Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 12 |

t t2k... tkk k Можно, наоборот, выразить вектор у через вектор х y = T-1x (2.27) Уравнения (2.26) и (2.27) являются уравнениями замены базиса в пространстве состояний R и, по сути, представляют уравнения перехода от одной системы координат к другой. Очевидно, что можно выбрать бесконечно большое число базисов или систем координат в пространстве состояний. При переходе к новому базису необходимо и достаточно, чтобы матрица перехода Т была не вырожденной, что выполняется, если определитель этой матрицы не равен нулю T 0.

Следовательно, между множеством координатных преобразований и множеством матриц Т существует взаимно однозначное соответствие при фиксированных базисах, соответствующих этим преобразованиям.

Выбор различных базисов рассматривался в п. 1.4, где на примере системы второго порядка были получены различные варианты структурных схем (обратная, параллельная и последовательная) имеющих различные виды уравнений состояния, но имеющие одинаковую передаточную функцию.

Используя линейные преобразования (2.26) можно отображать в пространство состояний системы и другие ее пространства (пространства управлений, возмущений и регулируемых координат), что и задается уравнениями связи (2.8).

При решении таких уравнений требуется вычисление свободных и вынужденных движений системы, что в конечном итоге приводит к необходимости решения системы однородных алгебраических уравнений вида:

a11x1 + a12 x2 +.... + a1n xn = x1;

a x1 + a22 x2 +.... + a2n xn = x2 ;

(2.28)..............................................

an1x1 + an2 x2 +.... + ann xn = xn ;

или в векторной форме Ax = x (2.29) Такая система уравнений получается при подстановке в дифференциальные уравнения системы (2.8) какого-нибудь их частного решения. К такой системе сводится вычисление установившихся режимов работы системы (2.8). По сути уравнения (2.28) отображают базис x1, x2,Е..xk сам в себя и поэтому характеризуют свойства такого отображения, или свойства матрицы А, соответствующей этому отображению.

В линейной алгебре эта задача известна как задача вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы, задающей линейное преобразование.

Значения параметра, для которых существуют нетривиальные (ненулевые) решения (2.29), называются собственными значениями матрицы А. Соответствующие им векторные решения (2.29) называют собственными векторами матрицы А.

Столбец, составленный из элементов собственного вектора, для конкретного значения i, называют модальным столбцом.

Перенеся правую часть уравнения (2.29)влево, получим (A - I)x = 0, (2.30) где I - единичная матрица.

Это уравнение обладает нетривиальным решением только тогда, когда его определитель равен нулю a11 - a12... a1n a21 a22 -... a2n A - I = = 0. (2.31)............

an1 an2... ann - Разложение этого определителя дает характеристическое уравнение системы или матрицы, (-)n + bn-1(-)n-1 +.... + b1(-) + b0 = 0 (2.32) из которого могут найдены все значения. Если теперь подставить найденные значения i в уравнение (2.30) и решить его, то вычисленные значения составляющих вектора х для каждого значения i будут собственными векторами матрицы А.

Собственные векторы матрицы имеющей действительные и различные собственные значения обладают следующими важными свойствами:

1. Собственные векторы такой матрицы попарно ортогональны.

2. Собственные векторы матрицы n - го порядка порождают n - мерное векторное пространство 3. Собственные векторы матрицы n - го порядка образуют ортогональный базис n - мерного векторного пространства.

Знание собственных значений и векторов матрицы системы позволяет осуществлять линейные преобразования (2.26) в пространстве состояний, придавая различный вид этой матрице. В задачах управления наиболее часто используются следующие канонические виды матрицы А [5].

1. Диагональная каноническая форма 1 0.. 0 2.., Aд = (2.33)........

0 0.. n где i - собственные различные значения матрицы А Диагональной канонической форме соответствует следующая структурная схема рис. 2.3.

U(t) b1 b2 bn-1 bn x1 x2 xn-1 xn 1 1 1 p p p p 1 2 n-1 n c1 c2 cn-1 cn y(t) Рис. 2.3.

2. Каноническая форма управляемости 0 1.. 0 0.. Aу =., (2.34)........

- b0 - b1.. - bn-где bi - коэффициенты характеристического уравнения матрицы (2.32).

Структурная схема для канонической формы управляемости показана на рис 2.4.

Y(t) + + + bn bn-1 b2 b U(t) xn xn-1 x2 x1 1 1 p p p p cn cn-1 c2 c + + + Рис. 2.4.

3. Каноническая форма наблюдаемости 0 0.. - b 1 0.. - b1..

Aн = (2.35)........

0... 1 - bn- Структурная схема для канонической формы наблюдаемости показана на рис 2. U(t) b1 b2 bn-1 bn + x1 + x2 + xn-1 + xn y(t) 1 1 1 p p p p a1 a2 an-1 an Рис. 2.5.

Наибольший интерес представляет получение диагональной канонической формы, так как все остальные формы легко получаются из нее путем линейных преобразований. Для диагонализации матрицы А используется следующее выражение 1 0.. 0 2.. A = = T-1AT (2.36) д........

0 0.. n где 1, 2,....n - собственные значения матрицы А, а ее нормированные собственные векторы являются столбцами матрицы Т. Условием нормирования является равенство единице модуля собственных векторов.

В качестве примера рассмотрим приведение многомерного объекта, задаваемого уравнением dx= a11x1 + a12 x2 + b11u1;

dt dx= a21x1 + a22 x2 + b22u2 ;

dt y = c1x1 + c2 x2.

к канонической диагональной форме.

Матрицы объекта равны - 0,5 3 1 A = ; B = ; C = (3 2).

0,25 - 2,5 0 - Вычислим собственные значения матрицы А из условия (2.31) - 0,5 - = 0.

- 0,25 - 2,5 - Раскрывая полученный определитель, запишем характеристическое уравнение объекта 2 + 3 + 2 = 0.

Корни этого уравнения или собственные значения матрицы А равны 1 = -1; 2 = -2.

Найдем собственные векторы матрицы, подставляя в (2.30) вычисленные собственные значения. Для первого собственного значения имеем:

(-0,5 - 1)t11 + 3t21 = 0;

- 0,25t11 + (-2,5 - 1)t21 = 0.

При 1 = -1 получаем следующую систему уравнений для вычисления первого собственного вектора 0,5t11 + 3t21 = 0;

.

- 0,25t11 - 1,5t21 = 0.

Откуда t11 = -6t Конкретные значения первого собственного вектора определяются условием нормировки 2 t11 + t21 = 1.

Подставляя сюда, решение уравнений t11 = -6t21 получим 6 t11 = ;t21 = -.

37 Аналогично найдем и второй собственный вектор 2 t12 = ;t21 = -.

5 Зная собственные векторы можно записать выражение для матрицы Т задающей переход в новую систему координат 6 37 T =.

1 - 37 Найдем обратную матрицу T-1, используя выражение (2.16) 37 4 T-1 =.

5 3 - - 4 Не трудно убедиться, что 1 T T-1 = I =.

0 Новый вектор обобщенных координат q задается линейным преобразованием x = Tq.

Подставляя его в уравнения объекта получим dq T = ATq + Bu.

dt Умножая обе части уравнения на T-1 слева будем иметь dq I = T-1ATq + T-1Bu dt Матрица A = T-1AT, в соответствии с (2.36) будет иметь диагональный д вид, где в главной диагонали стоят собственные значения матрицы А.. Действительно 6 37 - 0,5 - 1 37 4 A = = д 1 0 - 5 3 5 0,25 - 2,- - - - 37 4 2 Вычислим новую матрицу управления Bд = T-1B 37 37 - 3 1 4 2 Bд = = 5 3 5 0 2 5 - - - 4 2 4 Тогда в новых координатах q1, q2 уравнения объекта примут вид dq= 1q1 + bд11u1 + bд12u2 ;

dt dq= 2q2 + bд21u1 + bд22u2.

dt 2.3. Понятие наблюдаемости многомерной системы Наблюдаемость и управляемость характеризуют свойства многомерных систем и являются такими же важными понятиями, как устойчивость [2, 11 ].

Если устойчивость линейных систем однозначно определяется по коэффициентам матрицы передаточной функции, или матрицы А, или по коэффициентам характеристического уравнения, то для оценки наблюдаемости необходимо наряду с матрицей А знать также матрицу наблюдаемости С. Аналогично для оценки управляемости системы необходимо знать матрицу А и матрицу управляемости В.

Рассмотрим вначале понятие наблюдаемости. При автоматическом управлении предполагается, что наблюдение за системой или процессом сопровождается измерением обобщенных (фазовых) координат Xi и в понятие наблюдение и измерение вкладывается практически одинаковый смысл. В отличии от тождественности понятий наблюдения и измерения понятие наблюдаемость и измеримость в теории управления имеют различное содержание.

Под измеримостью понимается возможность прямого измерения той или иной фазовой координаты. В этом случае речь идет о непосредственной наблюдаемости. Под наблюдаемостью же понимается возможность как косвенного, так и прямого измерения фазовых координат на основе прямого измерения других, как правило, регулируемых величин.

Общая постановка задачи определения состояния системы по наблюдениям заключается в следующем. Пусть получено посредством наблюдения (измерения) множество Y, связанное известной функциональной зависимостью с множеством X, например Y=CX, принадлежащему пространству состояний системы с заданной математической моделью в форме Коши. Требуется определить X или некоторое его подмножество Xn X.

В зависимости от видов множеств X и У, а также уравнений наблюдаемого процесса, происходящего в системе управления, возможны следующие задачи наблюдения:

1. Множества X и У имеют одинаковую размерность, т. е. имеет место случай полнокомпонентного мгновенного измерения.

Задача наблюдаемости в этом случае сводится к решению системы, в общем случае, алгебраических уравнений n-ого порядка с n неизвестными.

2. Измеряется одна компонента вектора У и (n-1) её производные. Этот случай аналогичен случаю 1. Однако он не имеет практического значения т. к.

невозможно точно измерить производные высокого порядка.

3. Размерность множества Y меньше размерности множества X. Наиболее распространённая постановка задачи наблюдаемости. Очевидно, что решение этой задачи возможно только на основании априорной информации о работе системы, т. е. необходима математическая модель системы.

Если в этом случае возможно определение полного вектора состояния системы, то говорят о полной наблюдаемости и система называется вполне наблюдаемой.

Если существует возможность восстановления только некоторого подмножества из множества X, а именно, части компонент обобщенных координат, то имеет место неполная наблюдаемость, а система называется не вполне наблюдаемой.

Для количественной оценки степени наблюдаемости вводятся критерии по которым оценивается эта степень.

Наиболее простой вид критерия получается для первого случая полнокомпонентного измерения вектора обобщенных координат. Этот критерий соответствуем условию разрешимости системы из n линейных уравнений с n неизвестными.

Для линейных систем уравнений это условие формулируется в следующем виде. Ранг матрицы наблюдаемости С системы должен быть равен порядку системы.

Рассмотрим теперь третий случай. Так как наблюдаемость является внутренним свойством системы, то ограничимся определением условий наблюдаемости для свободного движения. При свободном движении уравнения (2.8) системы преобразуются к виду:

dx = Ax;

(2.37) dt y = Cx.

Продифференцируем n-1 раз второе уравнение (2.37) и подставим в полученные выражения для производных первое уравнение (2.37). В результате получим систему из n уравнений для вычисления x.

y = Cx;

& y = CAx;

(2.38)..............

yn-1 = CAn-1x.

Система уравнений (2.38) будет иметь единственное решение в том случае, если ранг матрицы наблюдаемости V этой системы будет равен n.

Матрица наблюдаемости имеет вид V = [CTATCT (AT )2 CT...(AT )n-1 CT], (3.39) а ее ранг должен быть равен порядку системы Rank(V) = Rank(CTATCT (AT )2 CT...(AT )n-1 CT )= n. (2.40) Это необходимое и достаточное условие наблюдаемости Калмана.

Рассмотрим простейший пример. Пусть система управления описывается дифференциальными уравнениями вида:

dx= a11 + b1u;

dt dx= a21x1 + a22x2 + b2u;

dt y = cx1.

Матрицы А и С имеют вид:

a11 A = (c a a22 ; C = 0);

a11 a21 c AT = ; CT = 0.

0 a Матрица наблюдаемости V запишется в следующем виде, согласно (2.39):

V = (CTAT CT ) Подставляя сюда выражения для транспонированных матриц А и С получим:

c a11 a21 c V = 0 0 a22 Выполняя перемножение матриц, найдем, что c a11c V =.

0 Ранг матрицы V равен 1, следовательно рассматриваемая система не вполне наблюдаема и зная из эксперимента y невозможно вычислить (наблюдать) координату x2.

2.4. Понятие управляемости многомерной системы Понятие управляемости связано с переводом системы посредством управления из одного состояния в другое. Пусть в пространстве состояний X заданы два подмножества 1 X и 2 X. Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление U(t)= (U1,U,...U )T, опреде2 k ленное на конечном интервале времени 0 t T, которое переводит систему в пространстве X из подмножества Г1 в подмножество Г2.

Возможны частные случаи управляемости когда:

1. Пространство состояний Х ограничено замкнутой областью;

2. В процессе управления осуществляется переход из подмножества Г1 в заданную точку пространства состояний;

3. В процессе управления осуществляется переход из заданной точки пространства состояний в заданное подмножество Г1;

4. В процессе управления осуществляется переход из окрестности одной точки пространства состояния в окрестность другой точки.

В случае неполной управляемости размерности подобласти Г1 меньше размерности пространства состояния.

Кроме этого, управление может происходить при ограничениях, накладываемых на управляющие и управляемые переменные, что усложняет определение управляемости. В общем случае задача управляемости не разрешена до настоящего времени. Критерии управляемости разработаны только для частных случаев управления линейными системами.

Для линейной стационарной системы можно записать:

dx = Ax + Bu, (2.41) dt где матрицы А и В постоянны.

При отсутствии ограничений в пространстве состояний и пространстве управлений, управляемость зависит только от коэффициентов матриц А и В.

Для управляемой системы справедливо следующее определение. Если для произвольно заданных x0 и x1, существует управление u(t), переводящее систему (2.41) за некоторое время t1 - t0 из состояния x(t0 ) = x0 в состояние x(t1) = x1, то система называется вполне управляемой.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 12 |    Книги по разным темам