Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |   ...   | 41 |

РЕКОНСТРУКТИВНОЕ СЕМЕЙСТВО Рассмотрим структурированную систему с поведением SF вида x (Г.18), элементы которой представлены множествами S выборочных переx менных и функциями поведения f ( x N ). Будем говорить, что система с q поведением сопоставима с данной структурированной системой SF, если обе системы определены для одних и тех же параметров и переменных, а также используют один и тот же тип функций поведения (например, функции распределения вероятностей или возможностей). Обозначим через GSF множество функций поведения всех систем с поведением, сопоставимых с SF, а через FSF множество функций поведения систем с поведением из реконструктивного семейства SF.

f F тогда и только тогда, когда SF x x [ f S ]= f (Г.27) для всех ( x N ). Для вероятностных или возможностных функций поведеq ния уравнения (Г.27) представляются соответственно системами уравнений x x f ( c ) = f ( c ) (Г.28) cfxc или x x f ( c ) = max f ( c ) (Г.29) cfxc x где ( x N ). В этих уравнениях определяются значения f(xc), значения f(с) q определяются для всех обобщенных состояний входящих в уравнения x x переменных. Положим, что с С и c C для всех ( x N ).

q Чтобы определить значения f(c), которые можно интерпретировать как вероятности или возможности состояний с, уравнения (Г.28) или (Г.29) нужно дополнить требованием, чтобы f(c)0 для всех с С. Несмотря на то, что f(c) должны для вероятностных систем удовлетворять некоторым дополнительным требованиям, таким, как f(c)1 и f ( c ) = cC легко увидеть, что эти дополнительные требования учитываются видом этих уравнений и требованием, чтобы f(c)0 для всех с С. Взаимоотношение между заданной структурированной системой и соответствующими обобщенными системами с поведением описывается множеством из x | C | xNq уравнений вида (Г.28) или (Г.29) с |С| неизвестными, f(с), удовлетворяющей неравенствам f(c)0 для всех с С. Обычно некоторые из этих уравнений зависят от остальных и могут быть исключены. Если заданная структурированная система непротиворечива, то полученная система уравнений [то есть система линейно-независимых уравнений вида (Г.28)] имеет по крайней мере одно решение в области неотрицательных действительных чисел.

Идентификация обобщенной системы с поведением по заданной структурированной системе однозначна тогда и только тогда, когда решение ограниченной системы уравнений существует (то есть структурированная система непротиворечива) и оно единственно. Это бывает довольно редко. Если решение не единственно, что бывает значительно чаще, то идентификация неоднозначна. По существу, это означает, что данная обобщенная система, хоть для нее и выполняются все ограничения на переменные структурированной системы, содержит некоторую дополнительную информацию. Это и есть конструктивное выражение известного утверждения науки о системах, что лцелое больше суммы составляющих его частей.

Пример Г.11. Рассмотрим структурированную систему, элементами которой являются системы с поведением без памяти, каждая из которых содержит по две из трех переменных v1,v2,v3. Каждая переменная имеет одно из двух состояний 0 или 1. Вероятностные функции поведения элементов lf, 2 f, f приведены в таблице Г.3. Легко убедиться, что эта структурированная система локально согласована. Например, вероятность того, что v2 = 0 равна 0.6 (и 0.4 для v2=1) независимо от того, вычисляется она как проекция lf или 2f.

Обозначим через р0, р1,...p7 (таблица Г.4) неизвестные вероятности состояний обобщенных систем с поведением. Тогда реконструктивное семейство данной структурированной системы описывается неравенствами p 0( i N ) и 12 уравнениями вида (Г.28) i 0,Таблица Г.3- Элементы структурированной системы из примера Г.1 2 v1 v2 f(1с) v2 v3 f(2с) v1 v3 f(3с) 1 2 З с=0 0 0.4 с = 0 0 0.4 с=0 0 0.0 1 0.3 0 1 0.2 0 1 0.1 0 0.2 1 0 0.1 1 0 0.1 1 0.1 1 1 0.3 1 1 0.Таблица Г.4 - Обозначения, используемые в примерах Г.11, Г.12 и Г.p0+p1=0.4 (1), p0+p4=0.4 (5) v1 v2 v3 f(с) с = 0 0 0 f(000) = р0 p0+p2=0.4 (9), 0 0 1 f(001 )= р1 p2+p3=0.3 (2), p3+p7=0.3 (6) p1+p3=0.3 (10), 0 1 0 f(010) = рp4+p5=0.2 (3), p1+p5=0.2 (7) 0 1 1 f(011) = р3 p5+p7=0.2 (11), p6+p7=0.1 (Г), p2+p6=0.1 (8) 1 0 0 f(100) = р1 0 1 f(101)=р5 p4+p6=0.1 (12), 1 1 0 f(110)=р1 1 1 f(111)= рИсследовав эти уравнения, получаем, что все неизвестные могут быть выражены через одну из них, скажем через р0. В самом деле, из (1): р1 = 0.4 - р0;

из (5): р4 = 0.4 - р0;

из (9) : р2=0.4 - р0;

из (2): р3 = 0.3 - р2= - 0.1+р0;

из (3): р5 = 0.2 - р4 = - 0.2+р0;

из (6): р7 = 0.3 - р3 = 0,4 - р0;

из (8): р6 = 0.1 - р2 = - 0.3 + р0.

Таким образом, p1 = p2 = p4 = p7 = 0.4 - p0, (a) рз = - 0.1 + p0, (б) р5 = - 0.2 + р0, (в) р6 = - 0.3 + р0.

Из неравенств для каждого из уравнений получаем следующие ограничения на р0:

а) p1 (или р2, р4, р7) 0 дает p0 0.4;

б) рз 0 дает p0 0.1;

в) p5 0 дает p0 0.2;

г) р6 0 дает p00.3.

Так как должны выполняться все эти ограничения, из неравенств следует, что р0 должно принимать значения в диапазоне 0.3 p0 0.Если задаться значением р0 из этого диапазона, то из уравнений а) Ч г) можно однозначно определить значения неизвестных. В таблице Г.показано, как таким образом определяется реконструктивное семейство для данного примера.

v1 v2 1f(1c) v2 v3 2f(2c) ЧЧЧЧЧЧЧЧ ЧЧЧЧЧЧЧЧ 0 1 0.3 0 0 0.1 c = 1 0 0.5 c = 0 1 0.1 1 0.2 1 1 0.Таблица Г.5 - Реконструктивное семейство из примера Г.v1 V2 v3 pi =f(с) с = 0 0 0 0.3 p0 0.4 (степень свободы) 0 1 1 p1= 0.4 -р0 0 0 p2= 0.4 - р0 1 1 p3= -0.1+р1 0 0 p4= 0.4 - р1 1 1 p5= - 0.2 + р1 0 0 p6= -0.3 + р1 1 1 p7= 0.4 - рПри определении реконструктивного семейства этой системы будем использовать для неизвестных те же обозначения, что и в примере Г.11. Тогда реконструктивное семейство будет описываться неравенствами p (i N ) и следующими восемью уравнениями:

i 0,p0 + p1 = 0.0, (1) p0 + p4 = 0.1, (5) p2 + p3 = 0.3, (2) p1 + p5 = 0.4, (6) p4 + p5 = 0.5, (3) p2 + p6 = 0.0, (7) p6 + p7 = 0.2, (Г) p3 + p7 = 0.5, (8) Из уравнений (1), (7) и неравенств имеем р0 = р1 = р2 = р6 = 0. Отсюда просто определить оставшиеся вероятности: р3 = 0.3, р4 = 0.1, р5 = 0.4, р7 = 0.2. Следовательно, в данном случае идентификация однозначна. То есть данный пример Ч это пример одного из тех редких случаев, когда лцелое равно сумме составляющих его частей.

Пример Г.13. Чтобы продемонстрировать более общий тип реконструктивного семейства, рассмотрим структурированную систему из трех элементов, причем каждый элемент содержит три переменных v1,v2,v3. Пусть v1 и v2 принимают состояния из множества {0, 1}, а v3 - из множества {0 1, 2}. Элементы представляют собой вероятностные системы с поведением без памяти. Их функции поведения lf, 2f, 3f приведены в таблице Г.6.

Таблица Г.6 - Элементы структурированной системы из примера Г.13.

1 v1 v2 f(1c) v2 v3 f(2с) v1 v3 3f(3с) 1 2 c = 0 0 0.25 с =0 0 0.17 с= 0 0 0. 0 1 0.18 0 1 0.16 0 1 0. 1 0 0.20 0 2 0.12 0 2 0. 1 1 0.37 1 0 0.14 1 0 0. 1 1 0.18 1 1 0. 1 2 0.23 1 2 0.Будем использовать приведенные в таблице Г.7 обозначения неизвестных вероятностей состояний полной системы.

Таблица Г.7- Обозначения, используемые в примере Г.v1 v2 v3 f(с) с = 0 0 0 f(000) = p0 0 1 f(001) = p0 0 2 f(002) = p0 1 0 f(010) = p0 1 1 f(011) = p0 1 2 f(012) = p1 0 0 f(100) = p1 0 1 f(101) = p1 0 2 f(102) = p1 1 0 f(110) = p1 1 1 f(111) = p1 1 2 f(112) = pСоставление уравнений, описывающих реконструктивное семейство, и определение их решений при ограничениях pi 0 ( i N ) предоставим 0,читателю. Скажем только, что система из 16 исходных уравнений с 12 неизвестными сводится к 10 линейно-независимым уравнениям с двумя степенями свободы. Если предположить, что свободными являются неизвестные р10 и р11, то мы получим следующие неравенства:

0.04 p 0.18, 0.05 p 0.17, 0.23 p + p 0.34.

10 Область значений для р10 и р11, определяемая этими уравнениями, показана на рисунке Г.14; это выпуклое множество, натянутое на четыре точки (0.06, 0.17), (0.17, 0.17), (0.18, 0.16), (0.18, 0.05). Для любой пары значений р10 и р11 из этой области значения остальных неизвестных однозначно определяются следующим образом:

р0 = 0.34 - р10 - р11, p1 = - 0.04 + р10, р2 = - 0.05 + р11, р3 = - 0.023 + р10 + р11, р4 = 0.18 - р10, р5 = 0.23 - р11, р6 = - 0.17 + р10 + р11, р7 = 0.20 - р10, р8 = 0.17 - р11, р9 = 0.37 - р10 - p11.

p0.(0.06 - 0.17) 0.(0.17 - 0.17) (0.18 - 0.05) 0.(0.18 - 0.16) 0.0.0.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.0.pРисунок Г.14 - Описание реконструктивного семейства из примера Г.Пример Г.14. Рассмотрим структурированную систему, элементами которой являются возможностные системы с поведением с теми же наборами переменных, что и в примере Г.12. Функции поведения элементов приведены в таблице Г.8. Как видно, они не нормализованы.

Для описания реконструктивного семейства этой структурированной системы снова воспользуемся обозначениями из таблицы Г.4. Тогда реконструк- Таблица Г.8 - Элементы структурированной системы из примера Г.1 v1 v2 f(1с) v2 v3 f(2c) 1 с = 0 0 0.8 c = 0 0 0.0 I 0.5 0 1 0.1 0 0,9 I 0 0.1 1 0.8 1 1 0.тивное семейство определяется неравенствами pi 0 ( i N ) и следующи0,ми восемью уравнениями в виде (Г.29):

max(p2, p3)= 0.5, (1) max( p0, p4)= 0.8, (5) max(p3, p7)= 0.6, (2) max( p2, p6)= 0.8, (6) max(p0, p1)= 0.8, (3) max( p4, p5)= 0.9, (7) max(p6, p7)= 0.8, (Г) max( p1, p5)= 0.9, (8).

Из уравнения (1) следует, что ни р2, ни р3 не могут быть больше 0.5;

следовательно, из (6) следует, что р6 = 0.8, а из уравнения (2), что р7 = 0.6.

Из уравнения (5) следует, что р4 не может быть больше 0.8, а значит, из уравнения (7) следует, что p5 = 0.9. Согласно этим результатам данная система может быть сведена к двум независимым подсистемам уравнений max(p2, p3)= 0.5, max(p0, p1)= 0.8, max( p0, p4)= 0.Единственное уравнение при условии, что р2 0 и р3 0, имеет решение р2=0.5 и 0 p30.или р3=0.5 и 0 p20.5.

Пара уравнений, при условии, что р0 0, р1 0 и р4 0, имеет решение р0=0.8 и 0 p10.8, а также 0 p40.или р1 = p4=0.8, и 0 p00.8.

B данном реконструктивном семействе легко выделить одно максимальное и четыре минимальных распределения возможностей. Они приведены в таблице Г.9, где через fSP и fSFi (i N ) обозначены соответственно максимальное и минимальные распределения, а через SF Ч рассматриваемая cтруктурированная система. Реконструктивное семейство состоит из этих четырех распределений, а также из всех распределений, находящихся между максимальным распределением и любым из четырех минимальных.

Для возможностных структурированных систем известно, что в общем случае их реконструктивные семейства всегда имеют вид, что и в примере Г.14. То есть реконструктивное семейство всегда содержит одно максимальное семейство (предполагается, что данная структурированная система согла- Таблица Г.9 - Максимальное и минимальные распределения возможностей для реконструктивного семейства из примера Г.v1 v2 v3 fSF fSF,1 fSF,2 fSF,3 fSF,C = 0 0 0 0.8 0.8 0.8 0 0 0 1 0.8 0 0 0.8 0.0 1 0 0.5 0.5 0 0.5 0 1 1 0.5 0 0.5 0 0.1 0 0 0.8 0 0 0.8 0.1 0 1 0.9 0.9 0.9 0.9 0.1 1 0 0.8 0.8 0.8 0.8 0.1 1 1 0.6 0.6 0.6 0.6 0.сована) и множество решений, состоящее из возможностных распределений, находящихся между максимальным решением и одним из нескольких минимальных решений. Более того, возможность любого полного состояния переменных, входящих в любое минимальное решение, равна или возможности этого состояния в максимальном решении, или нулю. Данный результат, равно как и некоторые другие результаты, связанные с задачей определения реконструктивного семейства для заданной структурированной системы, получены недавно и для возможностных, и для вероятностных систем.

КОЭФФИЦИЕНТ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ Часто необходимо иметь подходящую меру для оценки размера реконструктивного семейства. Если эта мера является адекватной, то ее можно использовать для оценки нечеткости, связанной с реконструкцией обобщенной системы по заданной структурированной системе, а также как степень идентифицируемости реальной структурированной системы.

Для возможностных систем размер реконструктивного семейства адекватно оценивается произведением SF П[1 + f ( c )] (Г.30) сА SF где f - максимальный элемент реконструктивного семейства FSF, а A - множество всех полных состояний, для которых степень возможности в реконструктивном семействе определяется не единственным образом [то есть множество полных состояний, для которых решение ограниченной системы уравнений вида (Г.29) не единственное]. Обратите внимание, что это произведение всегда больше или равно 1 и что его значение пропорционально мощности множества А и значениям fSF(с); оно равно 1 только тогда, когда множество А пустое (то есть если существует единственное решение.

Если принять произведение (Г.30) в качестве разумной оценки размера реконструктивного семейства, то естественно было бы определить реконструктивную нечеткость uSF, связанную со структурированной системой SF, как логарифм этого произведения, то есть SF SF u = log (Г.31) [1 + f ( c )] = log [1 + f ( c )].

SF 2 сA cA Понятно, что 0 u | C |, SF где считается, что |С| - реконструктивная нечеткость всего множества GSF обобщенных систем, сопоставимых с SF. Можно использовать меру | C | -u u SF SF I = = 1 -, (Г.32) SF | C | | C | называемую коэффициентом идентифицируемости, в качестве разумного показателя возможности определения единственной обобщенной системы по заданной структурированной системе SF. Понятно, что 0 I 1.

SF I = 1 только тогда, когда |FSF| = 1; ISF = 0 только тогда, когда |А| = |С|, и fSF (с) = 1 для всех с С.

Коэффициент идентифицируемости бывает полезен при решении некоторых системных задач, особенно при сравнительных исследованиях структурированных систем. В общем случае значительно легче определить коэффициент идентифицируемости структурированной системы, чем реконструктивное семейство: для этого достаточно определить максимальное решение и состояния с единственными решениями (то есть С - А).

Пример Г.15. Определим коэффициент идентифицируемости структурированной системы, определенной в примере Г.14. Отметим, что в этом примере |С|=8, а множество А состоит из первых пяти состояний, перечисленных в таблице Г.9. Используя значения f SF(с) для этих состояний, получим реконструктивную нечеткость u = 3log 1.8 + 2 log 1.5 = 3.714.

SF 2 Отсюда ISF = 1 Ч 3,714/8 = 0.536.

ЕДИНСТВЕННЫЙ ВЫБОР ИЗ РЕКОНСТРУКТИВНОГО СЕМЕЙСТВА Рассмотрим теперь вторую подзадачу задачи идентификацииЧзадачу выбора из реконструктивного семейства одной обобщенной системы как гипотезы о реальной обобщенной системе. Эта задача тривиальна, если реконструкция однозначна (то есть если ISF = 1).

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |   ...   | 41 |    Книги по разным темам