусное отношения матриц, введённые ранее в гл. 3. Однако пока что порядок относительных норм отвечал только рангу матриц.
з 9.3. Геометрический смысл общих квадратичных норм з 9.3. Геометрический смысл общих квадратичных норм Далее на примере косинусного отношения рассматриваются относительные нормы общих порядков и их связь с абсолютными нормами.
Генеральные косинусные неравенства (396), (398) и соответствующие им косинусные отношения имеют обобщённые квазианалоги для порядков t < r. Пусть даны nr-линеоры A1 и A2. Выделим в каждом из них взаимные субматрицы столбцов размера nt с одним и тем же t набором номеров столбцов: {A1}j и {A2}j, где j = 1, Сr. Далее расположим вертикально и по порядку эти взаимные субматрицы отдельно для линеоров A1 и A2. При этом исходные A1 и A2 преобразуются в пару t ранжированных линеоров размера n Сrt и ранга t. Для каждой пары взаимных субматриц столбцов имеют место косинусные неравенства типа (396), (398):
- 1 det {A1A2}j det (A1A1)j det (A2A2)j + 1, / где в числителе представлен один из диагональных миноров матрицы {A1A2} порядка t, соответствующий внутренней мультипликации взаимных субматриц столбцов {A1}j и {A2}j. Отсюда, суммируя числители и знаменатели всех частных неравенств, получаем общее неравенство:
Сrt det {A1A2}j j = - 1 + 1.
Сrt det (A1A1)j det (A2A2)j j = Положительный знаменатель преобразуется далее без его уменьшения с использованием геометрического неравенства Коши для парной совокупности положительных чисел:
t Сr det {A1A2}j j = - 1 + 1.
t t Сr Сr det (A1A1)j det (A2A2)j j = 1 j = Используя (120) и (121), отсюда получаем общее квазикосинусное неравенство в знаковой форме:
,, k (A1A2 t) k (A1A2 t) - 1 = + 1. (422),,,, k (A1A1 t) k (A2A2 t) k (A1A1 t) k (A2A2 t) 146 Глава 9. Геометрические нормы матричных объектов В свою очередь, квазикосинусное неравенство в незнаковой форме задаёт относительную норму:
|{A1A2}|tt 0 1. (423) ||A1||tt||A2||tt Тригонометрическая сущность квазикосинусного отношения как нормы порядка t < r устанавливается, согласно схеме его вывода, и относится непосредственно к ранжированным линеорам. Для 1-го порядка имеют место частные неравенства:
tr (A1A2 ) tr (A1A2 ) - 1 = + 1, (424) tr (A1A1) tr (A2A2) tr (A1A1) tr (A2A2) |{A1A2}|0 1. (425) ||A1||11||A2||Именно отсюда для нормы Фробениуса, применительно к паре исходных nr-линеоров, следуют классические неравенства параллелограмма и треугольника:
||A1||11 - ||A2||11 ||A1 A2||11 ||A1||11 + ||A2||11, (426) | | ||A1 + A2||11 ||A1||11 + ||A2||11. (427) Эти неравенства имеют линейный характер. Они демонстрируют природу нормы Фробениуса для линеоров как инварианта протяжённости. Но, строго говоря, косинусные характеристики (424), (425), неравенства (426), (427) и сами нормы Фробениуса относятся к линеорам A1 и A2 при r > 1 только опосредовано - через пару ранжированных nr1- векторов a1 и a2:
||A1||11 = ||a1||E, ||A2||11 = ||a2||E, ||A1 A2||11 = ||a1 a2||E ;
tr (A1 A2) = tr (A1A2) = a1 a2, |{A1A2}|11 = |a1 a2|.
В частности, теорема Пифагора для норм Фробениуса имеет место тогда и только тогда, когда ортогональны именно ранжированные векторы:
||A1 A2||12 = ||A1||12 + ||A2||12, (428) tr (A1 A2) = 0 = a1 a2.
Аналогичным образом, общие квазикосинусные отношения (422), (423) как относительные нормы применяются к линеорам A1 и Aтолько опосредовано - через пару ранжированных линеоров (с точки зрения их тригонометрического смысла).
з 9.4. Линеоры специальных видов и простейшие линеорные фигуры з 9.4. Линеоры специальных видов и простейшие линеорные фигуры Выявим в евклидовом линеорном пространстве специальные множества централизованных эквиранговых линеоров. Согласно (130), линеор представляется в форме квазиполярного разложения:
A = Rq|A|, где |A| = AA - матричный евклидов модуль линеора. Здесь имеется аналогия с таким же представлением вектора: a = e |a|, где |a| = a a = ||a||E. Матричный модуль линеора играет ту же роль, что и скалярный модуль вектора, но для набора единичных векторов {ei} = Rq. Последние задают приведённые базисные ортогональные оси линеора.
AA = RqRq = RqRq, RqRq = I, Rq = Rq+ ;
A2A1 = Rq2Rq1= Rq2{Rq1Rq2}-1 Rq1 = Rq2Rq2 sec2 Ф12 Rq1Rq1 = = А2А2 sec2 Ф12А1А1 - см. также формулы (133), (186), (187).
Каждый линеор формально принадлежит собственному базисному планару: A im AЫ. Эквиранговые линеоры, имеющие один и тот же базисный планар im AЫ, образуют полное множество колпланарных линеоров (по отношению к планару im AЫ). В частности, при r = это есть множество коллинеарных векторов. Колпланарность для пары эквиранговых линеоров определяется условием (153). Полное множество эквиранговых колпланарных линеоров задаётся параметрически через свободную rr-матрицу C (det C 0) исходя из тождества:
(AC)(AC) = AA. (429) В частности, на этом множестве всегда имеется единичный ортогональный линеор Rq im AЫ. (Заметим, что выполнение более УширокогоФ условия (154) соответствовало бы множеству компланарных линеоров относительно планара im A1Ы.) Для колпланарных линеоров имеет место определяющее инвариантное соотношение:
RqRq = Const = AA.
Выявим на множестве колпланарных линеоров подмножество эквиранговых коаксиальных линеоров исходя из более строгого определяющего соотношения Rq = Const = {ei}, то есть:
Rq1 = Rq2 = Е = Rq A1A1 = A2A2 = Е = AA.
148 Глава 9. Геометрические нормы матричных объектов Для пары коаксиальных линеоров имеют место простые модульные соотношения:
|A1 A2|2 = [|A1| |A2|]2, A1A2 = |A1||A2| = (A2A1).
, Ротационная сферическая матрица Rot Ф12 получаемая из (245), согласно (301), транслирует линеор A1 во множество линеоров, колпланарных на im A2Ы:
(Rot Ф12A1) im A2Ы, где Ф12 - моторный сферический угол между планарами im A1Ы и im A2Ы ранга r. Следовательно, с учётом (429) любая пара эквиранговых линеоров связана соотношением типа A2 = Rot Ф12A1 C, (430) где внутреннее линейное преобразование C вычисляется после внешней ротации Rot Ф12. Далее на этой основе определим сферически ротационно конгруэнтные между собой линеоры A1 и A2:
A2 = Rot Ф12A1 |A1| = |A2|. (431) Для пары таких линеоров имеем модульные соотношения:
I cos Ф12 A, |A1 A2|2 = 4A1 |A1 + A2|2 = 4A1 sin2 Ф12 A1, |A1 - A2|2 = 4A1 cos2 Ф12 A1.
Эта пара образует 2r-мерный линеорный ромб сферического типа. В частности, центральные эквимодульные векторы всегда сферически конгруэнтны. Если Ф12 = /2, то пара таких линеоров образует линеорный квадрат:
|A1 A2| = 2 |A1| = 2 |A2|.
В свою очередь, сферически ортогональный рефлектор { I}S, получаемый из (247), согласно (301), тоже транслирует линеор A1 во множество линеоров, колпланарных на im A2Ы:
({ I}SA1) im A2Ы.
з 9.4. Линеоры специальных видов и простейшие линеорные фигуры Следовательно, с учётом (429) любая пара эквиранговых линеоров связана соотношением типа A2 = { I}SA1 C, (432) где внутреннее линейное преобразование С вычисляется после внешней рефлексии { I}S. Теперь на основе этого определим сферически зеркально конгруэнтные между собой линеоры A1 и A2:
A2 = { I}SA1 |A1| = |A2|. (433) Для пары таких линеоров имеет место модульное соотношение I { I}S A.
|A1 A2|2 = 4A1 Здесь, в частности, можно использовать собственные срединные ортопроекторы, согласно формулам (253).
Таким образом, из эквиранговых линеоров, как и из векторов, формально возможно составлять разнообразные геометрические фигуры, обладающие теми или иными свойствами. Линеорное евклидово или квазиевклидово пространство, как и векторное, имеет валентность 1.
Нетрудно также определить псевдоевклидовы (гиперболические) аналоги вышерассмотренных линеоров специального вида и простейших линеорных фигур, используя при этом гиперболические варианты тензорных тригонометрических функций и рефлекторов.
В свою очередь, псевдоевклидовы модули - матричные и скалярные геометрических объектов определяются с применением во внутренних мультипликациях линеоров фундаментального рефлектор-тензора пространства.
Глава 10. Варианты комплексификации тензорной тригонометрии з 10.1. Адекватный вариант Комплексные сферические углы вообще, то есть в проективном и в моторном вариантах, выражаются через сферические и гиперболические вещественные углы в виде:
= Ф + iГ, (434) j = j + ij.
В комплексном евклидовом пространстве тензорная тригонометрия воплощается в результате адекватной комплексификации (з 4.2).
Проективный тензорный угол в транспонированной форме выражается как = Ф - iГ (так как Ф = Ф, Г = - Г ). Моторный тензорный угол в транспонированной форме выражается как = - Ф + iГ (так как Ф = - Ф, Г = Г). Все геометрические понятия и формулы, кроме норм и неравенств, сохраняют свой прежний вид и значение. В частности, при вычислении миноранта и тензорного модуля используется простое транспонирование. Адекватный модуль для комплексных чисел с одинаков и вычисляется через их квадрат с использованием формулы Муавра (то есть вполне универсальным способом):
с = (cos + i sin ), где 0 < ;
( с)2 = с2 = 2 (cos 2 + isin 2) = 2 (cos + isin ), где 0 < 2;
| с| = |c| = (cos /2 + isin /2) = (cos + isin ). (435) В частности, отсюда видно, что сохраняется соотношение |c|2 = c2.
Адекватный матричный евклидов модуль |A| = AA для матрицы A (з 9.4) вычисляют через промежуточную диагонализацию её внутренней гомомультипликации посредством комплексного ортогонального модального преобразования:
RAAR = D{AA} = {j2}, где j2 = j2(cos j + isin j) = |j|2, где 0 j < 2.
з 10.2. Эрмитов вариант Откуда через формулу Муавра имеем:
|j| = j (cos j /2 + isin j /2), |A| = R{|j|}R.
В частности, сохраняется соотношение |A|2 = AA. В адекватном варианте все геометрические характеристики, в том числе углы и их функции, распадаются на вещественную и мнимую составляющие, хотя конечные (целевые) характеристики можно представлять в наиболее удобной форме. Адекватный вариант в простейшем случае применяется в комплексной евклидовой геометрии на плоскости, включая скалярную евклидову тригонометрию. Тождества Коши (n > 2) и Лагранжа (n = 3) сохраняют форму(142).
з 10.2. Эрмитов вариант В эрмитовом пространстве осуществляется эрмитова комплексификация вещественной евклидовой геометрии (з 4.3). Проективный * сферический тензорный угол - эрмитова матрица = Ф + iГ =.
Её собственные значения суть вещественные сферические скалярные углы. Напротив, моторный сферический тензорный угол - косоj * эрмитова матрица = Ф + iГ = Ц. Модуль и евклидова норма в эрмитовом варианте тождественны. Тригонометрические неравенства (гл. 8) и нормы матричных объектов (гл. 9) сохраняют свое значение в эрмитизированных вариантах. Заметим также, что принцип бинарности (з 5.6) остаётся в силе как при адекватной, так и при эрмитовой комплексификации, поскольку все необходимые предпосылки для него в комплексной тензорной тригонометрии сохраняются. Эрмитовы аналоги клеточных формул (399), (400) получаются через соответствующие преобразования комплексных единичных векторов:
cos 1 cos u1 =, u2 =.
sin 1 sin Здесь cos cos + sin sin = 1;
cos = cos exp (ic), sin = sin exp (is), cos cos = cos2, sin sin = sin2.
[cos ]22 = u1 u1* + u2 u2* - I22 = u1 u1* + u2 u2* - I22 = cos 1cos 1 + cos 2cos 2-1 cos 1sin 1 + cos 2sin 2 + |c1| s= = ;
cos 1sin 1 + cos 2sin 2 sin 1sin 1 + sin 2sin 2-1 s1 - |c1| 152 Глава 10. Варианты комплексификации тензорной тригонометрии - det [cos ]22 = |c1|2 + s1s1 = cos2 (2 - 1) - = cos2 12, = 1/2 sin 21 sin 22 (1 - cos c1cos c2 cos s1 cos s2).
[sin ]22 = u2 u2* - u1 u1* = u2 u2* - u1 u1* = cos 2cos 2 - cos 1cos 1 cos 2sin 2 - cos 1sin 1 - |s2| c= =, cos 2sin 2 - cos 1sin 1 sin 2sin 2 - sin 1sin 1 c2 + |s2| - det [sin ]22 = |s2|2 + c2c2 = sin2 (2 - 1) + = sin2 12, ( = 0 cos c1 cos c2 cos s1 cos s2 = + 1, 0 12 2 - 1). (436) В тригонометрическом базисе имеем клеточные формы:
0 + +1 [cos ]22 = cos 12, [sin ]22 = sin 12. (437), (438) 12 12 +1 0 ЦВ эрмитовом варианте все канонические W-формы в тригонометрическом базисе вещественны и сохраняют свой прежний вид.
Преобразование к каноническим W-формам осуществляет унитарная модальная матрица UW. На эрмитовой плоскости в базисе диагонального косинуса допускается эрмитово угловое смещение между парными функциями (косинус-синус, секанс-тангенс) с фазовым углом :
* * Exp (- i/2) Ref {B B}r Exp (+ i/2) Ref {B B}c sin i exp Цi 0 + cos sin exp 0 + cos ( ) ( ) exp( - i) 2 = (439) sin i exp i, sin - cos - cos 0 exp 0 - ( ) ( ) exp(i) 2 Exp (- i/2) Rot {}r Exp (+ i/2) Rot {}c i - sin exp Цi 0 cos - sin exp 0 cos ( ) ( ) exp( - i) 2 = (440) + sin i exp i + sin cos cos.
0 exp 0 - ( ) ( ) exp(i) 2 Поэтому эрмитов тригонометрический базис, помимо диагональности косинуса (как прежде), должен обеспечивать ещё и вещественность W-формы. Эрмитово угловое смещение с фазовым углом j на каждой собственной эрмитовой плоскости устраняется специальным эрмитово ортогональным (унитарным) модальным преобразованием Exp i/с приведением тригонометрических функций к вещественным каноническим формам.
з 10.3. Псевдоизация в бинарных комплексных пространствах Эрмитовы аналоги тождеств Коши (n > 2) и Лагранжа (n = 3) в соотношении (142) реализуются для координат пары векторов на эрмитовой плоскости при замене простого транспонирования на эрмитово. Заметим также, что эрмитов угол в общем случае есть весьма сложная функция от координат векторов или линеоров.
ишь в тригонометрическом базисе он приобретает вещественную каноническую форму тензорного сферического угла.
з 10.3. Псевдоизация в бинарных комплексных пространствах Далее особое значение имеет псевдоизация (гл. 4). Пусть изначально задано бинарное комплексное аффинное пространство с индексом q.
n + q Оно обозначается как A Ы. В конкретном базисе аффинное просn + q транство может рассматриваться как линейное. В частности, A Ы в некотором псевдоединичном базисе 0 представляется прямой суммой, состоящей из n-мерного вещественного и q-мерного мнимого линейных подпространств:
Pages: | 1 | ... | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ... | 43 | Книги по разным темам